Giáo án lớp 11 (nâng cao) Đại số và Giải tích 11

Tuần 20 Tiết PP: 49, 50, 51 CHƯƠNG 3: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. MỤC TIÊU + Kiến thức: Giúp cho học sinh - Có khái niệm về suy luận quy nạp; -Nắm được phương pháp quy nạp toán học. + Kĩ năng: -Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản. + Thái độ, tư duy: -Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. -Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán. II.CHUẨN BỊ: - Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. - Học sinh: đọc trước bài ở nhà. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: + Ổn định lớp : Kiểm tra sỉ số, tác phong của hs + Kiểm tra bài cũ: Không kiểm tra + Bài mới: TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng 1. Hãy kiểm tra với n = 1, 2 ? 2. Cm n=3 (1) đúng. 3. có thể thử với mọi n không? Tuy nhiên dựa vào lập luận trên ta có thể đưa ra cách c/m bài toán. + n = 1,2: (1) đúng + Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m được (1) đúng. + không thể 1. Phương pháp quy nạp toán học Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta có: (1) Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu (1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng với n=k+1. Giái bài toán trên: + n = 1: 1=1 (đúng) + Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương) Ta có: suy ra Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương. Phương pháp quy nạp toán học: Để c/m mệnh đề A(n) đúngnN* ta thực hiện: B1: C/m A(n) đúng khi n=1. B2: nN* giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1. 1. CM công thức đúng với n=1 2 . Giả sử công thức đúng với n = k hãy thiết lập công thức. 3. Hãy thiết lập công thức khi n = k +1 và chứng minh công thức đó * GV nêu nội dung H2 - Gọi HS lên bảng cm - Quang sát HS cm - Gọi 1 HS nhận xét. - GV nhận xét hoàn chỉnh bài tập * GV nêu nội dung H3 - Gọi HS lên bảng cm - Quang sát HS cm - Gọi 1 HS nhận xét. - GV nhận xét hoàn chỉnh bài tập * GV nêu nội dung VD 4 1. CM công thức đúng với n=3 2 . Giả sử công thức đúng với n = k hãy thiết lập công thức. 3. Hãy thiết lập công thức khi n = k +1 và chứng minh công thức đó - Ta có: 1=1 ( đúng) - Giả sử mệnh đề đúng với n = k - HS thiết lập công thức và chứng minh * HS chứng minh H2 - 1 HS lên bảng cm - Các Hs khác nhận xét. * HS chứng minh H3 - 1 HS lên bảng cm - Các Hs khác nhận xét. * HS cm vd4 Với n = 3 ta có: 8 > 7 đúng Với n = k ta có: 2k > 2k + 1 Với n = k +1 ta CM: 2k+1 > 2(k+1) +1 Thật vậy: 2k+1=2.2k>2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( vì k 3) 2. Một số ví dụ Ví dụ1: CMR nN* , ta luôn có: HD: Ví dụ 2: H2 SGK CMR nN* , ta luôn có: 1+3+5+..+(2n-1) = n2 Ví dụ 3: H3 SGK CMR nN* , ta luôn có: 12 + 32 + 52 +..+(2n-1)2 = Ví dụ 4: (Ví dụ 2 SGK) CMR: 2n>2n+1, n 3. Chú ý: Ta chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương , với p là một số nguyên cho trước ta thực hiện: + Bước 1: Chứng minh A(n) là mệnh đề đúng với n = p + Bước 2: xét giả thiết qui nạp mệnh đề đúng với n = k , ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. * GV nêu nội dung đề bài tập 1 - Gọi HS lên bảng cm - Quang sát HS giải - Gọi học nhận xét - GV nhận xét hoàn chỉnh bài toán * GV nêu nội dung đề bài tập 2/ 100 - Gọi HS lên bảng cm - Quang sát HS giải - Gọi học nhận xét - GV nhận xét hoàn chỉnh bài toán * GV nêu nội dung đề bài tập 3/ 100 - Gọi HS lên bảng cm - Quang sát HS giải - Gọi học nhận xét - GV nhận xét hoàn chỉnh bài toán *GV hd bài 4, 5 để hs về nhà tự cm * GV nêu nội dung đề bài tập 6/ 100 - Gọi HS lên bảng cm - Quan sát HS giải - Gọi học nhận xét - GV nhận xét hoàn chỉnh bài toán * HS theo dõi đề btấp 1 - 1 hs cm bài toán - HS nhận xét bài làm của bạn * HS theo dõi đề btấp 2 - 1 hs cm bài toán - HS nhận xét bài làm của bạn * HS theo dõi đề btấp 3 - 1 hs cm bài toán HS nhận xét bài làm của bạn - HS chú ý lắng nghe * HS theo dõi đề btấp 6 - 1 hs cm bài toán HS nhận xét bài làm của bạn Bài 1: SGK /100 CMR nN* , ta luôn có: 1 + 2 + 3 +..