Giáo án môn Đại số lớp 11 - Một số bài toán về cực trị rời rạc

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ RỜI RẠC Các bài toán về tìm cực trị rời rạc là các bài toán tìm giá trị lớn nhất ( GTLN ) và giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) của các hàm số nhiều biến nguyên dương thỏa mãn điều kiện nào đó. Để giải các bài toán loại này chúng ta chỉ có thể sử dụng công cụ duy nhất là Bất đẳng thức. Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán dạng này. Bài toán 1: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: với . Giải: Do chỉ có hữu hạn các bộ số thỏa mãn điều kiện của bài toán (TMĐKBT) nên có hữu hạn giá trị của biểu thức A. Theo nguyên lý cực hạn sẽ tồn tại GTNN N của A và GTLN L của A. Với k = 2 theo bất đẳng thức Côsi – Svác ta có ; dấu bằng xảy ra khi . Từ đó ta dự đoán N đạt được khi các số hơn kém nhau không quá 1. Thật vậy, do có vai trò như nhau nên ta luôn có thể giả thiết được: . Nếu N đạt được với bộ số mà thì ta đặt: ; khi đó bộ số TMĐKBT và trái với giả thiết của N. . (2) đúng vì: Nên (1) đúng ) Do A đạt GTNN khi các số gần nhau nên ta dự đoán A có GTLN L khi các số xa nhau. Ta sẽ chứng minh L đạt được khi . Thật vậy, nếu L đạt được với bộ số mà thì ta đặt ; khi đó bộ số TMĐKBT và Điều này trái với giả thiết của L. Ví dụ: nếu n = 29 và m = 2010 thì ; giả sử thì: Vậy: . Trong trường hợp tổng quát thì: ; . Bài toán 2: Tổng của n số nguyên dương bằng m ( m > n > 1). Tìm GTLN và GTNN của tích n số đó. Giải: Ta kí hiệu n số nguyên dương có tổng bằng m là . Kí hiệu tích của chúng là P. Theo Bất đẳng thức Cô-si, nếu là các số thực dương thì P đạt GTLN khi do đó ta dự đoán P đạt GTLN L khi các số hơn kém nhau không quá 1. Thật vậy giả sử L đạt được với bộ số mà thì ta đặt: ; khi đó bộ số TMĐKBT và điều này trái với giả thiết của L. . Do (2) đúng nên (1) Đúng ). Ta cũng dự đoán P có GTNN N khi các số xa nhau. Ta sẽ chứng minh N đạt được khi . Thật vậy, nếu N đạt được với bộ số mà thì ta đặt ; khi đó bộ số TMĐKBT và Điều này trái với giả thiết của số N. Cụ thể: Nếu n = 29 và m = 2010 thì: Trong trường hợp tổng quát thì: . Bài toán 3: Cho n số nguyên dương có tích bằng m (m > n > 1). Tìm GTLN của biểu thức: với Giải: Lý luận như các bài trên ta có: tồn tại GTLN L của A. Ta chứng minh L đạt được với . Thật vậy, nếu L đạt được với bộ số mà thì ta đặt ; khi đó bộ số TMĐKBT và Điều này trái với giả thiết của L. . Điều này đúng vì: . Vậy . Bài toán 4: Phân tích số 2003 thành tổng các số nguyên dương. Tìm GTLN của tích các số nguyên dương này. Giải: Giả sử với . Ta cần tìm GTLN của biểu thức . Theo kết quả bài 2 ta có: với . Do 2003 là số nguyên tố nên nếu thì và . Với n = 668 thì: Với thì với k = 3n – 2003 . Ta sẽ chứng minh: bất đẳng thức này đúng với n > 668 nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Với thì . Vậy GTLN cần tìm là: . Bài toán 5: Cho m,n là hai số nguyên dương với . Giả sử là các số nguyên dương có tổng bằng m. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức . Giải: Vì có hữu hạn bộ số TMĐKBT nên có hữu hạn giá trị của S do đó tồn tại GTNN N và GTLN L của S. Ta chứng minh L đạt được khi . Thật vậy, giả sử L đạt được Với bộ số mà . Khi đó tồn tại . Đặt Khi đó bộ số TMĐKBT. Do Trái với giả thiết của L. Vậy . Chứng minh tương tự ta có: N đạt được khi . Bài toán 6: Cho với n là hằng số nguyên dương. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức . Giải: Ta chứng minh P đạt GTNN và GTLN Thật vậy giả sử N đạt được với bộ số (x;y) TMĐKBT mà x < n; ta đặt: . Khi đó bộ số (x’;y’) TMĐKBT và: trái với giả thiết của N. Giả sử L đạt được với bộ số (x;y) TMĐKBT mà 1 < x < y. Ta đặt . . Khi đó bộ số (x’;y’) TMĐKBT và: trái với giả thiết của L. Bài toán đã được giải quyết. Bài toán 7: Cho với n là hằng số nguyên dương. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức . Giải: Ta chứng minh P đạt GTNN và GTLN Thật vậy giả sử N đạt được với bộ số (x;y) TMĐKBT mà x < n; ta đặt: . Khi đó bộ số (x’;y’) TMĐKBT và: Trái vói giả thiết của N. Giả sử L đạt được với bộ số (x;y) TMĐKBT mà 1 < x < y. Ta đặt . . Khi đó bộ số (x’;y’) TMĐKBT và: Trái vói giả thiết của L. Vậy bài toan đã được giải quyết. ------------------ // -----------------