Giáo án môn Toán 11 - Chủ đề 2: Phương trình lượng giác

Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Vấn đề 1: PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN-PH.TRÌNH BẬC NHẤT MỘT HSLG . A- Tóm tắt cơ sở lí thuyết: 1. Phương trình lượng giác cơ bản. a) sinx = m + Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu -1 £ m £ 1 Đặt m = sina, ta có: sinx = sin a Û .(k,lÎ Z) Hoặc: Nếu m không là giá trị đặc biệt và x tính bằng radian ta có thể dùng kí hiệu sau để viết nghiệm. Sau khi giải phải biết kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác. b) cosx = m + Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm. + Nếu -1 £ m £ 1 Đặt m = cosa, ta có: cosx = cosa Û .(k, n Î Z) Hoặc: Nếu m không là giá trị đặc biệt và x tính bằng radian ta có thể dùng kí hiệu sau để viết nghiệm. Chú ý: * Các trường hợp đặc biệt: m = 0, 1, -1, ±, ±, ± phải ghi đúng các giá trị lượng giác của cung tương ứng. * Sau khi giải nên dựa vào đường tròn lượng giác để gọp nghiệm. * Không được áp dụng công thức một cách máy móc. c) tgx = m + Với " mÎR, đặt m = tga, ta có: tanx = tana Û x = a + kp (k Î Z). Hoặc: Nếu m không là giá trị đặc biệt và x tính bằng radian ta có thể dùng kí hiệu sau để viết nghiệm. tanx = m Û x = arctanm + kp, kÎ Z d) cotgx = m + Với " mÎR, đặt m = cota, ta có: cotx = cota Û x = a + kp (k Î Z). Hoặc: Nếu m không là giá trị đặc biệt và x tính bằng radian ta có thể dùng kí hiệu sau để viết nghiệm. cotx = m Û x = arccotm + kp, kÎ Z Chú ý: * Các giá trị đặc biệt: m = 0, , ±, ± * Không được áp dụng công thức nghiệm một cách máy móc. Chốt lại công thức: Với u = u(x) và v = v(x) ta có chùm công thức nghiệm mở sau: 2- Phương trình bậc nhất một hàm số lượng giác: * Dạng: Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng sau: af(x) + b = 0 (a, b Î R, a ≠ 0) Trong đó f(x) là các hàm số lượng giác theo biến số x. + Nếu f(x) là sinu hoặc cosu thì điều kiện có nghiệm là: . + Nếu f(x) là tanu hoặc cotu thì điều kiện là tanu, cotu có nghĩa. * Phương pháp giải: (đưa về phương trình cơ bản) af(x) + b = 0 Û . B- Hệ thống bài tập: Bài1) Giải các phương trình lượng giác sau: a) b) c) d) cos3x - sin4x = 0 e) f) sinx(3sinx +4) = 0 g) cos2x.cosx + sinx.cos3x = sin2x.sinx- sin3xcosx h) . i) j) k) l) m) Bài 2) Giải các phương trình sau: a) b) c) tan3x.tanx = 1 d) cot2x.cot e) g) Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra: a) b) c) tan3x - 2tan4x + tan5x = 0 , x Î(0; 2p) d) e) g) cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 , x Î [0; 14] Hướng dẫn và đáp số: Bài 1: a) ĐS: b) ĐS: c) ĐS: d) ĐS: e) Đưa về giải f) sinx(3sinx +4) = 0 g) P. trình Û cos2x.cosx - sin2x.sinx = -(sinx.cos3x + cosx.sin3x) Û cosx = - sin4x --- > k. quả. h) Áp dụng công thức nhân: Biến đổi pt theo cung 2x Û sin4x - cos4x = sin2x Û sin2x + cos2x = 0 (quen) i) Nhóm hạng tử đưa về pt tích: Û (quen) j) Û (quen) k) Cần lưu ý điều kiện: , với điều kiện đó ta được: Û -- > (quen) l) Lưu ý điều kiện: Biến đổi pt: Þ sinx --- > ĐS: x = . m) Biến đổi: Pt Û Û . Do Þ (quen) ĐS: x = Chú ý: Đối với những phương trình lượng giác chứa hàm số tang và côtang cần lưu ý điều kiện xác định của nó để loại nghiệm ngoại lai. Tốt nhất khi tìm được hệ thống nghiệm, ta thay vào các điều kiện để kiểm tra. Bài 2: Các câu a, b, c, d đơn giản bạn đọc tự làm. e) Điều kiện: cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0. Nhóm hạng tử và đưa về phương trình tích: ( các nghiệm này thõa điều kiện) g) , điều kiện cos2x ≠ 0. Nhóm hạng tử và đương phương trình về dạng tích: Û =0 ĐS: (đã kiểm tra điều kiện) Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra: a) ĐS: b) Điều kiện: cos2x ≠ 1 Giải nghiệm và kiểm tra điều kiện--- > k.quả. ĐS: . c) Điều kiện: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0, cos5x ≠ 0. tan3x - 2tan4x + tan5x = 0 , x Î(0; 2p) Þ Þ Þ Bây giờ ta tìm k để x Î(0; 2p): Þ . Khi k = 1 Þ x = (thõa điều kiện). Khi k = 2 Þ ( không thõa điều kiện) Khi k = 3 Þ ( thõa điều kiện). Khi k = 4 Þ ( thõa điều kiện) Khi k = 5 Þ ( thõa điều kiện). Khi k = 6 Þ (không thõa điều kiện) Khi k = 7 Þ ( thõa điều kiện) ĐS: Trên khoảng ( 0; 2) phương trình có 5 nghiệm: x = ; ; ; ; . d) Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.