+ n = (1) Giải: + n = 1 ta có: 1 = Vậy (1) đúng với n = 1 (*) + GS (1) đúng với n = k ta có: 1 + 2 + 3 +..+ k = Chứng minh (1) đúng` với n = k + 1. Túc 7 là c/m: 1 + 2 + 3 +..+ (k +1)= Thật vậy: VT = 1 + 2 + 3 +..+k + (k +1) =+(k +1) == VP Vậy (1) đúng với n = k + 1 (**) Từ (*) và (**) suy ra (1) đúng với nN* Bài 2 SGK/100 CMR nN* , ta luôn có: 22 +42 +..+ (2n)2 = Bài 3 SGK/100 CMR nN* , ta luôn có: HD: : Khi n=k+1, ta có: (Côsi và kk+1) Bài 4 SGK/100 ( Tự cm lưu ý với n 2) Bài 5 SGK/100 ( Tự cm . HD: Khi n=k+1: Bài 6 SGK/100 CMR nN* , un = 7.22n-2 + 32n - 1 chia chia cho 5 Giải: Với n = 1 ta có : U1 = 7 + 3 = 10 5 Với n = k ta có: uk = 7.22k-2 + 32k - 1 Cm với n = k +1 uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2 =28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 5 IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ: - Phương pháp quy nạp và cách cm bài toán bằng pp quy nạp toán học - Xem lại bài và làm các bài tập SGK/100 Tuần 21 Tiết PP: 52, 53 Bài 2: DÃY SỐ I. MỤC TIÊU + Về kiến thức: Giúp học sinh Có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số - cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số. - Hiểu được khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số không đổi (còn gọi là dãy số hằng), dãy số bị chặn. - Nắm được các phương pháp đơn giản khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của một dãy số. + Về kỹ năng: Giúp học sinh - Dựa vào định nghĩa để cho ví dụ về dãy số - Tìm được một số hạng nào đó của một dãy số đơn giản cho trước. - Biết vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản. - Biết cách khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn của các dãy số đơn giản. + Về tư duy, thái độ. - Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự - Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. II. CHUẨN BỊ: + Giáo viên : - Chuẩn bị một số câu hỏi trắc nghiệm và ví dụ trên bảng phụ + Học sinh: - Học bài cũ và làm bài tập ở nhà III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: + Ổn định lớp : + Kiểm tra bài cũ: Chứng minh " n Î N, un = 13n – 1 chia hết cho 6. + Bài mới: TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng - Treo bảng phụ lên bảng - Theo dõi trên bảng và suy nghĩ trả lời 1. Định nghĩa và ví dụ Cho 2 dãy số: 1; ; (1) Một học sinh đứng dậy trả lời ở dãy số (1) là số .Định nghĩa dãy số 1; ; (1) 1; Ở dãy số (2) là số 1; Hãy điền số còn thiếu vào chỗ trống - Dựa vào đâu để tìm được những con số đó? - Mỗi dãy số (1) và (2) đều thể hiện một quy tắc mà nhờ nó ta tìm được số chưa biết Hãy điền số còn thiếu vào chỗ trống Định nghĩa 1: SGK Nhận xét câu trả lời của học sinh, chính xác hóa để đưa đến định nghĩa. Với dãy số (1): Un = Với dãy số (2): Un = - Ký hiệu dãy số (Un) - Số hạng tổng quát Un - Dạng khai triển của dãy số U1, U2, Un, - Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương - Dãy số (1) và (2) ở trên có bao nhiêu số hạng? - Vô số số hạng - Giới thiệu kí hiệu của dãy số dạng khai triển và số, hạng tổng quát của dãy số - Khi cho dãy số (Un) thì số hạng