Giáo án môn Toán khối 11 - Biến cố và xác suất

Biến cố và xác suất * Mục đích yêu cầu: Hs nắm được một số khái niệm như phép thử , biên cố và các quan hệ, định nghĩa, định lí xác suất, tính độc lập,công thức xác suất. Tiết 1 I: phép thử 1> Khái niệm phép thử và các biến cố Định nghĩa: Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không gọi là thực hiện một phép thử, hiện tượng xảy ra trong kết quả của phép thử gọi là biến cố. Người ta kí hiệu các biến cố bởi các chữ A,B,C,... Ví dụ: a> Gieo một đồng tiền đồng chất có thể mặt xấp hay mặt ngửa xuất hiện thì gieo là phép thử, mặt X,hay N là các biến cố. b> Bắn một phát súng vào bia trúng hay trượt bia thì bắn là phép thử trúng T,trượt H là các biến cố. 2> Các biến cố 2.1- Biến cố chắc chắn Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện Kí hiệu bằng chữ U Ví dụ khi gieo một đồng tiền biến cố A='mặt X hay mặt N xuất hiện' thì A=U; 2.2- Biến cố không thể Biến cố không thể là biến cố nhất định không xảy ra khi phép thử được thực hiện Kí hiệu bằng chữ V Ví dụ khi gieo một đồng tiền biến cố A='mặt X và mặt N xuất hiện' thì A=V; 2.3- Biến cố ngẫu nhiên Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi phép thử được thực hiện . 2.4- Biến cố xung khắc và biến cố tương thích Hai biến cố A và B gọi là hai biến cố xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi phép thử được thực hiện Hai biến cố A và B gọi là hai biến cố tương thích nếu chúng đồng thời xảy ra khi phép thử được thực hiện Ví dụ khi tung một con xúc xắc (6 mặt từ một chấm đến mặt 6 chấm) Gọi Qi (i=1,..,6) ='mặt i chấm xuất hiện' Qc ='mặt có số chấm chắn xuất hiện' Ql ='mặt có số chấm lẻ xuất hiện' Qnt ='mặt có số chấm nguyên tố xuất hiện' Qc,Ql xung khắc, Qnt,Q3 tương thích. 2.5- Biến cố thuận lợi của một biến cố Định nghĩa: Nói biến cố A thuận lợi cho biến cố B nếu biến cố A xuất hiện thì biến cố B cũng xuất hiện viết AèB Ví dụ Q2èQc, Q3èQl 2.6- Nhóm đầy đủ các biến cố Các biến cố A1,A2,......,An gọi là nhóm đầy đủ các biến cố nếu thoả mãn cả hai trường hợp sau - Khi một phép thử được thực hiện một trong chúng nhất thiết xuất hiện - Hai biến cố bất kì trong chúng đôI một xung khắc. Ví dụ { X,N } khi gieo một đồng tiền đồng chất {Qi i=1,..,6} khi tung một con xúc xắc 3> đại số các biến cố 3.1- Giao hai biến cố Giao hai biến cố A và B là một biến cố C khi phép thử được thực hiện C xảy ra khi A và B cùng xảy ra viết C=AầB; 3.2- Hợp hai biến cố Hợp hai biến cố A và B là một biến cố C khi phép thử được thực hiện C xảy ra khi A hoạc B xảy ra viết C=AẩB; 3.3- Hiệu hai biến cố Hiệu hai biến cố A và B là một biến cố C khi phép thử được thực hiện C xảy ra khi A xảy ra và B không thể xảy ra viết C=A\B; 3.4- Biến cố đối lập của một biến cố Với một biến cố A gọi biến cố U\A= A là biến cố đối của biến cố A. Tiết 2 II> Định nghĩa xác suất theo cổ điển 1- Kết quả đồng khả năng Ví dụ 1: khi gieo một đồng tiền đồng chất khả năng xuất hiện mặt xấp, mặt ngửa là như nhau ta nói rằng các kết quả đồng khả năng. Ví du 2: Khi tung một con xúc xắc khả năng xuất hiện mỗi Qi (i=i..n) là như nhau ta nói các kết quả đồng khả năng. 2- định nghĩa. Giả sử tập hợp các kết quả của phép thử có n kết quả đồng khả năng trong đó có m kết quả thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của biến cố A kí hiệu là p(A)= Ví dụ 1: theo trên ta có p(Qi)=1/6 trong ví dụ này có 6 kết quả đồng khả năng (n=6) có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố