Giáo án lớp 12 môn Toán - Chủ đề : Hàm số trùng phương và các bài toán liên quan

TOÁN 12 – BÀI TẬP LÀM THÊM NÂNG CAO Chủ đề : Hàm số trùng phương và các bài toán liên quan Bài 1 : Cho hàm số y = -x4 + 2x2 + 3 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 2/ Dựa vào đồ thị ( C ), hãy xác định các giá trị m để phương trình : x4 - 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số y = - có đồ thị là ( C ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và đường thẳng : y = 4. Bài 3 : Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ -2 ; 0 ] Bài 4 : Cho hàm số y = -x4 + 2x2 có đồ thị ( C ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến này đi qua điểm A( 0 ; 1 ) Bài 5 : Cho hàm số y = ( x + 1 )2 . ( x - 1 )2 có đồ thị ( C ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2/ Dựa vào ( C ), hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : -x4 + 2x2 + m = 0 Bài 6 : Cho hàm số y = x4 - 2 ( m + 1 ) x2 +2m + 1 ( m : tham số ) có đồ thị là ( Cm ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1. 2/ Tìm m để ( Cm ) tiếp xúc với parabol : y = 2x2 + 1 Bài 7 : Cho hàm số y = -x4 - mx2 + m + 1 ( m : tham số ) có đồ thị là ( Cm ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1. 2/ Xác định m để ( Cm ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Bài 8 : Cho hàm số y = ( 1 - m ) x4 - mx2 + 2m -1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1. 2/ Xác định các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị. Bài 9 : Cho hàm số y = mx4 - ( m2 - 9 ) x2 +10 ( m : tham số ) có đồ thị ( Cm ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2/ Gọi M là điểm thuộc ( Cm ) có hoành độ x0 = 1. Tìm m để tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M song song với đường thắng y = 18x - 1 Bài 10 : Cho hàm số y = ( a, b : tham số ) 1/ Xác định a, b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1. 2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị của a, b vừa tìm được ở câu 1. HẾT Bảng điểm và đáp án : Bài 1 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ + Tập xác định : D = R + y' = -4x3 + 4x y' = 0 + Trên các khoảng : và (0;1), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng (-1;0) và , y' < 0 nên hàm số nghịch biến. + Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ; ycđ = y (-1) = 4 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; ycđ = y (1) = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yct = y (0) = 3 + Lim y = - ; Lim y = - x - x + + y" = -12x2 + 4 y" = 0 x - - + y" - 0 + 0 - ĐT lồi đ.uốn lõm đ.uốn lồi + Bảng biến thiên : x - -1 0 1 + y' + 0 - 0 + 0 - y 4 3 4 - - + Đồ thị 2/ x4 - 2x2 + m = 0 -x4+ 2x2 + 3 = m + 3 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của ( C ) và đường thẳng d : y = m + 3 Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. ( C ) và d có bốn giao điểm. 3 < m + 3 < 4 0 < m < 1 Vậy giá trị m phải tìm là : 0 < m < 1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 ( từ đồ thị ) 0,25 Bài 2 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm + Tập xác định : D = R + y' = -x3 + 4x y' = 0 + Trên các khoảng : và (0;2), y' > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng : (-2;0) và (2;+), y' < 0 nên hàm số nghịch biến. + Hàm số đạt cực đại tại x = -2 ; ycđ = y (-2) = 4 Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ; ycđ = y (2) = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yct = y (0) = 0 + Lim y = - ; Lim y = - x - x + + y" = -3x2 + 4 y" = 0 x - - + y - 0 + 0 - ĐT lồi đ.uốn lõm đ.uốn lồi + Bảng biến thiên : x - -2 0 2 + y' + 0 - 0 + 0 - y 4 0 4 - - + Đồ thị 2/ Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = 4 là : - Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có : S = 2 = 2 = 2 = ( đvdt ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ + Tập xác định : D = R + y' = 4x3 - 4x y' = 0 + Trên các khoảng và ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng và ; y' > 0 nên hàm số đồng biến + Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; yCT = y(-1) = -2 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = yCĐ = -2 Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = -1 + Lim y = + ; Lim y = + x - x + + y'' = 12x2 - 4 y'' = 0 x = x - - + y'' + 0 - 0 + ĐT lõm đ.uốn lồi đ.uốn lõm + Bảng biến thiên : x - -1 0 1 + y' - 0 + 0 - 0 + y + + -2 -1 -2 + Đồ thị 2/ + D =[-2;0] + y' = 4x3 - 4x y' = 0 + y (0) = -1 y (-1) = -2 y (-2) = 7 Vậy : Maxy = y(-2) = 7 [-2;0] 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ + Tập xác định : D = R + y' = -4x3 + 4x y' = 0 + Trên các khoảng và (0;1), y' > 0 nên hàm số đồng biến. + Trên các khoảng (-1;0) và, y' < 0 nên hàm số nghịch biến. + Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ; ycđ = y (-1) = 1 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; ycđ = y (1) = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yct = y (0) = 0 + Lim y = - ; Lim y = - x - x + + y" = -12x2 + 4 y" = 0 x - - + y'' - 0 + 0 - ĐT lồi đ.uốn lõm đ.uốn lồi + Bảng biến thiên : x - -1 0 1 + y' + 0 - 0 + 0 - y 1 0 1 - - + Đồ thị 2/ + Gọi là đường thẳng đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k nên : y = kx + 1 tiếp xúc với ( C ) hệ sau có nghiệm. Từ đó ta có phương trình : 3x4 - 2x2 - 1 = 0 x = + x = 1 k = 0 + x = -1 k = 0 Vậy tiếp tuyến của ( C ) cần tìm là : y = 1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ + Tập xác định : D = R + y' = 4x3 - 4x y' = 0 + Trên các khoảng và (0;1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến + Trên các khoảng (-1;0) và, y' > 0 nên hàm số đồng biến. + Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; yCT = y(-1) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = y(1) = 0 Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) = 1 + Lim y = + ; Lim y = + x - x + + y'' = 12x2 - 4 y'' = 0 x = x - - + y'' + 0 - 0 + ĐT lõm đ.uốn lồi đ.uốn lõm + Bảng biến thiên : x - -1 0 1 + y' - 0 + 0 - 0 + y + + 0 1 0 + Đồ thị 2/ - x4 + 2x2 + m = 0 x4 - 2x2 + 1 = m + 1 Số nghiệm của phương trình đã cho bắng số giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = m + 1 Từ đồ thị ta có : + m + 1 < 0 m < - 1 : phương trình vô nghiệm + m + 1 = 0 m = -1 : phương trình có hai nghiệm phân biệt + 0 < m + 1 < 1 -1 < m < 0 : phương trình có bốn nghiệm phân biệt + m + 1 = 1 m = 0 : phương trình có ba nghiệm + m + 1 > 1 m > 0 : phương trình có hai nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,75 Bài 6: ( 3,5) Đáp án Điểm 1/ + Khi m = 1 y = x4 - 4x2 + 3 + Tập xác định : D = R + y' = 4x3 - 8x y' = 0 + Trên các khoảng và ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến + Trên các khoảng và ; y; > 0 nên hàm số đồng biến + Hàm số đạt cực tiểu tại x = - , yCT = y(-) = -1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = , yCT = y() = -1 Hàm số đạt cực đại tại x = 0,yCĐ = y(0) = 3 + y'' = 12x2 - 8 y'' = 0 x = x - - + y'' + 0 - 0 + ĐT lõm Đ.uốn lồi Đ.uốn lõm + Bảng biến thiên : x - - 0 + y' - 0 + 0 - 0 + y + + -1 3 -1 + Đồ thị : 2/ (CM) Tiếp xúc cới parabol : y = 2x2 + 1 Hệ phương trình sau có nghiệm Ta có : x(x2 - m - 2 ) = 0 + x = 0 m = 0 + x2 = m + 2 m2 + 2m + 4 = 0 ( vô nghiệm ) Vậy : m = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 7 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ + Khi m = 1 y = -x4 - x2 + 2 + Tập xác định : D = R + y' = -4x3 - 2x y' = 0 x = 0 + Trên khoảng (-;0) ; y' > 0 nên hàm số đồng biến. + Trên khoảng (0;+) ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến. + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; ycđ = y (0) = 2 + Lim y = - ; Lim y = - x - x + + y'' = -12x2 - 2 < 0 ; Đồ thị hàm số lồi trong (-;+) và không có điểm uốn + Bảng biến thiên : x - 0 + y' + 0 - y 2 - - + Đồ thị : 2/ Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và trục hoành là : -x4 - mx2 + m + 1 = 0 x4 + mx2 - m - 1 = 0 ( 1 ) Đặt t = x2 : t2 + mt - m - 1 = 0 ( 2 ) ( Cm ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Phương trình ( 1 ) có 4 nghiệm phân biệt. Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 8 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ Khi m = -1 y = 2x4 + x2 - 3 + Tập xác định : D = R + y' = 8x3 + 2x y' = 0 x = 0 + Trên khoảng (-;0) ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng (0;+) ; y' > 0 nên hàm số đồng biến. + Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = y (0) = 3 + Lim y = + ; Lim y = + x - x + + y = 24x2 + 2 > 0 ; Đồ thị hàm số lõm trong (-;+) và không có điểm uốn. + Bảng biến thiên : x - 0 + y' - 0 + y + + -3 + Đồ thị : 2/ y' = 4(1-m)x3 - 2mx y' = 0 2x[2(1-m)x2 - m] = 0 (1) + Hàm số có 3 điểm cực trị phương trình : y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và đối dấu khi x qua các nghiệm đó. Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 0 + Vậy nghiệm phương trình là : 0<m<1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 9 : ( 3,5đ ) Đáp án Điểm 1/ Khi m = 1 y = x4 - 8x2 + 10 + Tập xác định : D = R + y' = 4x3 - 16x y' = 0 + Trên các khoảng (-;-2) và (0;2) ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến. + Trên các khoảng (-2;0) và (2;+) ; y' > 0 nên hàm số đồng biến. + Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, yct = y (-2) = -6 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yct = y (2) = -6 + Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = y (0) = 10 + Lim y = + ; Lim y = + x - x + y'' = 12x2 - 16 y" = 0 x - - + y'' + 0 - 0 + ĐT lõm Đ.uốn lồi Đ.uốn lõm + Bảng biến thiên : x - -2 0 2 + y' - 0 + 0 - 0 + y + + -6 10 -6 + Đồ thị : 2/ y' = 4mx3 - 2(m2 - 9)x Tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M song song với đường thẳng y = 18x - 1 y'(1) = 18 4m - 2(m2 - 9) = 18 2m2 - 4m = 0 Vậy : m = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 10 : (3,5đ) Đáp án Điểm 1/ + y' = 2x3 - 2ax Hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1 2/ Khi a = 1 ; b = - + Tập xác định : D = R + y' = 2x3 - 2x y' = 0 + Trên các khoảng (-;-1) và (0;1) ; y' < 0 nên hàm số nghịch biến. + Trên các khoảng (-1;0) và (1;+) ; y' > 0 nên hàm số đồng biến. + Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, yct = y (-1) = -2 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yct = y (1) = -2 + Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = y (0) = - Lim y = + ; Lim y = + x - x + + y" = 6x2 -2 y" = 0 x - - + y'' + 0 - 0 + ĐT lõm đ.uốn lồi đ.uốn lõm + Bảng biến thiên : x - -1 0 1 + y' - 0 + 0 - 0 + y + + -2 - -2 + Đồ thị : 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5