( thực ra chỉ cần điều kiện cosx ≠ 0 vì xét trên (0; p)) Ta có: và . Biến đổi pt -- > (quen) ĐS: x = (thõa điều kiện) e) Điều kiện: cosx ≠ 0 Đưa phương trình theo ẩn tanx ta được: tan3x +tan2x - 3tanx - 3 = 0 ---- > (quen) ĐS: x = (thõa điều kiện) g) cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 , x Î [0; 14] Ta dễ dàng chứng minh: cos3x = 4cos3x - 3cosx Do đó: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 Û Û cos2x(cosx - 2)= 0 Û cosx = 0 Û Vì x Î [0; 14] Þ , k Î Z Þ k Î {0; 1; 2; 3} ĐS: . C- KẾT HỢP CÔNG THỨC NGHIỆM (giúp HS giải quyết khó khăn) Việc kết hợp công thức nghiệm trong các phương trình lượng giác giúp chúng ta loại bỏ được nghiệm ngoại lai đồng thời cho ta một công thức nghiệm đẹp hơn giúp ta tiếp tục bài toán ở những góc độ khác nhau sau khi tìm được hệ thống nghiệm một cách dễ dàng hơn. Trong thực tế khó khăn của học sinh là việc kết hợp công thức nghiệm này. Xin trao đổi cùng bạn đọc hai cách chủ yếu sau để tùy nghi sử dụng. Cách 1: Biểu diễn hệ thống cung nghiệm lên đường tròn lượng giác Ví dụ: Giả sử giải một phương trình lượng giác nào đó ta được cung nghiệm: . Ta viết lại dưới dạng : Þ số điểm ngọn là m ứng với k từ 0 đến m -1. Ví dụ, biểu diễn trên ĐTLG các điểm ngọn của cung nghiệm + Ta viết lại Þ kệ thống này có 8 điểm ngọn trên ĐTLG, ứng với k nhận giá trị nguyên từ 0 đến 7. 8 điểm ngọn của hệ thống này là đỉnh của bát giác đều nội tiếp trong ĐTLG. Ví dụ : Giả sử khi giải một phương trình lượng giác cho ta kết quả sau: . Hãy viết hai hệ thống trên thành một công thức nghiệm (nếu có thể). Ta làm như sau: + Biểu diễn 2 điểm ngọn của hệ thống (1) và 4 điểm ngọn của hệ thống (2) + 6 điểm ngọn là 6 đỉnh của lục giác đều nội tiếp ĐTLG dựa vào ĐTLG ta viết được hệ thống chung x = Do đó: Cách 2: Dùng phương trình nghiệm nguyên Không phải lúc nào ta cũng biểu diễn hết số điểm ngọn của hệ thống cung nghiệm trên ĐTLG, chẳng hạn bạn thử làm điều đó đối với hệ thống !. Vì vậy ta dùng cách 2 này tuy phức tạp hơn nhưng giải quyết được vấn đề trọn vẹn hơn. 1) Cơ sở lý thuyết: Giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax +by = c, a, b, c Î Z. * Ta công nhận bổ đề sau: Bổ đề 1:Phương trình ax +by = c , a, b, c Î Z có nghiệm nguyên Û . Þ Nếu thì ax +by = c với a, b, c Î Z luôn có nghiệm nguyên. Bổ đề 2: Nếu ph.trình ax +by = c với a, b, c Î Z, a2 + b2 ≠ 0 và có 1 nghiệm nguyên (x0; y0) thì nghiệm tổng quát của phương trình là: . Ví dụ, phương trình 4x - 11y = m + 2 (a) có (4, 11) = 1 Þ (a) luôn có nghiệm nguyên. Phương trình (a) có một nghiệm nguyên (3m+6; m+2) Þ phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: . 2) Áp dụng phương trình nghiệm nguyên để kết hợp nghiệm hoặc loại nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình tan2x.tan7x = 1 Điều kiện: Ta có : tan2x.tan7x = 1 Þ cos2x.cos7x-sin2x.sin7x= 0 Û cos9x = 0 Û x = . Kiểm tra (3) có thõa (1), (2) không: * Xét điều kiện (1): Giả sử Û 4l - 18k = 7(*) ta thấy (4; 18) = 2 không là ước của 7 Þ (*) không có nghiệm nguyên. Vậy (3) luôn thõa (1). * Xét điều kiện (2): Giả sử (**) vì (7;9) = 1 Þ pt (**) luôn có nghiệm nguyên, rõ ràng (4, 3) là một nghiệm riêng của (**) Þ nghiệm nguyên tổng quát là: . Do đó hệ thống nghiệm của pt đã cho là: x = . ----------------------------------------------------------------------------