Qi (m=1); Ví dụ 2: Một lô sản phẩm có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm 4 phế phẩm . lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm tìm xác suất để a> 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm b> trong 3 có 2 chính phẩm Giải a>Gọi A='Lấy 3 sản phẩm' Số kết quả đồng khả năng là =n=120 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là =m=20 theo định nghĩa ta có p(A)= 20/120 = 1/6 b> Gọi B='Lấy 3 sản phẩm có 2 chính phẩm' Ssố kết quả đồng khả năng là =n=120 Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là =m=60 theo định nghĩa ta có p(A)= 60/120 = 1/2 3- Nguyên lí xác suất lớn nhỏ Trong thực tế ta thường gặp những bc có xác suất xấp xỉ bằng 0 thì ta có thể cho rằng trong một phép thử bc đó không xảy ra và gọi là nguyên lí xác suất nhỏ thường lấy (0,01;0,05). Trong thực tế ta thường gặp những bc có xác suất xấp xỉ bằng 1 thì ta có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó chắc chắn xảy ra gọi là nguyên lí xác suất lớn. Tiết 3 bài tập 1>Chứng minh rằng nếu A là một bc thì 0<p(A)<1 2>Chứng minh rằng nếu A là một bc không thể thì p(A)=0 3>Chứng minh rằng nếu A là một bc chắc chắn thì p(A)=1 4>Tung một con xúc xắc hai lần tim xác suất để có một lần được mặt 6 chấm 5> Một lô sản phẩm có 20 chính và 10 phế . phép thử là lấy ngẫu nhiên ra 2 SP tìm xác suất . a/ 2 sản phẩm đều chính b/ 2 sản phẩm lấy ra có 1 chính và 1 phế. 6> Một nhi đồng tập xếp chữ em có các chữ A, H, I, O, H, B, N. Tìm xác suất để em xếp ngẫu nhiên thành chữ HOABINH III: các định lí và công thức xác suất 1/ Các khái niệm: * Đn1/ Hai biển cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xuất hiện của biến cố này không làm thay đôie xác suất xuất hiện của biến cố kia và ngược lại gọi là phụ thuộc. * Đn2/ Các biển cố A1, A2,.. An gọi là độc lập từng đôi một nếu hai biển cố bất kì trong chúng độc lập. * Đn3/ Các biển cố A1, A2,.. An gọi là độc lập toàn phần nếu một trong biến cố là tổ hợp các biến cố còn lại. * Đn4/ xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xuất hiện gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A kí hiệu p(A/B). 2/ Các định lí a: Đl1/ ( Định lí cộng): Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì xác suất của hợp 2 biến cố bằng tổng xác suất của 2 biến cố đó. CM/ Giả sử trong phép thử có n kết quả đồng khả năng reong đó có m kết quả thuận lợi cho biến cố A và k kéet quả thuận lợi cho biến cố B. Vì A, B xung khắc nên số kết quả thuận lợi cho biến cố AUB là m+k. Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có p(AUB)= = p(A)+p(B) điều phải chứng minh. Hệ quả 1: Xác suất của n biến cố đôi một xung khắc thì bằng tổng xác suất n biến cố đó Tức là p(UAi)= CM bằng qui nạp Hệ quả 2: nếu Ai ( i=1,..,n) là nhóm đầy đủ các biến cố thì Hệ quả 3: Với mọi biến cố A ta luân có p(A)=1-p Các ví dụ VD1/ xác suất để xạ thủ bắn trúng vòng 10 là 0,1; vòng 9 là 0,2; vòng 8 là 0,4; vòng nhỏ hơn 8 là 0,3. Xạ thủ bắn 1 phát đạn. Tìm xác suất để đạt ít nhất 9 điểm Giải: Gọi A1= ‘Xạ thủ bắn trúng vòng 10’ Gọi A2= ‘Xạ thủ bắn trúng vòng 9’ Gọi A3= ‘Xạ thủ bắn trúng vòng 8’ Gọi A4= ‘Xạ thủ bắn trúng vòng ,8 ’ Gọi A= ‘Xạ thủ bắn đạt ít nhất 9 điểm ’ A= A1UA2 =>p(A)=p(A1UA2)=p(A1)+p(A2)=0,1+0,2=0,3 VD2/ Trong một hòm có 10 chi tiết máy trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để láy ngẫu nhiên ra 6 chi tiết có không quá 1 chi tiết hỏng Giải: Gọi biến cố