đầu của dãy số là số hạng nào ? - Luôn luôn là U1 - Viết ví dụ lên bảng - Theo dõi câu hỏI - Yêu cầu học sinh trả lời - Có xác định được số các số hạng của dãy số này không? - Tìm các số hạng của dãy số đã cho và viết dạng khai triển của nó - Dãy số này có 5 số hạng Cho hàm số : U(n)=xác định trên tậpM=. Viết dạng khai triển của dãy số này. - Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy sổ trên - Với dãy số vô hạn, có tìm được số hạng cuối của nó không? - Số hạng đầu U1= 1 Số hạng cuối U6 = 216 - Không * Chú ý: (SGK, trang 102) Ví dụ: - GV treo bảng phụ lên bảng - Học sinh trả lờI a/ Hàm số U(n) = xác định trên N* là 1 dãy số. Hãy xác định các số hạng thứ 9, thứ 99 và thứ 999 của dãy số trên - Từng học sinh giải bài tập - Một học sinh lên trình bày 1, 2, b/ Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số được cho bởi công thức của số hạng tổng quát sau: 1; Un= 2; Un = - Theo dõi hoạt động của Học sinh - Nhận xét các câu trả lời, chính xác hóa nội dung c/ Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của mỗi dãy số được cho dưới dạng khai triển dưới đây. - Chia cả lớp thành 4 nhóm (theo 4 tổ) và phân công Nhóm 1 và 3 giải ví dụ C1 Nhóm 2 và 4 giải ví dụ C2 - Từng nhóm suy nghĩ, giải bài - Cử đại diện lên trình bày 1/ 3,2; 3,02; 3,002; 3,0002; 2/ 1; - Theo dõi hoạt động của HS - Các nhóm theo dõi bài giải trên bảng và nhận xét Bài giải: - Theo dõi hoạt động của HS - Cho HS các nhóm khác nhận xét - Nhận xét các câu trả lời, chính xác hóa nội dung 1/ U1 = 3,2 = 3+0,2 = 3+ U2 = 3,02 = 3+0,02 = 3+ Þ Un = 3 + 2/ Un = 2. Các cách cho một dãy số: - Trình bày các cách xác định một dãy số - Trình bày ví dụ - Theo dõi và ghi nhớ cách xác định dãy số. - Theo dõi và ghi nhớ Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số. - Cho dãy số 1, 2, 3, ..., n, ... So sánh các số hạng của dãy số này, có nhận xét gì? - Theo dõi hoạt động của Hs - Đưa ra khái niệm dãy số tăng. - Tương tự cho dãy số Yêu cầu Hs nhận xét và đưa ra khái niệm dãy số giảm. - Củng cố khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm qua các ví dụ cụ thể. - Nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số sau: ? - Gọi Hs trả lời. - Gv sửa lại cho chính xác, dãy số như vậy gọi là dãy số không tăng cũng không giảm. H Đ5: Hãy cho một ví dụ về dãy số tăng, dãy số giảm và một ví dụ về dãy số không tăng cũng không giảm. - Gv theo dõi Hs, đưa ra kết luận đúng đắn cuối cùng. - Nhận xét dãy số 1, 2, 3, và có số hạng nhỏ nhất, lớn nhất không? Giá trị LN, NN? - Gv minh hoạ trên trục số. - Gv giới thiệu khái niệm dãy số bị chặn. - Hướng dẫn cho Hs hiểu rõ khái niệm mới qua vd7 trong SGK. - Yêu cầu mỗi nhóm tự cho 1vd đơn giản về các khái niệm này rồi trao đổi có sự hướng dẫn của Gv. - Gv giúp Hs củng cố các khái niệm đã được học trong bài. - Suy nghĩ và trả lời câu hỏi của Gv. - Thảo luận tìm hiểu dãy số. - Tri giác phát hiện vấn đề - Nhận biết khái niệm mới. - Hs suy nghĩ, xác định tính tăng, giảm. - 1 Hs trả lời, các Hs khác phát hiện sai và sửa. - Hs suy nghĩ, có thể thảo luận theo từng nhóm. - Đại diện nhóm lên bảng trình bày. Các Hs còn lai theo dõi và nhận xét. - Hs suy nghĩ và trả lời. - Hs tiếp nhận khái niệm mới. - Hs tiếp nhận và dần hiểu rõ tính bị chặn. - Hs suy nghĩ và thảo luận theo nhóm. - Đại diện từng nhóm lên trình bày, các Hs còn lại theo dõi và nhận xét. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm: ĐỊNH NGHĨA 2: Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi ta có . Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi ta có . Ví dụ 6: (SGK) Dãy số với là dãy số tăng vì: Dãy số với là dãy số giảm vì: 4. Dãy số bị chặn: ĐỊNH NGHĨA 3: a) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho . b) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho . c) Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số và một số sao cho . Ví dụ 7: (SGK) IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ: - Ôn lại kiến thức đã học ở bài này + Hoc sinh nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn + Phương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn. - Làm bài tập trang 105 SGK. Tuần 21, 22 Tiết : 54, 55 Bài 3: CẤP SỐ CỘNG I. MỤC TIÊU: + Kiến thức: Giúp cho học sinh Nắm được khái niệm cấp số cộng; Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. + Kĩ năng: Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng. Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu. Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế. + Thái độ, tư duy: Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi. Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế. II. CHUẨN BỊ: + Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. + Học sinh: đọc trước bài ở nhà. III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: + Ổn định tổ chức: + Kiểm tra bài cũ: Nêu các tính chất của dãy số. Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số: ; . + Bài mới: TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng + Có nhận xét gì các số hạng của dãy số? + Từ ví dụ trên hãy đưa ra ĐN về cấp số cộng. + Dãy số đã cho có phải là CSC không? Nếu có hãy nêu công sai và u1. + Số hạng sau hơn số hạng ngay trước nó 1 đơn vị. a) Là CSC có d= 2 và u1=0. b) CSC:d=1,5và u1=3,5 1. Định nghĩa: Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,, n, n+1,... Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng tổng số hạng ngay trước nó cộng với 1. ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un) là CSC un=un-1 + d, n 2. + d không đổi gọi là công sai. + Kí hiệu CSC: u1, u2, u3, , un, Ví dụ 2: Dãy số 0, 2, 4, , 2n, Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12. + Tính uk-1, uk+1 theo uk và d rồi tìm quan hệ giữa 3 số hạng uk, uk-1, uk+1. + Gọi HS lên bảng làm. + uk-1= uk-d uk+1= uk+d suy ra + Giả sử ABC, ta có: A=300; B=600 và C=900. 2. Tính chất: ĐL1: (un) là CSC , (k 2) Cho CSC (un) có u1 = -1 và u3=3. Tìm u2, u4. Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó. + CSC có u1 và d. Hình thành công thức tính un bất kỳ. + Gọi HS làm tại chỗ + Cho học sinh tự nghiên cứu. + u1 = u1+ 0.d u2 = u1+ d u3 = u2+ d = u1+2d u4 = u3+ d = u1+4d un=u1+(n-1)d. Chứng minh lại bằng quy nạp. + u31=-77. 3. Số hạng tổng quát: ĐL 2: Cho cấp số nhân (un). Ta có: un=u1+(n-1)d. Cho CSC (un) có u1=13, d = -3. Tính u31. trang 111 SGK. + Nhận xét tích của hai số hang trong cùng một cột ở sơ đồ trong SGK Từ đó rút ra Sn. + Viết lại CT trên dựa vào CT un = u1 + (n-1)d. + Gọi HS nêu cách làm ví dụ 3 trang 113 SGK. + Sử dụng chú ý của ĐL3 làm cho nhanh. + Yêu cầu học sinh tính tiền lương sau n năm theo 2 phương án. + Dựa vào kết quả T1-T2 cho học sinh phát biểu cách chọn. + Bằng u1 + un. + un là mức lương ở quý n. (un) là CSC với u1=4,5 và d=0,3. Cần tính u12. + Hoc sinh tinh rồi đọc kết quả + Trả lời 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC: ĐL 3: Cho CSC (un), gọi Sn= u1+ u2 + + un , n 1. Chú ý: , n 1. trang 113 SGK. Giải: Gọi un là mức lương ở quý thứ n thì: u1 = 4,5 và d = 0,3 u12 = 4,5+(12-1).0,3=7,8. triệu. HS tự làm. + Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3 năm thì chọn PA 1. + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 19. + Gọi học sinh nêu PP và giải bài 20. + Gọi HS trả lời TN. + Gọi HS làm tại chỗ và đọc kết quả. + Bài 23: HDHS đưa u20 và u51 về u1 và d rồi tính u1 và d sau đó viết công thức un. + Biểu diễn um, uk qua u1 và d. + DH hs c/m bằng quy nạp. + Có thể tính u1 và d (AD bài 24) rồi tính S13. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + Học sinh trả lời. + HS trả lời Bài19: un+1-un = 19, n 1 (un) là CSC. un+1-un = a, n 1 (un) là CSC. Bài 20: Ta có: , n 1 (un) là CSC Chú ý: Để CM (un) là CSC ta cần CM un+1-un không đổi, n 1 . Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm. Bài 22: 28=u1+u3=2u2 u2=14 40=u3+u5=2u4 u4=20 u3=(u2+u4)/2=17 u1=28-u3=11 và u5=40-u3=23. Bài 23: ĐS: un=-3n+8. Bài 24: um=u1+(m-1)d và uk=u1+(k-1)d um-uk=(m-k)d um=uk+(m-k)d. Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5. Bài 25: ĐS: un=5-3n. Bài 26:CM bằng quy nạp: HD: Bài 27: HS tự làm. HD: IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ: - Củng cố và luyện tập: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. -Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà Bài tập SGK trang114, 115. Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5. Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (un) biết: Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166. Tìm 4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10). Tuần 22, 23 Tiết : 56, 57, 58 Bài 3: CẤP SỐ NHÂN I. MỤC TIÊU: + Về kiến thức : Giúp học sinh : - Nắm vững khái niệm cấp số nhân ; - Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ; - Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân . + Về kĩ năng : Giúp học sinh : - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ; - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân trong các trường hợp không phức tạp ; - Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống . + Về tư duy và thái độ : Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi . II. CHUẨN BỊ: + Giáo viên : SGK , Giáo án . Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán nêu trong mục Đố vui . + Học sinh : Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSN , SGK , dụng cụ học tập . III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: + Ổn định lớp : + Kiểm tra bài cũ : + Định nghĩa cấp số cộng ? + Một CSC có 11 số hạng .Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu 30 . Tìm CSC đó ? + Bài mới: TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng + GV tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu : + Giả sử có 1 người gửi 10 triệu đồng với kỳ hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kỳ hạn này là 0,04%. a) Hỏi nếu 6 tháng sau , kể từ ngày gửi , người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi ) là bao nhiêu ? b) Cùng câu hỏi như trên , với thời điểm rút tiền là 1 năm kể từ ngày gửi ? * Gọi HS làm câu a) . Sau đó gọi HS khác trả lời câu b). Nhận xét tính chất dãy số (u n) nói trên ? Tổng quát dãy số (u n) được gọi là cấp số nhân khi nào ? H1: Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân ? Vì sao? a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5 . b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 ; -192 c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 * Gọi từng HS đứng tại chỗ với mỗi VD + Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi . + Ta có : u 1 = 10 7 + 10 7 .0,004 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 + u 1 .0,004 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 + u 2.0,004 = u 2 .1,004 ; ... u n = u n - 1 + u n - 1.0,004 = u n -1.1,004 Tổng quát , ta có : u n= u n -1 + u n - 1 .0,004 = u n - 1 . 