Giáo án Hình học lớp 10 nâng cao - Tiết 20-21-22-23 Bài 3: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

Tiết 20-21-22-23 §3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A . Mục tiêu Kiến thức: Định lí cosin và sin ; áp dụng. Công thức tính độ dài trung tuyến và diện tích tam giác Kỹ năng : Biết áp dụng định lí cosin và sin trong chứng minh và tính toán. Chứng minh và tính toán liên quan đến độ dài trung tuyến, diện tích tam giác,chiều cao, các cạnh, các góc chưa biết của tam giác, Thái độ : Tích cực xây dựng bài học , tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo B . Chuẩn bị : Sách giáo khoa , bài tập C . Tiến trình bài dạy: Oån định lớp : Kiểm tra bài cũ : Dạy bài mới : TG Lưu bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh 1.Định lí cosin trong tam giác. Định lí: Tam giác ABC có BC = a , CA = b, AB = c, a= b+c-2b.c.cosA b= a+c-2a.c.cosB c= a+b-2a.b.cosC Hệ quả. cosA = cosB = cosC = 2.Định lí sin trong tam giác: Định lí : Với mọi tam giác ABC, ta có === 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác: Công thức độ dài trung tuyến của tam giác: Kí hiệu m, m, mlần lượt là độ dài các trung tuyến ứng với các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC , ta có: m= , m= , m= . 4. Diện tích tam giác : Ta có thể tính diện tích S của tam giác bằng các công thức sau đây: S= a.ha = b.hb = c.hc (1) S =bcsinA =acsinB =absinC (2) S = (3) S = pr (4) S = (5) (Công thức 5 được gọi là công thức Hê-rông) 5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế: TH1: Biết một cạnh và hai góc. -Sử dụng tc tổng 3 góc trong tam giác để tìm góc còn lại -Sử dụng định lí sin tìm ra hai cạnh còn lại TH2: Biết 2 cạnh và một góc: - Sử dụng định lí cosin tìm ra cạnh còn lại. - Sử dụng đl sin tìm các góc TH3: Biết 3 cạnh - Sử dụng hệ quả đl cosin tính các góc Nếu ABC là tam giác vuông tại A thì theo Pytago ta có?ù Có thể chứng minh: Hoạt động 1. Gọi ba cạnh tam giác ABC là : BC = a, AC = b, AB = c. Bằng cách viết , rồi bình phương hai vế và sử dụng định nghĩa của tích vô hướng để đi đến kết quả a=b+c-2b.c.cosA. Hoạt động 2. Từ định lí trên, hãy phát biểu bằng lời công thức tính cạnh một tam giác theo hai cạnh kia và cosin của góc xen giữa hai cạnh đó. ?2. Khi tam giác ABC là tam giác vuông, chẳng hạn A=90, định lí trên trở thành định lí quen thuộc nào? Hoạt động 3. Từ định lí cosin hãy viết công thức tính giá trị cosA, cosB, cosC theo a, b, c. Ví dụ 1 Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hướng tạo với nhau góc 60 (h.43). Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?(1 hải lí =1,852km) Ví dụ 2. Các cạnh của tam giác ABC là a=7, b=24, c=23. Tính góc A. Cho tam giác ABC vuông ở A, có BC = a, AC = b, AB = c . Ta đã biết : sinB = , sinC = suy ra : a ==. Để ý rằng sinA bằng 1, ta có thể viết : ==. Hơn nữa, vì BC = a = 2R là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên === 2R (1) Hoạt động 4. (chứng minh định lí) Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vẽ đường kính BA’ của đường tròn . Hãy chứng tỏ sin=sin trong cả hai trường hợp : Góc A là góc nhọn, là góc tù và chứng minh =2R rồi suy ra định lí. Ví dụ 3. Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi . Biết rằng đoạn AB bằng 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 1530’. Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất ? Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6. Chứng minh rằng sinA – 2sinB + sinC = 0. Bài toán 1: cho 3 điểm A, B, C trong đó BC = a > 0. gọi I là trung điểm của BC, biết AI = m. hãy tính AB2 + AC2 theo a và m ? ?3 nếu m = a/2 thì có thể thấy ngay AB2 + AC2 bằng bao nhiêu ? Hoạt đông 5.(để giải bài toán 1). Hãy viết Rồi tính AB2 + AC2 để đi đến kết quả AB2 + AC2 =2m2+a2/2 Bài toán 2 : Cho 2 điểm P, Q phân biệt. Tìm tập các điểm M : MP2 + MQ2 = k2. trong đó k là số cho trước. Hướng dẫn: gọi I là trung điểm PQ và đặt PQ = a theo bài toán 1 ta có: MP2 + MQ2= 2MI2 + a2/2 Vậy MP2 + MQ2 = k2 2MI2+a2/2 = k2 Hay MI2 = k2/2 - a2/4. (*) Hoạt động 6: Từ (*) hãy suy ra lời giải bài toán 2 Bài toán 3: Cho tam giác ABC kí hiệu m, m , m lần lượt là độ dài các trung tuyến ứng với các cạnh BC =a, CA = b, AB = c, của tam giác ABC. Chứng minh các công thức sau đây gọi là công thức trung tuyến. m= , m= , m= . Với tam giác ABC ta kí hiệu: h , h , h lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c, ; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p= là nửa chu vi tam giác. Hoạt động 7: Hãy tính htrong tam giác AHB theo cạnh c và góc B, rồi thay vào công thức S=a.h, để được công thức (2) (chú ý xét cả hai trường hợp H nằm trong, nằm ngoài đoạn BC). Hoạt đông 8: từ công thức (2) hãy suy ra công thức (3) ? Hoạt động 9. Gọi (O ; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Để ý rằng S là tổng diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB. Hãy áp dụng công thức (1) để suy ra công thức (4). Hoạt động 10: Hãy tính diện tích của ba tam giác Hê-rông Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước. Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC biết a =17,4; =4430’; =64. Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác . Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC, biết a = 49,4 ; b = 26,4 ; =4720’. Tính hai góc A, B và cạnh c. Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC biết a = 49,4; b=13; c=15. Tính các góc A, B, C. Ví dụ 8: Đường dây cao thế thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8 km, góc tạo bởi hai đường dây trên khoảng 75. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C . Ví dụ 9: Một người ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc khoảng 60. Khi tàu đỗ ở ga B tiếp theo, người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu khoảng 45. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng hai ga với nhau dài 8km. hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu ? ta co ù: BC2 = AC2 + AB2 Hay :=+ Giải : Vì góc A vuông nên : = = AC2 + AB2 - 2AB.AC.cos() Hay : a2 = b2 + c2 -2bc.cosA Trong tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó Trở thành định lí Py-ta-go quen thuộc. Học sinh thực hiện. Giải. Sau hai giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB=40, AC=30, A=60 Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có a= b+ c- 2b.c.cosA =40+30-2.40.30.cos60 =1600+900-1200=1300 Vậy a = 36 hải lí. Sau 2 giờ hai tàu cách nhau xấp xỉ 36 hải lí. Giải : Theo hệ quả của định lí cosin ta có cosA = = 0,9565. Từ đó ta được góc A1658’. Trường hợp A nhọn ta có góc BC = BC (cùng chắn cung BC ) Trường hợp A tù, ta có BC + BC = 1800 vậy cả hai trường hơp ta có: sinBAC =sinBA’C A’BC vuông tại C, nên a =BC =BA’.sinA’ = 2R.sinA tương tự: b = 2R.sinB ; c =2R.sinC Giải. Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC có =60, =10530’, c =70. =180-(+)=180-16530’=1430’. Theo định lí sin thì = hay = Do đó b=269,4. Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có : CH= (m) Vậy ngọn núi cao xấp xỉ 135m. Giải. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Từ định lí sin ta có sinA =, sinB =, sinC = . Vậy : sinA - 2sinB + sinC = -2+= 0. m = a/2 thì tam giác ABC vuông tại A, nên: AB2 + AC2 = BC2 = a2 Giải : AB2 + AC2 = = =2AI2 + IB2 + IC2 + 2 Vậy AB2 + AC2 = 2m2+a2/2 Giải : từ MI2 = k2/2 - a2/4 suy ra: _ Khi MI2 = k2/2 - a2/4 > 0, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = _ Khi MI2 = k2/2 - a2/4 < 0 tập hợp cần tìm là tập rỗng. _ Khi MI2 = k2/2 - a2/4 = 0 tập hợp cần tìm là I Giải : Áp dụng định lí cosin vào tam giác AMB thì m= c+ - 2c..cosB. Theo định lí cosin, trong tam giác ABC ta có cosB= . Vậy m= c2 + - 2c.. m = . Hai công thức sau chứng minh hoàn toàn tương tự. Trong cả hai trờng hợp: AHB có h= c sinB S = a.h= acsinB Thay sinC =vào công thức S =absinC ta được S =ab. = S = S + S + S =ar + br + cr = p.r Tam giác có ba cạnh 3, 4, 5 có S = 6 Tam giác có ba cạnh 13, 14, 15 có S = 84 Tam giác có ba cạnh 51, 52, 53 có S = 1170 Giải. Ta có = 180-(+C) =180-(4430’+64) = A =7130’. Theo định lí sin ta có b = =12,9 c = =16.5. Giải. Theo định lí cosin ta có c= a+ b-2a.b.cosC =(49,4)+ (26,4)-2.49,4.26,4.cos4720’ 1369,5781. Vậy c37,0. cosA= -0,1914. Suy ra 1012’; 3138’. Giải. Theo hệ quả của định lí cosin ta có cosA = = -0,4667. Vậy 11749’. Vì nên sinB=0,4791 suy ra2838’; 3333’. Giải:Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có a= b+ c-2.bc.cosA 8+ 10-2.8.10.cos75 122,5890 a 11(km). Giải Xét tam giác ABC, ta có =180-(60+45) =75 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta được suy ra b8.6(km). Vậy khoảng cách từ ga A dến tháp C xấp xỉ 6km. D . Luyện tập và củng cố : - Hệ thống công thức - Cách sử dụng công thức E . Bài tập về nhà: 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, ., 35