A= ‘Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng’ = ‘Trong 6 chi tiết lấy ra có hơn 1 chi tiết hỏng’ ta có p== => p(A) = 1-= b: ĐL2/ ( Định lí nhân): xác suất của tích 2 biến cố bằng tích xác suất của hai biến cố này với xác suất có điều kiện của biến cố kia. tức là p(AB)=p(A).p(B/A)=p(B).p(A/B) Hệ quả 1: Nếu p(B)>0 => p(A/B)= Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của n biến cố đó , trong đó xác suất của môic biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố trước đó xảy ra: tức là p(A1A2....An) = p(A1).p(A2/A1).p(A3/A1A2).......p(An/A1....An-1) c: ĐL3(xác suất tích hai biến cố độc lập): Nếu hai biến cố A,B độc lập thì xác suất của tích hai biến cố bằng tích 2 xác suất của hai biến cố đó: p(AB)=p(A)p(B) Hệ quả 1: Xác suất của tích n biến cố độc lập bằng tích xác suất của n biến cố đó tức là p( : CM bằng PP qui nạp VD1/ Có 2 hộp đựng chi tiết máy , hộp thứ nhất có 10 chi tiết trong đó có 6 tốt 4 hỏng; hộp thứ 2 có 15 chi tiết trong đó có 9 tốt và 6 hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 chi tiết . Tìm xác suất để lấy ra 2 chi tiết đều tốt? Giải: Gọi A1= ‘ Chi tiết lấy ở hộp 1 là tốt’ A2= ‘ Chi tiết lấy ở hộp 2 là tốt’ A= ‘ 2 chi tiết lấy là tốt’ A=A1A2=p(A)=p(A1).p(A2)=6/10.9/15=9/25 VD2/ Một xí nghiệp có 3 ôtô hoạt động độc lập xác suất trong ca làm việc các ôtô hỏng tương ứng bằng 0,1; 0,2; 0,3. Tìm xác suất để trong ca làm việc có a- Đúng 1 ôtô hỏng? đáp số =0,398 b- Có ít nhất 1 ôtô hỏng đáp số = 0,496 3/ ĐL4( Phát triển định lí cộng và nhân) Xấc suất của hợp 2 biến cố bất kì bằng tổng xác suất của 2 biến cố đó trừ đi xác suất của tích 2 biến cố Tức là p(AUB)=p(A)+p(B)-p(AB) CM: Giả sử trong phép thử có n kết quả đồng khả năng trong đó có m1 kết quả thuận lợi cho biến cố A m2 kết quả thuận lợi cho biến cố B k kết quả thuận lợi cho biến cố AB Số kết quả thuận lợi cho biến cố AUB là m1+m2-k => p(AUB) = = p(A)+p(B)-p(AB) Hệ quả: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc được tính theo công thức sau: p Hệ quả 2: Xác suất củ hợp n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần bằng 1 trừ đi tích xác suất của các biến cố đối lập: Tức là Các ví dụ: VD1/ Hai máy bay cùng ném bom vào 1 mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả bom với xác suất trúng đích tương ứng là 0,7; 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu trúng bom. Giải: Gọi biến cố A1= “ Máy bay I ném trúng mục tiêu” A2= “ Máy bay II ném trúng mục tiêu” A= “ Mục tiêu trúng bom” A=A1UA2 ; A1, A2 không xung khắc, độc lập => p(A)=p(A1UA2)=p(A1)+p(A2)-p(A1)p(A2)=0,7+0,8-0,7.0,8=0,97 VD2/ Xác suất để động cơ 1 của máy bay bị trung đạn là 0,2; của động cơ 2 là 0,3; của phi công là 0,1. Máy bay rơi nếu cả hai động cơ trung sbom hay phi công trúng bom. Giải: Gọi biến cố A= “ Máy bay rơi” A1= “ Động cơ 1 trúng bom” A2= “ Động cơ 2 trúng bom” A3= “ Phi công trúng bom” A=A1A2UA3=> p(A)=p(A1A2))+pA3)-p(A1A2A3)= p(A1)p(A2))+pA3)-p(A1)p( A2)p( A3)=0,2.0,3+0,1-0,1.0,2.0,3=0,166 3: Công thức xác suất 3.1. Công thức BERNOULLI 1.1 Phép thử độc lập: Trong thực tế cuộc sống và trong toán học ta thường gặp trường hợp cùng một phép thử được lặp đi lặp lại nhiều lần. Trong kết quả của phép thử có thể xảy ra hoặc không xảy ra biến cố A nào đó. Các phép thử gọi là độc lập với nhau nếu Xác suất để xảy ra biến cố A nào đó trong phép thử thứ i không ảnh hưởng đến việc xuất hiện biến cố A trong phép thử thứ j với i khác j 1.2 Lược đồ BERNOULLI: Một bài