I. Các phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình cơ bản
a) Phương trình (1)
Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu , gọi là một nghiệm của (1), tức khi đó ta có
15 trang |
Chia sẻ: lephuong6688 | Lượt xem: 1754 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án môn Toán khối 11 - Phương trình lượng giác, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phương trình lượng giác
Các phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình cơ bản
Phương trình sinx=m (1)
Nếu m>1 thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu m≤1, gọi α là một nghiệm của (1), tức sinα=m khi đó ta có
1⇔sinx=sinα⇔ x=α+2kπ x=π-α+2kπ k∈Z
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
sinx=12
2sin2x-π3= 2
Phương trình cosx=m (2)
Nếu m>1 thì phương trình (2) vô nghiệm
Nếu m≤1, gọi α là một nghiệm của (2), tức cosα=m khi đó ta có
2⇔cosx=cosα⇔ x=α+2kπ x=-α+2kπ k∈Z
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
cosx= -12
2cos-3x-π3= 3
Phương trình tanx=m (3)
Điều kiện x≠π2+kπ
Gọi α là một nghiệm của (3), khi đó ta có
3⟺tanx=tanα ⟺x=α+kπ (k∈Z)
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
tanx= -13
tan2x-π4= -1
Phương trình cotx=m (4)
Điều kiện x≠kπ
Gọi α là một nghiệm của (4), khi đó ta có
4⟺cot x=cotα ⟺x=α+kπ (k∈Z)
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
cotx=3
3 cot2x-π4= -1
Phuơng trình a.sinx+b.cosx=c (5) (a2+ b2≠0)
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta có phương trình (5) tương đương với phương trình
aa2+b2sinx+ ba2+b2cosx= ca2+b2
Chọn α sao cho cosα= aa2+b2 ,sinα= ba2+b2 , khi đó ta có phương trình:
cosαsinx+sinαcosx=m ⟺sinx+α=m
Với m= ca2+b2 . Tới đây ta giải như phương trình (1).
Cách 2: Đặt t=tanx2, khi đó sinx=2tt2+1,cosx=1-t21+t2
Khi đó phương trình (5) được đưa về phương trình bậc hai theo t, giải ra t và suy ra nghiệm của (5)
Phương trình thuần nhất bậc hai: a. sin2x+b.sinxcosx+c.cos2x=d (6)
Cách 1: Áp dụng công thức hạ bậc sin2x=(1-cos2x)2,cos2x= 1+cos2x2
và sinx.cosx= sin2x2 ta đưa có phương trình:
c-a2cos2x+b2sin2x=d-a+c2
Phương trình này đã biết cách giải ở phần trên
Cách 2: Cách này ta xét hai trường hợp
Trường hợp 1: cosx=0⇔x=π2+kπ có là nghiệm của phương trình không?
Trường hợp 2: cosx≠0. Chia hai vế của phương trình cho cos2x, khi đó phương trình trở thành:
a.tan2x+b.tanx+c=d(1+tan2x)
⟺a-dtan2x+b.tanx+c-d=0
Phương trình trên là phương trình bậc hai theo tanx, ta có thể giải được.
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
2sinx-π4=-1
cosx+π2+sin-x= 3
sinx-60o+2cosx+30o=0
cot3x=cot5x
tanx-π3=tan(x+π)
tan2x.tan7x=1
cos(cosx)=cos(2cosx)
Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
3cos3x+sin3x= 2
2sinx-5cosx=5
sin2x+π2+3sin-2x+π=1
2sinx+π4+sinx-π4=322
3cos2x+sin2x+2sin2x-π6=22
Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
2cosx+msinx=3
mcosx-m+1sinx=m
sin2x-msin2x-π2=1
Bài 4. Cho phương trình cosx+22sinx=m-1
Tìm m để phương trình có nghiệm
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0;π3)
Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau:
sin2x+3sinx.cosx+2cos2x=3+22
cos2x2+2sinx=32
4sin2x+π3+3sin2x-π3-2cos2-x+π6= 1
cos4x+2sin4x-cos22x-3sin4x= -2
Bài 6. Định m để các phương trình sau có nghiệm
m2+ 2cos2x+4msinxcosx=m2+ 3
cos2x-sinxcosx-2sin2x=m
Các phương pháp giải và các dạng phương trình lượng giác thường gặp
