Giáo án lớp 12 môn Hình học - Chủ đề: Nguyên hàm- Tích phân

chủ đề: nguyên hàm- tích phân i. kiến thức cơ bản 1, Định nghĩa nguyên hàm: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu: F'(x)=f(x), 2, Tính chất của nguyên hàm: 1. 2. 3. 4. . 3, Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (u=u(x)) 4, Định nghĩa tích phân: (Công thức NiuTơn- Lepnit). 5, Tính chất của tích phân: 1. 2. 3. ; 4. 5. 6. 7. 8. 9. t biến thiên trên đoạn [a;b] G(t)= là một nguyên hàm của f(t) và G(a)=0. Caực vớ duù a) =-+ =-+= b) = = –3cosx – 2tgx + C c) = = = d) = e) f) g) 6, Các phương pháp tích phân: a, Phương pháp đổi biên số i, Dạng 1- Qui tắc: 1. Đặt x=u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , f(u(t)) được xác định trên đoạn và 2. Biến đổi f(x)dx=f[u(t)]u'(t)dt=g(t)dt 3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t) 4. Tính 5. Kết luận . ii, Dạng 2- Qui tắc: 1. Đặt t=v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục 2. Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt 3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t) 4. Tính 5. Kết luận . VD: Tớnh caực tớch phaõn sau. 1) ẹaởt t = cosx dt = - sinxdx sinxdx = - dt ẹoồi caọn: x = 0 t = 1; x = t = Khi ủoự I = 2) ẹaởt t = 1 + 3cosx dt =- 3sinxdx sinxdx = ẹoồi caọn: x = 0 t = 4; x = t = 1 Khi ủoự 3) ẹaởt t = 1 + lnx dt = ẹoồi caọn: x = 1 t = 1; x = e t = 2 Khi ủoự : 4) ; ẹaởt t = sinx dt = cosxdx ẹoồi caọn: x = 0 t = 0; x = t = 1 Khi ủoự: 5) ; ẹaởt t = sinx dt = cosxdx ẹoồi caọn: x = 0 t = 0; x = t = 1 Khi ủoự: 6) = b, Tích phân từng phần Đặt u=u(x), du=u'(x)dx, v=v(x), dv=v'(x)dx. Ta có: VD: Tớnh caực tớch phaõn sau. 1) ; ẹaởt 2) ; ẹaởt Khi ủoự: ẹaởt Khi ủoự 3) ; ẹaởt Khi ủoự 4) ; ẹaởt Khi ủoự . Goùi ;l ẹaởt Khi ủoự 7, Tính diện tích hình phẳng: i, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=f(x), x=a, x=b và trục Ox là: ii, Cho hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Xét phương trình , giả sử có nghiệm , trong đó . Thì diện tích của hình phẳng nằm giữa là: = ++ = ++ VD1: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi Giaỷi: + Xeựt . Khi ủoự: + = = (ủvdt) VD2: Tớnh dthp giụựi haùn bụỷi caực ủửụứng : vaứ Giaỷi: Xeựt: f Khi ủoự: = = . Vaọy S = 8 (ủtdt) 8, Tính thể tích của vật thể tròn xoay: i, Thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=f(x), x=a, x=b và y=0 là: ii, Thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Oy của hình phẳng giới hạn bởi các đường: x=g(y), y=a, y=b và x=0 là: VD1: Tớnh theồ tớch vaọt theồ troứn xoay quay quanh truùc hoaứnh ủửụùc sinh ra bụỷi hỡnh phaỳng ủửụùc giụựi haùn bụỷi caực ủửụứng sau: y = sinx, y = 0, vụựi Giaỷi Ta coự: = = (ủvtt) VD2: Tớnh theồ tớch vaọt theồ troứn xoay sinh ra bụỷi pheựp quay xung quanh truùc tung cuỷa hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi caực ủửụứng , y = 2, y = 4 vaứ x = 0. Giaỷi: Do vaọt theồ troứn xoay ủửụùc sinh ra bụỷi hỡnh phaỳng quay xung truùc tung neõn ta coự: (ủvtt) VD3: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi parabol: y = x2 – 2x + 2, tieỏp tuyeỏn vụựi noự taùi ủieồm M(3;5) vaứ truùc tung. Giaỷi: + Pt3 cuỷa (P) taùi M(3;5) :y – y0 = f’(x0)(x – x0)y – 5 = f’(3)(x – 3) + Coự: f’(x) = 2x – 2 f’(3) = 4 pttt cuỷa (P) taùi M laứ: y = 4x – 7 S = = . Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi parabol: y = x2 – 2x + 2, tieỏp tuyeỏn vụựi noự taùi ủieồm M(3;5) vaứ truùc tung. Giaỷi: + Pt3 cuỷa (P) taùi M(3;5) :y – y0 = f’(x0)(x – x0)y – 5 = f’(3)(x – 3) + Coự: f’(x) = 2x – 2 f’(3) = 4 pttt cuỷa (P) taùi M laứ: y = 4x – 7 S = = ii. các dạng bài tập thường gặp Bài 1 Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a, f(x)= b, f(x)= c, f(x)= d, f(x)= e, f(x)= f, f(x)= Bài 2 Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x)= (x0), biết rằng nguyên hàm này bằng 2 khi x=1. Bài 3 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2xcosx biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x=. Bai 4 Tìm nguyên hàm của hàm số , biết . Bài 5 Tính các tích phân: a, b, c, d, e, f, g, h, i, Bài 6 Tính các tích phân: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, p, q, Bài 7 Tính các tích phân: a, ( TN năm 2006) b, ( TN năm 2005) c, ( KT KII năm 2006- 2007) d, ( TN năm 2007) e, ( TN năm 2007- Lần 2) f, ( TN năm 1998) Bài 8 Tính diện tích hình phẳng trong các trường hợp sau: a, (C): y= và (D): y=-x+3 + Hình phẳng giới hạn bởi (C) và (D) + Hình phẳng giới hạn (C), (D), x=-1 và x=4 b, và trục Ox c, , trục Ox và các đường thẳng x=1, x=2 d, và . Bài 9 Tính thể tích trong các trường hợp sau: a, , x=4 quay xung quanh trục Ox b, quay xung quanh trục Ox c, , y=3x quay xung quanh trục Ox d, quay xung quanh trục Ox. Bai 10 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=ex, y=2 và x=1. ( TN năm 2006).