toán thoả mãn đồng thời 3 yêu cầu sau: - Tiến hành n phép thử độc lập - Trong mỗi phép thử biến cố A xuất hiênk hoặc biến cố xuất hiện - p(A)= p không đổi Gọi là tuân theo lược đồ BERNOULLI: 1.3 Công thức BERNULI: Một bài toán tuân theo lược đồ BERNOULLI lúc đó xác suất để trong n phép thử độc lập biến cố A xuất hiện đúng m lần được tính theo công thức Với q=1-p; m=0,1,..,n VD1/ Trong một xưởng có 5 máy hoạt động độc lập xác suất để trong ca làm việc các máy hỏng tương ứng bằng nhau bằng 0,1. Tìm xác suất để trong ca làm việc có đúng hai máy hỏng Giải : - Coi mỗi máy là một phép thử ta có 5 phép thử độc lập - Mỗi máy trong ca làm việc hoặc hỏng biến cố A không hỏng biến cố - p(A)=0,1 không đổi Vậy bài toán tuân theo lược đồ BERNOULLI khi đó Xác suất để trong ca làm việc có đúng 2 máy hỏng là= 3.2. Công thức xác suất đầy đủ và BAYES Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với 1 trang các biến cố H1, H2,...,Hn với H1, H2,...,Hn là nhóm đầy đủ các biến cố khi đó: a/ Xác suất của biến cố A được tính theo công thức (1) b/ p(Hi/A)= với i=1,..,n (2) Công thức (1) gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức (2) gọi là công thức BAYES CM: a/ Theo giả thiết ta có với j,i =1,..,n ; i ạj và A=AH1ẩ AH2 ẩ.........ẩAHn và AHiầAHj " i ạj; i,j = 1,..,n; AHi đôi một xung khắc theo hệ quả định lí cộng ta có ĐPCM b/ Theo A và theo hệ quả định lí nhân ta có p(AHi) = p(A).p(Hi/A) = p(Hi).p(A/Hi) => p(Hi/A)= với i=1,..,n ĐPCM VD2/ Có 5 bao thuộc lá giống nhau về kích thước không nhãn, trong đó só 3 bao du lịch mỗi bao có 2 điếu mốc và 2 bao thủ đô mỗi bao có 5 điếu mốc. một khách hàng mua ngẫu nhiên một điếu. a/ Tìm Xác suất để người đó mua phải điếu mốc. b/ Giả sử người đó mua phải điếu mốc thì Xác suất để điếu thuộc đó là thuốc du lịch bằng bao nhiêu? Giải: Gọi H1= “ điếu thuốc lấy ra là thuốc du lịch” H2= “ điếu thuốc lấy ra là thuốc thủ đô” H1; H2 là nhóm đầy đủ các biến cố và a/ Gọi biến cố A= “ Lấy phải điếu mốc” Theo công thức xác suất đầy đủ ta có p(A)=p(H1).p(A/H1)+p(H2).p(A/H2)= b/ Theo công thức BAYES ta có p(H1/A)= Bài tập Tiết 7 Bài tập 1: Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm, các sản phẩm đều thuộc 1 trang 2 loại tốt hoặc xấu. Kí hiệu Ak ( k=1,..,10) Là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thức k thuộc loại xấu. Viết bằng kí hiệu các biến cố - Cả 10 sản phẩm đều xấu - Các sản phẩm theo thứ tự chắn là tốt, lẻ là xấu 2: Cơ cấu sản phẩm của một nhà máy như sau: Sản phâmt loại I là 45%; loại II 50% còn lại là phế. Lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm của nhà mấy thuộc loại I hoạc II. 3: Để được nhập kho , sản phẩm của nhà máy phải qua 3 phòng kiểm tra chất lượng. xác suất để các phòng phát hiện ra phế phẩm tương ứng là 0,8; 0,9; 0,99 . Tính xác suất để phế phẩm nhập kho biết rằng các phòng kiểm tra độc lập. 4: Một hộp đựng 3 bi trắng , 7 bi xanh, 15 bi đỏ, một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi xanh, 9 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. Tìm xs để hai bi lấy ra cùng màu 5- Một gia đình có 5 lần sinh con, xác suất để sinh con trai mỗi lần là 0,2. tìm xác suất để trong 5 lần sinh con có đúng 1 lần sinh con trai 6- Có 2 lô SP lô thứ nhất tỉ lệ chính phẩm là ắ, lô thức 2 là 2/3 lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ 1 trong 2 lô . a/ Tìm xác suất để lấy được chính phẩm b/ sản phẩm lấy ra là chính, tìm xác suất để sản phẩm đó là của lô 1