Giáo án môn Vật lý 10 - Bài tập về các định luật kepler

BÀI TẬP VỀ CÁC ĐỊNH LUẬT KEPLER Bài 1: Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo một đường elip sao cho khoảng cách cực tiểu từ nó đến Mặt Trời là r, còn khoảng cách cực đại là R. Tìm chu kì quay của nó quanh Mặt Trời. Bài 2: Một vật không lớn lắm bắt đầu rơi vào Mặt Trời từ một khoảng khoảng cách bằng bán kính quỹ đạo của Trái Đất. Vận tốc ban đầu của vật trong hệ quy nhật tâm bằng 0. Hỏi sự rơi kéo dài trong thời gian trong bao lâu. Bài 3: Tưởng tượng rằng ta có thể tạo ra một mẫu Hệ Mặt Trời nhỏ hơn tự nhiên η lần, nhưng bằng các vật liệu có cùng khối lượng riêng trung bình của Mặt Trời và các hành tinh. Khi đó chu kì quay của các mẫu hành tinh theo các quỹ đạo của chúng sẽ biến đổi như thế nào? Bài 4: Một sao đôi, đó là hệ gồm hai ngôi sao chuyển động xung quanh tâm quán tính của chúng dưới tác dụng của lực hấp dẫn. Tìm khoảng cách giữa các thành phần của sao đôi, nếu khối lượng tổng cộng của nó là M và chu kì quay là T. Bài 5: Một hành tinh A chuyển động theo quỹ đạo elip xung quanh Mặt Trời. Tại thời điểm khi nó ở cách MT một khoảng r0, vận tốc của nó bằng v0 và góc giữa bán kính véctơ r0 và vận tốc v0 là α. Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa MT và hành tinh này trong quá trình chuyển động. Bài 6: Một vệ tinh chuyển động trong mặt phẳng xích đạo của Trái Đất và ở gần mặt đất. Năng lượng cần thiết để phóng vệ tinh theo chiều quay của Trái Đất nhỏ hơn năng lượng phóng theo chiều ngược lại bao nhiêu lần? Bỏ qua sức cản của không khí. Bài 7: Một vệ tinh nhân tạo của Mặt Trăng chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính lớn hơn bán kính của Mặt Trăng η lần. Khi chuyển động vệ tinh chịu tác dụng của lực cản yếu của vũ trụ, phụ thuộc vận tốc theo công thức F=αv2, trong đó a là hằng số; Tìm thời gian chuyển động của vệ tinh cho đến khi nó rơi lên bề mặt của Mặt Trăng. Bài 8: Tính công tối thiểu cần thực hiện để đưa một con tàu vũ trụ khối lượng m=2.103kg từ Trái Đất lên Mặt Trăng. Biết khối lượng Trái Đất gấp 81 lần khối lượng Mặt Trăng, khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng gấp 60 lần bán kính TĐ. A B A C Bài 9(đề thi QT năm 79 Liên Xô). Con tàu vũ trụ với khối lượng M=12tấn đi quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn ở độ cao h=100km. Để chuyển sang quỹ đạo hạ cánh, động cơ hoạt động trong một thời gian ngắn. Vận tốc khí phụt ra khỏi ống là u=104m/s. Bán kính của Mặt Trăng là Rt=1,7.103km, gia tốc trọng trường trên bề mặt Mặt Trăng là g=1,7m/s2. a. Hỏi phải tốn bao nhiêu nhiên liệu để động cơ hoạt động ở điểm A làm con tàu đáp xuống Mặt Trằng ở điểm B. b. Trong phương án thứ 2, ở điểm A con tàu nhận xung lượng hướng về tâm Mặt Trăng và chuyển sang quỹ đạo tiếp tuyến với Mặt Trăng ở C (hình vẽ). Trường hợp này tốn bao nhiêu nhiên liệu? Bài 10:(đề thi QT năm 85 Nam Tư) Có hai phương án thám hiểm bằng tàu vũ trụ đi ra ngoài thái dương hệ. Trong phương án 1, con tàu được phóng lên với vận tốc đủ lớn để trực tiếp thoát khỏi thái dương hệ. Trong phương án 2, con tàu tiến lại gần một hành tinh ở xa Mặt Trời, và dưới tác dụng của hành tinh này, vận tốc của con tàu đổi hướng và tăng độ lớn cần thiết để thoát ra khỏi thái dương hệ (giả thiết con tàu chuyển động hoặc dưới tác dụng của lực hấp dẫn của Mặt Trời hoặc lực hấp dẫn của