1,004 a) Vậy sau 6 tháng người đó rút được u 6 = ? u 5 .1,004 b) Sau 1 năm người đó rút được : u 12 = ? u 11 = 1,004 + Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004 . (u n) là cấp số nhân a) Dãy số là cấp số nhân ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 1,5 . b) không là cấp số nhân . c) là cấp số nhân , công bội q = 0 . + Trả lời theo yêu cầu của giáo viên. 1.Định nghĩa: + Bài toán mở đầu: + Với mỗi số nguyên dương n ,ký hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi .Ta có : u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 ; u n = u n - 1.1,004 . Tổng quát , ta có : u n= u n - 1 . 1,004 Định nghĩa: (u n) là cấp số nhân ( q là số không đổi , gọi là công bội của CSN ) Ví dụ 1: SGK Tr 116 Ví dụ 2: SGK Tr 116 Từ VD1b) sau đó là 1a) cho học sinh nhận xét kể từ số hạng thứ hai , bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) liên hệ thế nào với hai số hạng kề nó trong dãy ? * Hãy phát biểu tính chất nêu trên ? C/m: Gọi q là công bội của CSN (u n). Xét 2 trường hợp : + q = 0 : hiển nhiên . + q 0 : Viết u k qua số hạng đứng trước và ngay sau nó ? H2: Có hay không CSN (u n) mà u 99= -99 và u 101 = 101 ? Ví dụ 3: SGK Tr 118 . * PP c/minh dãy số là CSN ? Áp dụng ? + Đối với CSN 1b) + Đối với CSN 1a) + Nếu (u n) CSN thì u k2 = u k - 1 .u k +1 , () + u k = u k - 1 . q () () Nhân các vế tương ứng, ta có (đpcm) + Không tồn tại , vì nếu ngược lại ta sẽ có : u 2100= u 99. u 101= - 99 .101 < 0 2. Tính chất : Định lý 1: Nếu (u n) CSN thì u k2 = u k - 1 .u k +1 , Ví dụ 3: SGK Tr 118 + Trình bày dẫn đến hình thành công thức của số hạng tổng quát. + Hướng dẫn học sinh thực hiên ví dụ 4. *Gọi HS đứng tại chỗ giải ( có thể gợi ý xét sự tương đồng giữa BT này và BT mở đầu để làm ) ? + Theo dõi và hoạt động theo hướng dẫn của giáo viên. + vn = q.vn -1 , + vn = u n - = 3u n - 1 - 1 - = 3vn -1 , + u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 = u 1 .(1,004)2 ; ... u n = u n - 1.1,004 =u 1 . (1,004) n - 1 , + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , +un=107.1,004.(1,004) n - 1 = 10 7 .(1,004) n , + u n = 3.10 6 .(1 + 0,02) n = 3.10 6 . (1,002) n . 3. Số hạng tổng quát: Từ bài toán mở đầu : u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 1 .(1,004)2 ; ... u n = u 1 . (1,004) n - 1 , + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , Định lý 2 : SGK Tr 118 . Nếu CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và công bội q 0 thì có số hạng tổng quát : u n = u 1 . ( q ) n - 1 , Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm u 6 và u 12 ? H3 : SGK Tr 119 . * CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và công bội q. Mỗi số nguyên dương n , gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó . Tính S n (S n = u 1+u 2+.....+ u n ) ? Khi q = 1 , khi q 1 ? Ví dụ 5: CSN (u n) có u 3 = 24 , u 4 = 48 . Tính S 5 ? * Tính S 5 ta phải tìm gì ? * ĐỐ VUI: Giáo vien treo bảng phụ đã chuẩn bị sẵn lên bảng . * Đây là CSN có u 1 và q là bao nhiêu ? a) Số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học sau 30 ngày ? b) Số tiền mà nhà toán học đã bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày ? c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ phú "lãi" ? + Khi q = 1 thì u n= u 1 và S n= n.u 1. + Khi q 1 : q S n = u 1+ u 2+ . . . + u n+ u n + 1 . S