A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một sốbài toán vềphương trình lượng giác mà cách giải tuỳtheo đặc
thù của phương trình, chứkhông nằm ởtrong phương pháp đã nêu ởhầu hết
các sách giáo khoa.
Một sốphương trình lượng giác thểhiện tính không mẫu mực ởngay
dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình
thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực
thường gặp.
8 trang |
Chia sẻ: lephuong6688 | Lượt xem: 907 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Giáo án môn Toán khối 11 - Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI
KHÔNG MẪU MỰC
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc
thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết
các sách giáo khoa.
Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay
dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình
thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.
Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực
thường gặp.
I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một
vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế
còn lại bằng không và áp dụng tính chất:
=
=
⇔=+
0
0
022
B
A
BA
Bài 1. Giải phương trình:
02sin4tan32sin4tan3 22 =+−−+ xxxx
GIẢI
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
2
( )Znm
nx
mx
x
x
x
x
xx
xxxx
xxxx
∈
+=
+=
⇔
=
=
⇔
=−
=−
⇔
=−+−⇔
=+−++−⇔
=+−−+
,
2
6
6
2
1
sin
3
3
tan
01sin2
01tan3
0)1sin2()1tan3(
01sin4sin41tan32tan3
02sin4tan32sin4tan3
22
22
22
pi
pi
pi
pi
ĐS pipi kx 2
6
+= )( Zk ∈
II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP
Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình
)()( xgxf = , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:
),(,)( baxAxf ∈∀≥ và ),(,)( baxAxg ∈∀≤ thì khi đó:
=
=
⇔=
Axg
Axf
xgxf )(
)()()(
Nếu ta chỉ có Axf >)( và Axg <)( , ),( bax ∈∀ thì kết luận phương trình
vô ngiệm.
Bài 2. Giải phương trình:
0cos 25 =+ xx
GIẢI
xxxx 5225 cos0cos −=⇔=+
Vì 1cos1 ≤≤− x nên 1110 2 ≤≤−⇔≤≤ xx
mà [ ] [ ] [ ]1,1,0cos1,1,0cos
2
,
2
1,1 5 −∈∀⇒
−
⊂− xxxx
pipi
Do 02 >x và 0cos5 <− x nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. Giải phương trình:
1cossin 19961996 =+ xx (1)
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
3
GIẢI
(1) xxxx 2219961996 cossincossin +=+⇔
)cos1(cos)1(sinsin 1994219942 xxxx −=−⇔ (2)
Ta thấy xxx
x
x
∀≤−⇒
≤
≥
,0)1(sinsin
1sin
0sin 19942
1994
2
Mà xxx
x
x
∀≥−⇒
≥−
≥
,0)cos1(cos
0cos1
0cos 19942
1994
2
Do đó (2) ),(
2
2
1cos
0cos
1sin
0sin
0)cos1(cos
0)1(sinsin
19942
19942
Znm
nx
nx
mx
mx
x
x
x
x
xx
xx
∈
=
+=
+=
=
⇔
±=
=
±=
=
⇔
=−
=−
⇔
pi
pi
pi
pi
pi
pi
Vậy nghiệm của phương trình là: )(
2
Zkkx ∈= pi
ĐS )(
2
Zkkx ∈= pi
Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng
những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:
•
−=
−=
=
=
⇔=
1sin
1sin
1sin
1sin
1sin.sin
bx
ax
bx
ax
bxax
•
=
−=
−=
=
⇔−=
1sin
1sin
1sin
1sin
1sin.sin
bx
ax
bx
ax
bxax
Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:
1cos.sin
1cos.sin
1cos.cos
1cos.cos
−=
=
−=
=
bxax
bxax
bxax
bxax
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
4
III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH
TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM
Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm
của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong
những cách thông sụng sau:
• Dùng tính chất đại số
• Áp dụng tính đơn điệu của hàm số
Phương trình 0)( =xf có 1 nghiệm ),( bax ∈= α và hàm f đơn điệu
trong ),( ba thì 0)( =xf có nghiệm duy nhất là α=x .
Phương trình )()( xgxf = có 1 nghiệm ),( bax ∈= α , )(xf tăng (giảm)
trong ),( ba , )(xg giảm (tăng) trong ),( ba thì phương trình )()( xgxf = có
nghiệm α=x là duy nhất.
Bài 4. Giải phương trình:
2
1cos
2x
x −= với 0>x
GIẢI
Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm 0=x .
Đặt 1
2
cos)(
2
−+=
x
xxf là biểu thức của hàm số có đạo hàm
0,0sin)(' >∀>+−= xxxxf (vì xxx ∀> ,sin )
⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong ( )+∞,0
⇒ 0)( =xf có 1 nghiệm duy nhất trong ( )+∞,0
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 0=x .