hành tinh). a. Theo phương án 1, tính vận tốc cực tiểu Va đối với Trái Đất và hướng của nó so với hướng vận tốc của Trái Đất. b. Giả thiết rằng con tàu được phóng theo hướng của câu a, nhưng với vận tốc Vb bé hơn Va. Xác định vận tốc của tàu khi nó đi qua quỹ đạo của Sao Hoả, nghĩa là xác định thành phần song song và vuông góc với quỹ đạo ấy. Giả thiết rằng Sao Hoả ở xa khi con tàu đi qua quỹ đạo của nó. c. Giả thiết, theo phương án 2, con tàu đi vào trường hấp dẫn của Sao Hoả. Tính vận tốc phóng cực tiểu từ Trái Đất, để con tàu thoát ra khỏi hệ Mặt Trời. d. Phương án 2 có thể tiết kiệm động năng hơn, tính giá trị cực đại của tỷ số giữa động năng tiết kiệm được và động năng theo phương án 1. Bài 11:(đề thi QT năm 96 Nauy) Trong bài này ta xét một vài nét đại lược về độ lớn của thuỷ chiều ở giữa đại dương. Ta đơn giản bài toán bằng cách đưa ra các giả thiết sau đây: Trái Đất và Mặt Trăng được xem như hệ cô lập. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng coi như không đổi. Bề mặt TĐ bị đại dương bao phủ hoàn toàn. Các hiệu ứng động lực học do TĐ quay quanh trục của nó bỏ qua. Lực hấp dẫn của TĐ có thể xác định bằng cách xem toàn bộ khối lượng tập trung ở tâm. Cho biết: Khối lượng TĐ: M=5,98.1024kg. Khối lượng MT: Mm=7,3.1022kg. Bán kính TĐ: R=6,37.106m. Khoảng cách từ tâm TĐ đến tâm MT: L=3,84.108m Hằng số hấp dẫn: G=6,67.10-11m3/kg.s2. a. TĐ và MT quay với vận tốc góc ω quanh khối tâm chung C của chúng. C là điểm cách tâm TĐ bao xa? Xác định ω. Bây giờ ta dùng hqc quay quanh C cùng với MT và tâm TĐ. Trong hqc này dạng của bề mặt chất lỏng trên TĐ không thay đổi. Trong mặt phẳng P đi qua C và vuông góc với trục quay, vị trí của chất điểm trên mặt chất lỏng của TĐ có thể xác định bằng các toạ độ r,φ như hình vẽ. r là khoảng cách tính từ tâm TĐ. Ta sẽ khảo sát hình dạng của mặt chất lỏng trên TĐ nằm trong mặt phẳng P: r(φ)=R+h(φ). b. Xét một chất điểm khối lượng m của mặt chất lỏng trên TĐ (nằm trong mặt phẳng P). Trong hqc này, nó chịu tác dụng của lực li tâm và lực hấp dẫn do MT và TĐ gây ra. Hãy viết biểu thức của thế năng tương ứng với 3 lực ấy. TĐ MT φ r Chú thích: mọi lực F(r) hướng theo phương bán kính tới một tâm nào đó đều bằng giá trị âm của đạo hàm của thế năng đối xứng cầu V(r): c. Tìm dạng của phần lồi lên do thuỷ chiều h(φ) (một cách gần đúng) theo các đại lượng M, MmKhoảng cách giữa mức thuỷ triều cao và thấp trong mô hình ấy bằng bao nhiêu mét? Cho công thức tính gần đúng: khi a khá nhỏ so với 1 đơn vị. Bài 12:(đề thi QT năm 99 Italia) Sao mộc quay quanh mặt trời theo một quỹ đạo elip mà ta có thể coi gần đúng như một vòng tròn có bán kính trung bình là R. 1. Tính tốc độ V của hành tinh trên quỹ đạo MT. 2. Khi trạm ở giữa MT và Sao Mộc, tìm khoảng cách từ trạm đến Sao Mộc để cho lực hấp dẫn của hành tinh này và của MT cân bằng lẫn nhau. Một trạm vũ trụ khối lượng m=825kg bay lại gần Sao Mộc. Để đơn giản, ta xem như quỹ đạo của trạm nằm hoàn toàn trêm mặt quỹ đạo của Sao Mộc, coi lực hấp dẫn của Sao Mộc với trạm là lớn so với các lực khác. Trong hqc gắn với MT tốc độ ban đầu của trạm là v0=104m/s (dọc theo chiều dương của trục oy) trong khi đó tốc độ của Sao Mộc thì hướng theo chiều âm của trục ox; ta gọi tốc độ ban đầu là tốc độ của trạm khi ở khá xa Sao Mộc, nhưng lực hút của MT trong miền này cũng bỏ qua được so với lực hút của Sao