Phương pháp biến đổi về dạng cơ bản
Đây là phương pháp cơ bản nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Trong phương pháp này, chúng ta biến đổi phương trình đã cho thành trở thành những phương trình cơ bản đã biết cách giải (1) – (6). Chúng ta chú ý tới các cung liên kết, công thức hạ bậc,. Sau đây là một vài ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác sau
4sinxsinx-π3sinx+π3+ 3cos3x=1 (1)
Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với
2sinx (12-cos2x)+3cos3x=1
sinx-2sinxcos2x+3cos3x=1
sinx-sinx+sin3x +3cos3x=1
sin3x+3cos3x=1
sin3x+π3=12
x=- π6+2kπ3x=π2+2kπ3 k∈Z
Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sau:
sinx+cosxsin2x+3cos3x=2(cos4x+sin3x) (2) (Khối B – 2009)
Lời giải. Ta có phương trình đã cho tương đương với
sinx(1-2sin2x)+cosxcos2x+3cos3x=2cos4x
sinxcos2x+cosxsin2x+3 cos3x=2cos4x
⟺sin3x+3cos3x=2cos4x
⟺ cos3x-π6=cos4x
⟺ x=π6+2kπx=-π42+2kπ7 k∈Z
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau:
4(cos4x+sin4x)+3cos4x=2 (ĐHSP HCM B, D 2001)
(2cosx-1)(sinx+cosx)=1
1+sinx+sinx2+π4cosx2-π4 =2
4sin3xcos3x+4cos3xsin3x+3 3cos4x =3
2cos4x-cos23x+2sin2x +3127=0
1+tanx=22sinx
tanx+cosx-cos2x=sinx1+tanxtanx2
4sin3x-1=3sinx-3cos3x (CĐ Hải Quan 1998)
cos2x3cos2x3+π3cos2x3-π3+12sin2x+sinxcosx =0
cosx+cos2x+cos3x+cos4x+cos5x= -12
3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 (D, 2009)
Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi phương trình đã cho có biểu thức lượng giác chung nào đó, hoặc từ phương trình ban đầu ta biến đổi để đưa về phương trình theo một hàm lượng giác nào đó, Trong mục “Phương trình lượng giác cơ bản” ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình (5) và (6), ngoài ra còn nhiều phương trình có thể giải bằng phương pháp này, sau đây tôi xin nêu ra vài dạng quen thuộc nhất.
Dạng 1. Phương trình đưa về phương trình với một hàm lượng giác
Đối với dạng này, ta thường biến đổi phương trình về chỉ còn một hàm số lượng giác, sử dụng công thức hạ bậc (tăng cung), tanxcotx=1,
Ví dụ 3: Giải phương trình cos2x+π3+2sin-x+π6= 3 (3)
Lời giải. Đặt t=sin-x+π6, khi đó ta có cosx+π3= t, phương trình trở thành
t2+ 2t-3=0⇔t=1 t= -3 loại
Với t=1 thì sin-x+π6=1 ⟺x= -π3+2kπ ( k∈Z)
Ví dụ 4. Giải phương trình sin8x+cos8x=1716cos22x (4)
Lời giải.
Ta có sin8x+cos8x=sin4x+cos4x2-2sin4xcos4x=1-sin2xcos2x 2- 2sin4xcos4x= 1-sin22x22-18sin42x
Đặt t=sin22x (0≤t≤1), phương trình trở thành
1-t22-2t216=17161-t
2t2+t-1=0⇔t=-1 loạit=12
t=12 thìsin22x=12 ⟺cos4x=0⟺x=π8+kπ4
Ví dụ 5. Giải phương trình 3. tan2x-π2+2tan2x=23-1 (5)
Lời giải: Điều kiện
5⇔-3 cot2x+2tan2x=23-1
Đặt t=tan2x thì cot2x=1t , phương trình trở thành
-3t+ 2t=23-1⇔t=3 hoặc t= -12
Với t=3 ta cótan2x=3⟺x=π6+kπ2 (k∈Z)
Với t= -12 ta cótan2x= -12⇔x=12.acrtan -12+kπ2 k∈Z
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau
cos4x5+sin2x5=1
sin42x+cos42x=sin2xcos2x
2cosxcosx-8tanx=5
tan5x+2sin10x=5sin5x
sin6x+cos6x-sin2x=0
sin22x+2cos4x=2cos2xcotx+π3cotπ6- x
2cos4x-cos23x+4sin2x =32
Dạng 2. Phương trình đưa về hàm tang
Biến đổi phương trình về chỉ còn hàm tang, hoặc đặt ẩn t=tanx và tính tất cả các biểu thức còn lại theo t. Các phương trình (5), (6) trong phần “Phương trình lượng giác cơ bản” là những ví dụ cơ bản nhất của dạng toán này, sau đây chúng ta xét một vài ví dụ khác.
Ví dụ 6. Giải phương trình sau: sinxsin2x+sin3x-6cos3x=0 (6)
Lời giải.
