Thử sức trước kì thi Đại học môn Toán - Đề 7

TRƯỜNG THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU  ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012  AN GIANG  Môn TOÁN – Khối A,B,D  Thời gian làm bài 150 phút, không kể  phát đề  A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH  Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( ) 4 2 4 1 2 1 y x m x m = - - + -  có đồ thị ( ) m C  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C  của hàm số khi  3  2  m =  .  b) Xác định tham số m để ( ) Cm  có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.  Câu II (2 điểm)  a) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 tan x sin x tan x . - + = +  b) Giải hệ phương trình trên tập số thực:  2  2 2  1 4  1 2  ( x ) y( y x ) y  ( x ).y( y x ) y ì + + + = ï í + + - = ï î  Câu III (1 điểm) Giải phương trình:  2 1 1 4 3 x x x + + = +  Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương  1 1 1 1 ABCD.A B C D  có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh  AB và CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho  . BM CN x = =  Xác định ví trí điểm M sao cho  khoảng cách giữa hai dường thẳng  1 AC  và  MN  bằng  3  a  .  Câu V (1 điểm) Cho a,b,c>0 thỏa điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:  1  1 1 1  a b c  b c c a a b + + ³ + + + + + +  B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH  Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao  Câu VI.a (2 điểm)  Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng:  1 2 3 : 2 3 0; : 3 4 5 0; : 4 3 2 0 d x y d x y d x y + - = + + = + + =  a)  Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc  1 d  và tiếp xúc với  2 d  và  3 d  b)  Tìm tọa độ điểm M thuộc  1 d  và điểm N thuộc  2 d  sao cho  4 0 OM ON + = uuuur uuur r  Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau:  1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x + + = -  Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn  Câu VI.b (2 điểm)  a) Viết phương trình đường tròn ( ) C  có tâm I  thuộc ( ) : 3 2 2 0 x y D + - =  và tiếp xúc với  hai đường thẳng ( ) 1  : 5 0 d x y + + =  và ( ) 2  : 7 2 0 d x y - + =  b) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là  ( 3;0) -  và đi qua điểm  4 33  (1; )  5  M  .Viết phương trình chính tắc của elip (E)  Câu VII.b (1 điểm)  Giải phương trình sau:  1 2 3  7  2 x x x  C C C x + + =  ­ HẾT ­  Cản ơn nguyenhongtam18@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN  NĂM 2011  Câu I  2 điểm  a)  Với m = 2 hàm số trở thành  4 2 2 2 y x x . = - + ·  Tập xác định: Hàm số  có tập xác định  D R. = ·  Sự biến thiên:  3 4 4 y' x x. = -  Ta có  0  0  1  x  y'  x = é = Û ê = ± ë  0,25 · ( ) ( ) 0 2 2 2 CD CT y y ; y y . = = = = -  0,25 ·  Bảng biến thiên:  x -¥  ­1  0  1 +¥  y' -  0 +  0 -  0 +  y +¥  2 +¥  1  1  0,25 ·  vẽ đồ thị  8  6  4  2 ­2 ­4 ­6 ­8  ­15  ­10  ­5  5  10  