B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài 1: Giải phương trình:
02sin2cos22 =+−− xxxx (1)
GIẢI
Ta có (1) 01sin2sincoscos2 222 =+−++−⇔ xxxxxx
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
5
=
=
⇔
=−
=−
⇔
=−+−⇔
1sin
cos
01sin
0cos
0)1(sin)cos( 22
x
xx
x
xx
xxx
Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:
1cossin 154 =+ xx
GIẢI
Ta có: 1cossin 154 =+ xx
xxxx 22154 cossincossin +=+⇔
)cos1(cos)1(sinsin 13222 xxxx −=−⇔
(1)
Vì xxx ∀≤− ,0)1(sinsin 22
Và xxx ∀≥− ,0)cos1(cos 132
Do đó (1)
=−
=−
⇔
0)cos1(cos
0)1(sinsin
132
22
xx
xx
=
=
±=
=
⇔
1cos
0cos
1sin
0sin
x
x
x
x
),(
2
2
2 Znm
nx
nx
mx
mx
∈
=
+=
+=
=
⇔
pi
pi
pi
pi
pi
pi
ĐS pipi kx +=
2
hay pikx 2= , )( Zk ∈
C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI
Bài 3: Giải các phương trình:
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
6
1.
4
1)
4
(cossin 44 =++ pixx (1)
2. ,...)4,3,2(sincos)cot
4
1(tan =+=+ nxxxx nnn
GIẢI
1. Ta có:
(1)
4
1
4
)
2
2cos(1
4
)2cos1(
2
2
=
++
+
−
⇔
pi
x
x
1)2sin1()2cos1( 22 =−+−⇔ xx
2
2)
4
2cos(
12sin2cos
=−⇔
=+⇔
pi
x
xx
)(
4
Zk
kx
kx
∈
+=
=
⇔
pi
pi
pi
2.Với điều kiện
2
pikx ≠ ta có xtan và xcot luôn cùng dấu nên:
1cot
4
1
tan1cot
4
1
tan2cot
4
1
tancot
4
1
tan ≥+⇒=⋅≥+=+
n
xxxxxxxx
Dấu "=" xảy ra
2
1
tan
4
1
tancot
4
1
tan 2 ±=⇔=⇔=⇔ xxxx
• Với 2=n : phương trình 1cot
4
1
tan
2
=
+ xx có nghiệm cho bởi:
)(
2
1
arctan
2
1
tan Zkkxx ∈+±=⇔±= pi
• Với 2, >∈ nZn thì:
1sincossincos 22 =+≤+ xxxx nn
Dấu bằng xảy ra ),(
122
2
2
2
2 Zmk
mnkhikxhaykx
mnkhikx
∈
+=+==
==
⇔
pi
pi
pi
pi
(đều không thoả mãn điều kiện
2
pikx ≠ của phương trình)
Vậy với Znn ∈> ,2 thì phương trình vô nghiệm.
ĐS )(
2
1
arctan Zkkx ∈+±= pi
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
7
Bài 4: Giải phương trình:
11
3cos
13cos1
cos
1
cos =−+−
x
x
x
x (1)
GIẢI
Điều kiện:
>
>
03cos
0cos
x
x
Khi đó (1) 13cos3coscoscos 22 =−+−⇔ xxxx
Vì
4
10)
2
1(
4
1 222 ≤−⇒≥−=+− aaaaa
Do đó
4
1
coscos 2 ≤− xx và
4
13cos3cos 2 ≤− xx
2
13cos3cos
2
1
coscos 22 ≤−≤−⇒ xxvàxx
Dấu bằng xảy ra ∅∈⇔
=
=
⇔
=−
=−
⇔ x
x
x
xx
xx
2
13cos
2
1
cos
4
13cos3cos
4
1
coscos
2
2
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải phương trình:
xxx 433 sin2cossin −=+
HƯỚNG DẪN
xx
xxx
xxx
xxx
∀≥−
∀≤+⇒
∀≤
∀≤
,1sin2
,1cossin
,coscos
,sinsin
4
33
23
23
Vậy phương trình tương đương:
=−
=+
1sin2
1cossin
4
33
x
xx
ĐS )(2
2
Zkkx ∈+= pipi
Bài 2: Giải phương trình:
Hoangtrongnam2010@gmail.com
Trường THPT Cò Nòi – Mai Sơn – Sơn La Math 08-2012
Hoàng Trọng Nam – THPT Cò Nòi
8
02tansin =−+ xxx với
2
0 pi≤≤ x
HƯỚNG DẪN
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 0=x
Đặt xxxxf 2tansin)( −+= liên tục trên
2
;0 pi
Có đạo hàm:
∈∀≥−−−=
2
;0,0
cos
)1cos)(cos1(cos)(' 2
2 pi
x
x
xxx
xf do
01coscos
2
511cos0
2
51 2 <−−⇒+<≤≤<− xxx
f⇒ đơn điệu tăng trên
2
;0 pi
Bài 3: Giải phương trình:
( ) xxx 3sin52cos4cos 2 +=−
ĐS )(2
2
Zkkx ∈+= pipi
Bài 4: Giải phương trình:
xxxx sincossincos 44 +=−
ĐS )( Zkkx ∈= pi
Bài 5: Giải phương trình:
01sin22 =+− xyx
ĐS
+=
=
pi
pi ky
x
2
2
1
hay
+=
−=
pi
pi ky
x
2
2
1
)( Zk ∈
File đính kèm:
- PTLG khong mau muc.pdf