Mộc. Và giả sử rằng trạm đi qua đằng sau Sao Mộc hình vẽ. 3. Xác định phương chuyển động của trạm (tức góc φ giữa phương chuyển động của nó với Ox) và tốc độ v’ của nó đối với Sao Mộc khi ở khá xa Sao Mộc. 4. Tìm giá trị cơ năng toàn phần E của trạm trong hqc gắn với Sao Mộc. Biết quỹ đạo của trạm trong hqc gắn với Sao Mộc là một hypebol với phương trình trong hệ tọa độ cực gắn với hqc này là: (1) Trong đó b là khoảng cách từ một trong hai đường tiệm cận đến Sao Mộc (được gọi là thông số va chạm), E là cơ năng toàn phần của trạm trong hqc gắn với Sao Mộc, G là hằng số hấp dẫn, M là khối lượng của Sao Mộc, r,θ là các toạ độ cực. 5. Dùng phương trình (1) mô tả quỹ đạo của trạm để tính góc lệch tổng cộng Δθ trong hqc gắn vơi Sao Mộc. Biểu diễn nó như hàm của vận tốc ban đầu v’ và b. 6. Cho rằng trạm không thể đi qua Sao Mộc ở khoảng cách tính đến tâm của Sao Mộc nhỏ hơn 3 lần bán kính Sao Mộc, hãy tính thông số va chạm nhỏ nhất và góc lệch cực đại có thể thực hiện được. 7. Tìm phương trình cho ta vận tốc cuối cùng v’’ của trạm trong hqc gắn với MT như một hàm của tốc độ của Sao Mộc V, tốc độ ban đầu v0 và góc lệch Δθ. 8. Dùng kết quả trên để tính giá trị bằng số của tốc độ cuối cùng v’’ trong hqc MT khi góc lệch là lớn nhất có thể đạt được. Cho: khối lượng của Sao Mộc: M=1,901.1027kg. Năm trên Sao Mộc: T=374,32Ms. Khối lượng MT: Ms=1,991.1030kg. Bán kính xích đạo của Sao Mộc: Rm=69,8Mm Bài 13: Một con tàu vũ trụ chuyển động theo quỹ đạo tròn quanh TĐ trong mặt phẳng quỹ đạo của Mặt Trăng với vận tốc góc bằng vận tốc góc của MT. Trong thời gian chuyển động, tàu nằm trên đường thẳng nối tâm TĐ và MT, khoảng cách từ tàu đến TĐ được chọn sao cho lực hút của hai hành tinh lên tàu cân bằng nhau. Hỏi động cơ của tàu có hoạt động không? Trọng lượng của nhà du hành vũ trụ trên tàu như thế nào? khối lượng người này là 70kg, chu kì quay của MT quanh TĐ là T=27,3 ngày đêm. Khối lượng TĐ lớn hơn khối lượng MT 81 lần, còn khoảng cách L từ TĐ tới MT bằng 60 lần bán kính TĐ, lấy bán kính TĐ là 6400km. Bài 14: Một con tàu vũ trụ quanh MT theo quỹ đạo tròn bán kính R=3,4.106m. Hỏi phải nén từ tàu một mẫu quốc huy theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc bao nhiêu để nó rơi lên mặt đối diện của MT? Sau thời gian bao lâu nó rơi lên MT? Cho gia tốc rơi tự do của mọi vật ở gần bề mặt MT nhỏ hơn TĐ 6 lần. Bán kính MT bằng 1,7.106m. Bài 15: Một con tàu vũ trụ tới gần MT theo một quỹ đạo hình parabol gần như tiếp tuyến với bề mặt MT. Để chuyển sang quỹ đạo tròn tiếp theo, tức là quỹ đạo tròn gần với bề mặt MT, tại thời điểm bay sát nhất với MT, một động cơ hãm được phát động. Xác định vận tốc chuyển động của tàu sau đó. Lượng nhiên liệu đã đốt cháy phải chiếm tỷ lệ bao nhiêu trong khối lượng ban đầu của tàu, nếu động cơ hãm phụt ra sản phẩm đốt với vận tốc tương đối v=4.103m/s so với tàu. Bài 16: Một thiên thạch bay về phía một hành tinh (dọc theo đường thẳng đi qua tâm hành tinh) va vào một trạm vũ trụ tự động quay xung quanh hành tinh theo quỹ đạo là một đường tròn bán kính R. Kết quả là thiên thạch ở nguyên trong trạm và làm thay đổi quỹ đạo của trạm sao cho khoảng cách nhỏ nhất tới tâm hành tinh là R/2. Tính vận tốc của thiên thạch ngay trước khi va chạm. Biết khối lượng trạm lớn gấp 10lần khối lượng thiên thạch. Khối lượng hành tinh là M. Hằng số hấp dẫn là G. ĐS: u=