Giáo án môn Toán lớp 11 - Giải và biện luận phương trình mũ và logarit

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT B. Giải và biện luận phương trình logarit: I. Nhắc lại về hàm số logarit: 1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng ( a > 0, ) TXĐ: x > 0. 2. Tính chất: . a > 1: hàm số là hàm số đồng biến . 0 < a < 1: hàm số là hàm số nghịch biến. . , , , . . . . . . II. Phương trình logarit: 1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit. 2. Phương trình logarit đơn giản: . (a > 0, a 1, b > 0)x = b . (x > 0, a > 0, a 1) . Dạng tổng quát: 3. Phương pháp giải: a. Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số): Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải. đk: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 2: ; ; (1) x = 1. Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình (1) Giải. Ta có: Đk: (1) nghiệm: Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình: + = , a > 0 (1) Giải. Đk: – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 x > 2 Ta có: = 1 = = + = = = = = (1) = x – 2 = – 4 = = 4 + a > 0 nghiệm: x = . x > 2 x = . Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình: a) . = b) + = + + c) . = 1 d) + = 0. (Đề 3) 2) Xác định m để phương trình: + = 0 có nghiệm , thoả mãn: + > 1. Hướng dẫn: pt = phương trình có 2 nghiệm , nên , điều kiện (2) – 1 < 0 m < + > 1 3) Tìm a để phương trình = 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120) Hướng dẫn: pt + (2 – a)x + 1 = 0 (2) phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn: 4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29) b. Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ: Ví dụ 1. Giải phương trình = 8 Giải. Đk: Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được: = . = 3 + 3 . = 3 + 3 (1) Đặt t = (1) – t – 3 = 0. phương trình có nghiệm: ; . . Ví dụ 2. Giải phương trình 2. = Giải. Đk: Đặt = y; x = + 1 Ta được hệ phương trình: y. = x.(1) Xét hàm số: f(z) = z.; f'(z) = + 2 > 0 f(z) đồng biến trên [2; ). Từ (1) x = y . Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = tại 2 điểm: = 1; = 2. từ x = 2 là nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình = . – (1) Giải. Đk: x>0 áp dụng công thức: = (1) = . – = – 1. Đặt t = + 1 = + = 1 (2) Xét f(t) = + là hàm nghịch biến (2) có nghiệm duy nhất t = 1 x = 2 là nghiệm của (1) Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình a) = b) = 6 c) + = 2 d) + = + + 2) Giải và biện luận theo a a) . = – b) ( + 2). = 3) Cho phương trình: (m – 3) – (2m + 1) + m + 2 = 0 tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn 4 < < < 6 c. Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất: Ví dụ 1. Giải phương trình: + x = + 4 (1) Giải. Đk: , x + 2 > 0 x > 3. (1) – = 4 – x = 4 – x lg(x – 3) = 4 – x (2) Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2). y = lg(x – 3); y' = > 0 là hàm đồng biến y = 4 – x là nghịch biến x = 4 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 2. Giải phương trình = (1) Giải. Đk: (1) = (2) Đặt: a = 7 + 4; t = (2) = (3) Đặt: y = . (3) = + = 1 (4) y = 1 là nghiệm của (4) y > 1 VT < VP y VP y = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: = x. Giải. Đk: x > – 3 – 3 < x 0: phương trình vô nghiệm. x > 0: Đặt = t 3+=1 (*) t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến t = 1 là nghiệm duy nhất x = 2 là nghiệm duy nhất. Bái tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình: + lgx = m a) có nghiệm. b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10. 2) Giải phương trình: =.