15 ·  Nhận xét: đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy  0,25  b)  Xác định  m để (Cm) có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều. ·  Ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 4 8 1 4 2 1 y x m x x x m . ¢ = - - = - - · ( ) 2  0  0  2 1  x  y  x m = é ¢ = Û ê = - ë  nên hàm số có 3 cực trị khi m > 1  0,25  0,25 ·  Với đk m > 1 hàm số có 3 điểm cực trị là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 2 1 4 10 5 2 1 4 10 5 A ; m ,B m ; m m ,B m ; m m . - - - + - - - - + -  Ta  có: ( ) ( ) ( )  4 2 2  2  2 1 16 1  8 1  AB AC m m  BC m = = - + - = -  0,25 ·  Điều kiện tam giác ABC đều là  2 2 2 AB BC CA AB BC CA = = Þ = = ( ) ( ) ( ) ( )  4  3  3  2 1 16 1 8 1  1 1 0  3 8 1 3  1  2  m m m  m m  m  m Þ - + - = - = é - = é ê Þ Þ ê ê - = = + ê ë ê ë ·  So sánh với điều kiện có 3 cực trị ta suy ra  3 3  1  2  m = +  :  0,25  Câu II  2 điểm  a)  Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 tan x sin x tan x . - + = + ·  Điều kiện:  π  π  2  x k ,k ¹ + ÎZ ·  Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( )  1  1 os2 0  os2 1  tan x  sin x cos x c x  c x = - é + - = Û ê = ë  .  0, 25  0,5 ·  Do đó nghiệm của phương trình là:  4  x k ,x k ;k p p p = - + = ÎZ  0,25  b)  Giải hệ phương trình trên tập số thực:  2  2 2  1 4  1 2  ( x ) y( y x ) y  ( x )y( y x ) y ì + + + = ï í + + - = ï î ·  Viết lại hệ dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( )  2  2 2  1 2 2  1 2  x y y x y  x y y x y ì + + + - = ï í + + - = ï î  0,25 ·  Đặt  2  1 u x = +  và  2 v y( y x ) = + -  ; hệ trở thành:  2  2 u v y  uv y + = ì í = î  nên u,v là nghiệm của  phương trình  2 2 2 0 X yX y X y - + = Û =  Nên  2 2 1 1  ( 2) 3  x y x y  y y x y y x ì ì + = + = Û í í + - = = - î î  0,25  0,25  ( ; ) (1;2);( 2;5) x y Û = -  .Vậy hệ có 2 nghiệm như trên.  0,25  Câu III  Giải phương trình:  2 1 1 4 3 x x x + + = +  1đ  Điều kiện:  0 x ³  Pt  2 4 1 3 1 0 x x x Û - + - + = 2 1  (2 1)(2 1) 0  3 1  x  x x  x x - Û + - + = + +  0,25  0,25  1  (2 1) 2 1 0  3 1  x x  x x æ ö Û - + + = ç ÷ + + è ø  0,25  1  2 1 0  2  x x Û - = Û =  0,25  Câu IV  1 điểm N  M  D1  C1  B1 A1  D  C  B A ·  Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 MN / / BC MN / / A BC d MN ,AC d MN , A BC Þ Þ =  0,25 ·  Gọi  1 1 H A B AB = Ç  và  1 MK / / HA,K A B Π 2 2  x  MK Þ =  .  0,25 ·  Vì  1 1 1 A B AB MK A B ^ Þ ^  và ( ) 1 1 CB ABB A CB MK ^ Þ ^  . ·  Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 MK A BC MK d MN , A BC d MN ,AC ^ Þ = = ·  Nên  2 2  3 2 3 3  a x a a  MK x = Þ = Þ =  . Vậy M thỏa mãn  2 3  a  BM =  0,25  0,25  Câu V  Cho a,b,c>0 thỏa điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:  1  1 1 1  a b c  b c c a a b + + ³ + + + + + +  1đ ·  Ta có  2  3  ( ) 3 3 (1)  3  a b c  a b c abc a b c + + + + ³ = Þ + + £  0,25 · Ta có  2  2  ( ) 3( )  2( )  2( ) (2)  3  a b c ab bc ca  a b c  ab bc