Giáo án môn Toán khối 11 - Phương pháp qui nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức: - Có khái niệm về suy luận quy nạp. - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định. 2.Kỹ năng: - Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản. - Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí. 3. Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán. 4. Thái độ: nghiêm túc, tích cực tiếp thu tri thức mới hứng thú trong học tập. II. Chuẩn bị: - GV: đọc kĩ SGK, SGV, SBT. - HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học. III. Phương pháp: - Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm. III. Tiến trình: HĐ 1:Ổn định lớp và kiểm tra bài củ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Thời gian dự trù - Yêu cầu HS vào chổ ngồi và chuẩn bị tập -sách. - Kiểm tra bài củ: mệnh đề là gì? cho vài ví dụ về mệnh đề chứa biến. - Trật tự và đem tập sách chuẩn bị tiết học. - Kêu 1 em lên bảng trả lời, tất cả hs còn lại suy nghỉ và xem xét. 8h05’- 8h06’ 8h06’ HĐ2: Phương pháp qui nạp toán học. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Thời gian dự trù HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp - Phát biểu hoạt động số 1 SGK Xét hai mệnh đề chứa biến. P(n): “” và Q(n): “2n > n” với a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? n 3n n +100 P(n) ? n 2n Q(n) ? 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Hướng dẫn: - Hỏi 1: phép thử một vài TH có phải là c/m cho KL trong TH TQ không ? - Hỏi 2: với MĐ Q(n) , thử kiểm tra tiếp với một giá trị ? có thể khẳng định Q(n) đúng với mọi chưa ? - Hỏi 3: muốn chứng minh 1 kết luận đúng ta phải làm sao? muốn chứng minh kết luận sai ta phải làm sao? HĐTP2: Phương pháp qui nạp. Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ³ 1 (gọi là giả thiết quy nạp). Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. - H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1 nghĩa là gì? - Tiếp nhận vấn đề. - Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình bày kết quả: P(n) : n = 1 : 3 < 101 (Đ) n = 2 : 9 < 102 (Đ) n = 3 : 27 < 103 (Đ) n = 4 : 81 < 104 (Đ) n = 5 : 243 < 105 (S) Q(n): n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ) - Các nhóm thảo luận và nêu ý kiến của nhóm mình. b) "nÎN* thì P(n) sai, vì khi n = 5 thì P(5) sai . Q(n) có đúng với "nÎN* , không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n . - HS lần lượt trả lời các câu hỏi. - Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp toán học - Giải thích điều mình hiểu. 8h11’ 8h20’ HĐ3: Ví dụ áp dụng. VD1- SGk: chứng minh rằng với mọi thì: 1 + 2 + 3 ++ (2n - 1) = n2 (1). - Hướng dẫn: Bước 1: n = 1: (1) đúng ? Bước 2: đặt Sn = 1 + 2 + 3 ++ (2n - 1) - Giả sử (1) đúng với , nghĩa là có giả thiết gì ? Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh điều gì? (chú ý đến giả thiết qui nạp). - Hoàn thành B1, B2 ta kết luận ? VT = 1 , VP = 12 = 1 (1) đúng. Sk = 1 + 2++ (2k - 1) = k2 C/m: Sk+1 = 1 + 2 + 3 ++ (2k - 1) + Ta có: Sk+1 = Sk + = Vậy (1) đúng với mọi 8h24’ 1 1 + 3 = 1 + 3 + 5 = 1 + 3 + 5 + 7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 = 12 + 3 + 5 + 7 + 9 n +...+ (2n – 1) = n2 2 .2 1 .1 3 .3 4 .4 5 .5 .n HĐ4: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm) VD2- SGK: - Hướng dẫn: đặt Bước 1: n = 1: (1) đúng ? Bước 2: thì (1) như thế nào? Ta phải chứng minh chia hết cho 3 - Làm việc theo nhóm - HS trình bày bài giải Với thì chia hết cho 3. thì chia hết cho 3 (giả thiết quy nạp). Thật vậy, ta có Theo giả thuyết chia hết cho 3, hơn nữa, chia hết cho 3 nên chia hết cho 3 Vậy chia hết cho 3 với 8h29’ HĐ5: Luyện tập Hoạt động 2- SGk Chứng minh với mọi thì - Yêu cầu hs làm theo nhóm - GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết - Gọi bất kì 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa chữa. * GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên thì ta làm thế nào? Hoạt động 3-SGK Cho hai số và 8n với a) SS với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 HD: Điền vào bảng sau n 3n ? 8n 1 2 3 4 5 b) Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng phương pháp qui nạp HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa ra dự đoán - Phát biểu lại bài toán và chứng minh + Cho hs làm theo nhóm. + GV quan sát và hd khi cần thiết + Gọi đại diện của một nhóm trình bày, cho các nhóm khác nhận xét và bổ sung (nếu cần). + Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3 là số nhỏ nhất sao cho > 8n . lChú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ³ p (p là một số tự nhiên) thì: Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p . Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ³ p . Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 . - Làm việc theo nhóm - HS trình bày bài giải * Chú ý: Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên thì: - B1 ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p. - B2 ta giả thiết MĐ đúng với số tự nhiên bất kì và phải CMR nó cũng đúng với n=k + 1. a) n 3n ? 8n 1 2 3 4 5 3 9 27 81 243 < < > > > 8 16 24 32 40 b) “ Chứng minh rằng > 8n với mọi n 3 ” - HS chứng minh bằng phương pháp qui nạp. HS chú ý và ghi vào tập 8h34’ 8h40’ 8h42’ Củng cố và hướng dẫn học tập : 8h44’ - Nêu các bước của phương pháp chứng minh qui nạp và chỉ rõ thực chất của bước 2 là gì ? - Xem lại các bài đã giải. - Làm các bài tập 1 – 5 sgk. Và sách bài tập