Giáo án lớp 12 môn Toán - Elíp

Elíp I. Kiến thức cơ bản : 1. Định nghĩa . 2. phương trình chính tắc của (E) 3. Hình dạng của (E) II. Các dạng phương trình chính tắc của (E) II.1. Elíp có trục đối xứng trùng với các trục toạ độ Dạng 1 : Cho (E) có phương trình : a/ Nếu a>b . (E) có trục lớn thuộc 0x có độ dài bằng 2achứa hai tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c;0) với c2= a2-b2. (E) có trục nhỏ thuộc 0y có độ dài 2b . Tâm sai e = với (0<e<1). b/ Nếu a< b . (E) có trục lớn thuộc 0y có độ dài bằng 2bchứa hai tiêu điểm F1(0; -c); F2(0;c) với c2= b2-a2. (E) có trục nhỏ thuộc 0x có độ dài 2a . Tâm sai e = với (0<e<1). Dạng 2 : Cho (E) có phương trình : A2x2 + B2y2= C2 . Để chuyển (E) về dạng chình tắc ta đI chia cho cả hai vế của (*) cho C2 ta được : Ví dụ 1: Cho (E) có phương trình : a. Xác định các yếu tố của (E) . b. Tìm điểm thuộc (E) có hoành độ bằng x=2 và tính khoảng cách từ điểm đó tới 2 tiêu điểm của (E) c. Tìm các giá trị của b để đường thẳng (d) : y= x+b có điểm chung với (E) ĐS : b. M1(2;) ; M1(2;) ; ; c. Đường thẳng d có điểm chung với (E) hệ phương trình có nghiệm có nghiệm . Ví dụ 2 : Cho (E) có phương trình : a. Xác định các yếu tô của (E) b.Cho M(1;1), Lập phương trình đường thẳng đI qua M và cắt (E) tại hai điểm A; B sao cho : MA=MB . ĐS .b. Gọi phương trình đường thẳng d đI qua M có dạng : y= k(x-1) +1 Toạ độ giao điểm A;B của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình : (*) có 2 nghiệm phân biệt >0 luôn đúng Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và Theo giả thiết MA=MB Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 4x +9y -13 =0 . Ví dụ 3 : Lập phương trình chính tắc của (E) biết hai tiêu điểm F1(-1;-1); F2(3;3)và độ dài trục lớn bằng 12 . HD : Vì F1F2 không song song với hệ trục toạ độ . Do đó (E) có trục đối xứng nghiêng với hể trục toạ độ . Khi đó ta thực hiện các bước như sau : Lấy điểm M(x;y) (E) có tiêu điểm F1(-1;-1); F2(3;3) và độ dài trục lớn bằng 12 . Ta có MF1 + MF2 =12 (1) Mặt khác : MF12= (x+1)2 +(y+1)2 ; (2) MF22= (x-3)2 +(y-3)2 (3) Suy ra MF1 - MF2 = (4) Do đó lấy (1) +(4) ta được : (5) Thay (5) vào (2) ta được : là phương trình của (E) . Ví dụ 4 : Cho phương trình (E) Xác định các yếu tố của (E) Một đường thẳng d đi qua các tiêu điểm của (E) và song song với 0y cắt (E) tại hai điểm M,N . Tính độ dài đoạn thẳng MN Tính giá trị của m để đường thẳng y= x+m cắt (E) đã cho .ĐS Ví dụ 5 : Cho (E) có phương trình : với tiêu điểm F(-c; 0). Tìm điểm M trên (E) sao cho độ dài của FM ngắn nhất . HD : gọi suy ra : MF = ex +a , với e là tâm sai . Vì Nên –ae+aex +aae+a. Vậy Min FM = a-c III. Phương trình tiếp tuyến của Elíp 1. Tóm tắt lý thuyết . Cho (E) có phương trình : và điểm M(x0;y0) . Để viết phương trình tiếp tuyến của (E) ta làm như sau : Dạng 1 : Nếu ta biết tiếp điểm M(x0;y0) ta sử dụng phương pháp phân đôI toạ độ . Khi đó ta được phương trình tiếp tuyến của (E) : Dạng2 : Khi không biết tiếp điểm ta làm như sau : Cách 1 : Ta đI tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp nhân đôI toạ độ để giảI : Giả sử tiếp điểm là M (x0; y0) , Khi đó tiếp tuyến có dạng : (1) Mặt khác do M(x0;y0) (E) (2) Sử dụng điều kiện của giả thiết để thiết lậo thêm phương trình theo x0;y0 . GiảI để tìm x0;y0 sau đó thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định . Cách 2 : Ta xét các trường hợp sau : tiếp tuyến vuông góc với Ox tiếp tuyến vuông góc với Oy Xét tiếp tuyến không vuông góc với ox có dạng : y=kx+m . Chú ý : 1. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax +By +c =0 (A2+B2 >0) tiếp xúc với (E) : là : A2a2 +B2b2 = C2 . 2. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng y =kx +m tiếp xúc với (E) : là : k2a2 + b2 = m2 . Ví dụ : Cho (E) có phương trình :. Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết rằng : tiếp tuyến đi qua điểm A(4;0) tiếp tuyến đi qua điểm M(2;4) tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) có pt : x-2y+6=0 . tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) có pt : x-y=0 Ví dụ : Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một (E) bằng bình phương của nữa trục nhỏ . HD : Xét (E) có phương trình : với a>b>o . có F1(-c;0) ; F2(c;0) . Xét M0(x0;y0)(E).Khi đó tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) có dạng : . Khoảng cách từ F1; F2 đến tiếp tuyến là : và suy ra : d1.d2 = b2. Ví dụ-.Viết phương trình của (E) có tiêu cự bằng 8 , e=và tiêu điểm nằm trên 0xvà đối xứng nhau qua 0y. - Viết phương trình tiếp tuyến của (E) xuất phát từ ĐS : Vậy phương trình của (E) có dạng : Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : Ví dụ : Cho dường thẳng x-y-5 = 0 là tiếp tuyến của (E) có các tiêu điểm : F1(-3;0) và F2(3;0) . Viết phương trình của (E) ĐS : Bài tập : Bài 1 : Cho (E) có Phương trình :nhận : 3x-2y-20=0 và : x+6y-20=0 làm tiếp tuyến . Xác định các yếu tố của (E) . ĐS : Bài : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xoy cho điểm M(2;0) và (E) có phương trình Xác định vị trí các điểm N , P trên (E) thoã mãn một trong các điều kiện sau : 1. Tam giác MNP là tam giác đều . 2. MN = MP và tam giác MNP có diện tích lớn nhất . 3. MN=MP và góc NMP bằng 900 4. MN = MP và tam giác MNP có chu vi lớn nhất 5. Tam giác NMPcó góc NMP bằng 900 và có diện tích lớn nhất