ca + + ³ + + + + Þ + + £  0,25 ·  Khi đó:  2 2 2  1 1 1  a b c a b c  b c c a a b a ab ac b bc ba c ca cb + + = + + + + + + + + + + + + + +  2 2  2 2  1 2 2  3 3  ( a b c ) ( a b c )  ( a b c ) ( a b c ) ( a b c ) ( ab bc ca ) + + + + ³ ³ = + + + + + + + + + +  (do (1),(2)) ·  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1  0,5  Câu VI.a  Chương trình nâng cao  2đ  a) ·  Gọi  1 I d Π là tâm đường tròn, thì  ( ;3 2 ) I t t - ·  Khi đó:  3 4(3 2 ) 5 4 3(3 2 ) 2  5 5  t t t t + - + + - + =  0,25  0,25  5 17 2 11 2  5 17 2 11 4  t t t  t t t - + = - + = é é Û Û ê ê - + = - = ë ë  0,25 ·  Vậy có hai đường tròn thỏa mãn:  2 2  49 ( 2) ( 1)  25  x y - + + =  và  2 2  9  ( 4) ( 5)  25  x y - + + =  0,25  b)  Tìm tọa độ điểm M thuộc  1 d  và điểm N thuộc  2 d ·  Do  1 2 & M d N d ΠΠ nên  2  1 1 2  3 5  ( ;3 2 ); ( ; )  4  x  M x x N x + - -  0,25  1  1 2  1 2  2  8  4 0  5 4  3 2 (3 5) 0 2  5  x x x  OM ON O  x x  x ì = - ï + = ì ï + = Û Û í í - - + = î ï = ï î uuuur uuur ur  Vậy  8 31 2 31  ; à ;  5 5 5 20  M v N æ ö æ ö - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø  0,5  0,25  Câu  VII.a  Chương trình nâng cao  1đ ·  Ta có  1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x + + = -  Điều kiện  3, x x N ³ Π 0,25 ·  pt  2 3 ( 1) ( 1)( 2) 9 14 x x x x x x x x Û + - + - - = -  2  9 14 0 2 7 x x x x Û - + = Û = Ú =  0,5 ·  So với đkiện pt có  nghiệm  7 x =  0,25  CâuVI.b  Chương trình cơ bản  2đ  a) ·  Đưa ( ) D  về dạng tham số ( )  2 2  : ;  3 2  x t  t  y t = + ì D Î í = - - î R . ·  Gọi ( ) ( ) 2 2; 3 2 I t t + - - Î D  và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn.  0,25 ·  Từ đk tiếp xúc suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2  5 17 18  ; ;  2 5 2  t t  d I d d I d R R - + + = = Þ = =  103 7  5 25 17 18  22 2 22  5 25 17 18 43 103  12  22 2  R t t t  t t  t R é é = = ê ê - + = + é ê Þ Þ Þ ê ê - = + ê ë ê = - = ê ê ë ë  0,5 ·  Từ đó dẫn đến 2 đáp số của bài toán là:  2 2 2  58 65 103  22 22  22 2  x y æ ö æ ö æ ö - + + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø  và  2 2 2  62 105 103  12 12  22 2  x y æ ö æ ö æ ö + + - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø  0,25  b) ·  (E) có tiêu điểm  ( 3;0) F -  nên  3 c = - ·  Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng  2 2  2 2  1  x y  a b + =  0,25 ·  Ta có:  2 2  2 2  4 33 1 528  (1; ) ( ) 1 (1) à 3  5 25  M E v a b  a b Î Þ + = = +  Thay vào (1) ta được:  4 2 2  2 2  1 528  1 25 478 1584 0 22  3 25  b b b  b b + = Û - - = Û = +  0,5 2  25 a Þ = ·  Vậy Phương trình chính tắc của elip (E) là  2 2  1  25 22  x y + =  0,25  CâuVII.b  Chương trình cơ bản  1đ ·  Ta có:  1 2 3  7  2 x x x  C C C x + + =  Điều kiện  3, x x N ³ Π Pt  2  ( 1) ( 1)( 2) 7  2 6 2  6 3( 1) ( 1)( 2) 21  16 4 4  x x x x x x  x  x x x  x x x - - - Û + + = Û + - + - - = Û = Û = Ú = -  0,25  0,5 ·  So với điều kiện ta được  4 x =  0,25