6⇔2sin2xcosx+3sinx-4sin3x-6cos3x=0
Ta thấy cosx=0⇔x=π2+ kπ không phải là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế của phương trình cho cos3x ta được phương trình
2tan2x+3tanx (1+tan2x)-4tan3x- 6=0
tan3x-2tan2x-3tanx+6=0
Đặt t=tanx, ta có phương trình
t3- 2t2-3t+6=0⇔t=2 hoặc t=3 hoặc t=-3
Với t=2 thìtanx=2⇔x=arctan2+kπ
Với t=3 thìtanx=3⇔x=π3+kπ
Với t= -3 thìtanx= -3⇔x= -π3+kπ
Ví dụ 7. Giải phương trình 6cosx+3sinxtanx2=2tanxcotx2
Lời giải. Điều kiện x≠kπ
Đặt t=tanx2 , khi đó cotx2=1t,tanx=2t1-t2,cosx=1-t21+t2,sinx=2t1+t2
Phương trình trở thành
6.1-t21+t2+3 .2t1+t2.t=4t1-t2.1t
61+t2=41-t2⇔t=15 ∨t= -15
Với t=15 thì tanx2=15⇔x=arctan15+kπ
Với t=-15 thì tanx2=-15⇔x=arctan(-15)+kπ
Bài tập.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2sin2x+3+3sinxcosx+3- 1cos2x= -1
sin2x(1+tanx)=3sinx (cosx-sinx )+3
2cos3x=sin3x
3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0
cos3x.cos3x-sin3xsin3x=2+328 (Dự bị A, 2006)
sinxcos2x+cos2x (tan2x-1)+sin3x=0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1+3tanx=2sin2x (ĐHQG HN, D, 2000)
tanx+2cot2x=sin2x (SPHN, B, 2001)
15cotx2+ 130sinx=535tanx2
2sin2x-π4=2sin2x-tanx
tan2x+sin2x=32cotx (ĐH Thủy Lợi 1999)
sin2x+3sinx=tanx2
(1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx (Dự bị D, 2007)
tanx=cotx+4cos22x (Dự bị, A , 2008)
Dạng 3. Phương trình asin x±cos x+bsin x cos x+c=0
Cách giải
Đặt t=sinx±cosx=2sinx ±π4 t≤2 ,
Suy ra sinxcosx= ±t2- 12, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo t. Giải phương trình này ra nghiệm t, từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.
Ví dụ 8: Giải phương trình sinx+cosx+sinxcosx-1=0 (8)
Lời giải.
Đặt t=sinx+cosx t≤2, suy ra sinxcosx=t2-12 . Phương trình (8) trở thành:
t+t2- 12- 1=0
⇔t2+ 2t-3=0⇔t=1 ∨t= -3 loại
Với t=1 ta có sinx+cosx=1⇔x=2kπ ∨ x=π2+ 2kπ (k∈Z)
Ví dụ 9: Giải phương trình cos3x+sin3x=sin2x+sinx+cosx (9) (ĐH Cảnh Sát 2000)
Lời giải.
Đặt t=sinx+cosx t≤2. Khi đó sin2x=2sinxcosx=t2- 1,
cos3x+sin3x=sinx+cosx3-3sinxcosx (sinx+cosx)=t3-3tt2-12=3t-t32
Phương trình trở thành
3t-t32=t2- 1+t ⇔t3+2t2-t-2=0
t=-2 (loại)∨t=1 ∨ t= -1
Với t=1 thìsinx+cosx=1⇔x= 2kπ ∨ x=π2+ 2kπ
Với t=-1 thìsinx+cosx= -1⇔x=2k+1π ∨x= -π2+ 2kπ
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau
sin2x+2sinx-π4=1 (ĐH Ngoại Ngữ HN, 2000)
cos3x-sin3x= -1 (ĐHQG TPHCM, 2000)
1+tanx=22sinx
1+cos3x-sin3x=sin2x (ĐH Nông Nghiệp, HN, 2000)
2cos2x+sin2xcosx+sinxcos2x=2(sinx+cosx) (ĐHSP TPHCM, 2001)
2cos2x+23sinxcosx+1=3(sinx+3cosx) (Dự bị A, 2007)
1/sinx+1/sinx-3π2=4sinx+5π4
Phương pháp phân tích thành tích
Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích, 1+sin2x=sinx+cosx2, cos2x=cos2x-sin2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx),Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ sau đây.
Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác:
sin3x-3cos3x=sinxcos2x-3sin2xcosx (10) (B, 2008)
Lời giải.
sin2xsin x+3 cos x-cos2xsin x+3cos x= 0
⇔sin x+3cos xsin2x-cos2x= 0
⇔sin x+π3cos 2x=0
⇔sin x+π3=0 ∨cos 2x=0
⇔x=-π3+kπ ∨ x=π4+kπ2
Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc 0;2π của phương trình sau
(1+sin2x)cosx+(1+cos2x)sinx=1+sin2x (11)
(ĐH khối A, 2007)
Lời giải.