n – q; S n = u 1 - u n + 1 = u 1(1 - q n ) (1 - q) S n = u 1 (1 - q n ) với q 1 Suy ra đpcm . + Tìm u 1 và q . u 1 = u 4 : u 3 = 2 ; 24 = u 3= u 1 .2 2 u 1 = 6 S 5 = 186 . + Gọi u n là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n .Ta có u 1 = 1 và q = 2 . a) S 30 = (đ) b) Số tiền mà nhà toán học đã bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày : 10.106 .30 = 300.000.000 (đồng) . c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ phú "lãi" 300.000.000 - 1.073.741.823 = - 773.741.823 (đ) 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một CSN Nếu (u n) là CSN có số hạng đầu u 1 với công bội q 1 thì S n là : S n = , q 1 IV. CỦNG CỐ, DẶN DÒ: + Lý thuyết cũng cố từng phần trong quá trình dạy học , GV có thể cũng cố lại nhanh theo dàn bài có sẵn trên bảng . + Bài tập: Tìm công bội q và tổng các số hạng của CSN hữu hạn , biết số hạng đầu u 1 = 2 và số hạng cuối u 11 = 64 ? Bài 31 ; 32 SGK Tr 121 . + Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà Học thuộc bài CSN , làm các bài tập SGK 33 - 43 Tr 121,122 . Tuần 23 Tiết : 59, 60 ÔN TẬP CHƯƠNG III I. MỤC TIÊU : + Về kiến thức - Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch kiến thức của cả chương. - Hiểu và vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý và công thức trong chương. + Về kĩ năng - Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp. - Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. - Biết cách xác định các yếu tố còn lại của cấp số cộng (cấp số nhân) khi biết một số yếu tố xác định cấp số đó, như: u1, d (q), un, n, Sn. + Về tư duy, thái độ - Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự. Biết quy lạ thành quen. - Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. II. CHUẨN BỊ: + Giáo viên : Giáo án, hệ thống câu hỏi và bài tập minh họa, bảng phụ, đồ dùng dạy học + Học sinh: Đọc trước bài ở nhà, đồ dùng học tập III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: + Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong của học sinh + Kiểm tra bài cũ: Đan xem trong quá trình sửa bài tập + Giảng bài mới TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng * GV đưa ra bài toán ?. Gọi hs nhắc lại các bước chứng minh quy nạp - Hs trả lời câu hỏi 1. Phương pháp quy nạp toán học Bài toán: Cho p là một số nguyên dương. Hãy c/m mệnh đề A(n) đúng với mọi np. Bước 1: CM A(n) đúng khi n=p Bước 2: Giả sử A(n) đúng với nk (với kp) Ta cần CM A(n) đúng với n=k+1 * GV nêu nội dung bài tập 44 SGK/ 122 - HD gọi Hs giải - Quang sát HS giải bài toán - Gọi HS nhận xét - Nhận xét cho điểm , hoàn chỉnh bài toán * HS giải bài tập 44 - 1 HS lên chứng minh bài toán - 1HS nhận xét bài làm của bạn - HS sữa bài tập Bài 44: CMR 1.22+2.32++(n-1).n2 = , (1) Giải: Bước 1: Với n=2, ta có: VT(1)=1.22=4; VP(1)=4 suy ra (1) đúng Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k (k2), tức là ta có: 1.22+2.32++(k-1).k2 = Ta cần CM (1) cũng đúng n=k+1, tức là: 1.22+2.32++(k-1).k2 +k.(k+1)2 = (1’) Thật vậy: VT(1’)=; VP(1’)= Vậy VT(1’)=VP(1’). * GV nêu nội dung bài tập 45SGK/ 122 - HD gọi Hs giải - Quang sát HS giải bài toán - Gọi HS nhận xét - Nhận xét cho điểm , hoàn chỉnh bài toán * HS giải bài tập 45 - 1 HS lên chứng minh bài toán - 1HS nhận xét bài làm của bạn - HS sữa bài tập Bài 45: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=2, un=, CMR: un=, (2) Giải: Bước 1: Với n=1, từ (2) suy ra: u1=2 (đúng với giả thiết) Bước 2: Giả sử (2) đúng với n=k (k1), tức là ta có: uk= Ta cần CM (2) cũng đúng với n=k+1, tức là uk+1= Th