11⇔(sinx+cosx)+sinxcosx (sinx+cosx)=sinx+cosx2
⇔(sinx+cosx)( 1+sinxcosx-sinx-cosx )=0
⇔(sinx+cosx )(1-sinx)( 1-cosx)=0
sinx+cosx=0 ∨sinx=1 ∨cosx=1
⇔x=-π4+ kπ ∨ x=π2+ 2kπ ∨x= 2kπ
Từ đó ta có các nghiệm thuộc 0;2π của phương trình trên là:
0, π2 ,3π4,7π4, 2π
Ví dụ 12. Giải phương trình: cotx-1= cos2x1+tanx+sin2x-12sin2x (12) (A, 2003)
Lời giải.
Điều kiện sinx≠0 ,cosx≠0 ,tanx≠ -1
Ta có
12⇔ cosxsinx- 1=cos2xsinxsinx+cosx +sin2x-sinxcosx
⇔ cosx-sinxsinx= (cos2-sin2x)cos xsinx+cosx+sinx (sinx-cosx)
⇔cosx-sinx1-sinxcosx+sin2x =0
⇔cosx-sinx=0 ∨ 1-sinxcosx+sin2x=0
TH1: cosx-sinx=0⇔x=π4+ kπ
TH2: 1-sinxcosx+sin2x=0⇔12sin2x+12cos2x=32 (Vô nghiệm)
Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
sin7x+cos22x=sin22x+sinx
cos2x-sin3x-cos8x=sin10x-cos5x
sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x
2cos2x+2cos22x+2cos23x=cosx+sin2x+cos2x
sin2x+sin22x+sin23x=32
Bài 2. Giải các phương trình sau:
2cos2x+2cos22x+2cos23x-3=cos4x (2sin2x+1) (ĐHSP TPHCM 2000)
1sinx = 1sin2x + 1sin4x
cos2x+π4+cos2x-π4+ 4sinx=2+2(1-sinx )
sin2x2-π4tan2x-cos2x2=0
Phuơng pháp đánh giá (sẽ được trình bày sau)
Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây
(A, 2005) cos23xcos2x-cos2x=0
(B, 2005) 1+sinx+cosx+Sin 2x+cos2x=0
(D, 2005) cos4x+sin4x+cosx-π4sin3x-π4-32=0
(Dự bị 2005) 4sin2x2- 3cos2x=1+2cosx x-3π4
(Dự bị 2005) sinxcos2x+cos2(tan2x-1)+2sin2x=0
(A, 2006) 2(cos6x+sin6x)-sinxcosx2-2sinx=0
(B, 2006) cotx+sinx (1+tanxtanx2)=4
(D, 2006) cos3x+cos2x-cosx-1=0
(Dự bị A, 2006) cos3xcos3x-sin3xsin3x=2+328
(Dự bị A, 2006) 2sin2x-π6+ 4sinx+1=0
(Dự bị B, 2006) (2sin2x-1)tan22x+3(cos2x-1)=0
(Dự bị B, 2006) cos2x+(1+2cosx)(sinx-cosx)=0
(Dự bị D, 2006) cos3x+sin3x+2sin2x=1
(Dự bị D, 2006) 4sin3x+4sin2x+3sin2x+6cosx=0
(B, 2007) 2sin22x+sin7x-1=sinx
(D, 2007) sinx2+cosx22+ 3cosx=2
(Dự bị A, 2007) sin2x+sinx-12sinx - 1sin2x =2cot2x
(Dự bị A, 2007) 2cos2x+2 3sinxcosx+1=3sinx+3cosx
(Dự bị B, 2007) sin5x4-π4-cosx2-π4=2cos3x2
(Dự bị B, 2007) sin2x cosx+ cos2x sinx =tanx-cotx
(Dự bị D, 2007) (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
(Dự bị D, 2007) 22sinx-π12cosx=1
(A, 2008) 1sinx +1sinx-3π2=4sin7π4- x
(D, 2008) 2sinx (1+cos2x)+sin2x=1+cos2x
(Dự bị A, 2008) sin2x-π4=sinx-π4+22
(Dự bị A, 2008) tanx=cotx+4cos22x
(Dự bị B, 2008) 2sinx+π3-sin2x-π6=12
(Dự bị B, 2008) 3sinx+cos2x+sin2x=4sinxcos2x2
(Dự bị D, 2008) 4cos4x+cos4x+cos4x+sin2x=0
(A, 2009) (1-2sinx)cosx(1+2sinx)(1-sinx)=3
(D, 2009) sinx+cosxsin2x+3cos3x=2(cos4x+sin3x)
Chúc các em làm bài tốt.
File đính kèm:
- PTLG phan loai theo PP.doc