Giáo án Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp

I/ Đặt vấn đề: Hình học cấp hai là một bộ môn khoa học khó đối với học sinh. Đa số các em ngại học, ngại đầu tư, chưa say mê với bộ môn này. Đặc biệt với học sinh lớp 9, phần đường tròn các em đương chập chững làm quen. Các em luôn gặp khó khăn trước việc chứng minh một bài toán hình. Các em loay hoay không biết bắt đầu từ đâu, chứng minh như thế nào? Trước thực tiễn đó, với trách nhiệm của người giáo viên đang trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi đã tìm hiểu nguyên nhân vì sao? Do đâu các em nhận thức lệch lạc về bộ môn này. Theo tôi có một số nguyên nhân sau: Về phía học sinh: + Học sinh chưa thật nắm chắc lý thuyết + Chưa biết vận dụng tri thức toán học vào thực hành + Hiểu bài một cách thụ động, không vững chắc + Suy luận hình học kém, lập luận đôi khi còn theo cảm tính + Chưa đúc rút được kinh nghiệm sau mỗi bài giải + Chưa biết cách khai thác bài toán + Hình vẽ thiếu chính xác, không rõ ràng + Ngôn ngữ, ký hiệu tuỳ tiện Về phía giáo viên: + Chưa chú trọng cho học sinh cách giải bài toán hình học + Bằng lòng và kết thúc công việc giải bài tập hình học khi đã tìm ra cách giải nào đó + Chưa chú trọng cho học sinh cách tìm tòi lời giải + ít quan tâm đến sự phát triển tư duy, sáng tạo của học sinh + Chú ý đến số lượng bài tập, chưa chú trọng đến chất lượng Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại môn hình học đặc biệt là chứng minh hình học, thiết nghĩ người giáo viên cần: Nắm vững kiến thức Chú ý phát triển tư duy học sinh Trình bày bài giảng một cách có hệ thống, lô gíc Vận dụng dạy học theo phương pháp đổi mới Tìm tòi, hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp để củng cố, khắc sâu một kiến thức, một chủ đề toán học nào đó, nhằm giúp học sinh có phương pháp chứng minh một bài toán hình học tốt hơn, từ đó tạo cho các em niềm tin, sự hưng phấn trong học toán hình học. Trong khuôn khổ cho phép, tôi không có tham vọng nêu được tất cả các phương pháp chứng minh hình học mà chỉ thể hiện một đề tài nhỏ về chứng minh toán học, đó là: Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau,hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc thông qua tứ giác nội tiếp  II/ Nội dung của đề tài Trong quá trình học hình học ở cấp hai, đặc biệt là các lớp 7,8,9 các em thường chứng minh hai góc bằng nhau thông qua hai tam giác bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc cùng phụ, cùng bù vời một góc thứ ba. Hay muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng học sinh hay vận dụng: sử dụng tiên đề Ơclit, hai góc kề bù…, chứng minh hai đoạn thẳmg bằng nhau học sinh thường gắn hai đoạn thẳng đó vào hai tam giác bằng nhau… Ngoài các phương pháp trên để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đường thẳng song song,ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau thì còn những phương pháp chứng minh nào nữa? Với kinh nghiệm của bản thân tôi xin đưa ra một số bài toán vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh III/ Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối lớp 9 Các tài liệu tham khảo Sách giáo khoa các lớp 6, 7, 8, 9 và các chuyên đề toán học IV/ Nội dung cụ thể: Để vận dụng được tứ giác nội tiếp trước hết học sinh phải nắm vững điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp: Tứ giác ABCD nội tiếp Û = 2v hoặc = 2v và một số cách thường dùng chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp Cách1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 2v A D O B C Cách2: Hai điểm B và C cùng nhìn đoạn AD cho trước dưới một góc vuông thì tứ giác ABCD nội tiếp Cách3: Từ hai đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn xuống cạnh qua hai đỉnh kia dưới những góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp B A C D O B A D C Cách4: Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M mà MA .MC = MB.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh: Từ MA.MC = MB.MD suy ra: . Hai tam giác MAD và MBC có: (Đối đỉnh) . ị D MAD ∽ D MBC ịhay: ị Tứ giác ABCD nội tiếp Cách5: Tứ giác ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh: M Từ MA.MB = MC.MD suy ra: D MAC và D MDB có: chung: ị D MAC ∽ D MDB ị . Hay ị Tứ giác ABCD nội tiếp Một số dạng toán cụ thể: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau: Bài toán 1.1: Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O)(N,P là hai tiếp điểm). Chứng minh: Hướng dẫn: Với bài toán này sau khi vẽ hình học sinh sẽ lúng túng không biết sử dụng phương pháp nào để chứng minh hai góc bằng nhau, gv có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ từng bước: từ MN, MP là hai tiếp tuyến ta có được điều gì? ta dễ dàng chứng minh tứ giác nào trong hình là nội tiếp? Từ đó suy ra điều gì? Chứng minh: Ta có MN, MP là hai tiếp tuyến của (O) ị = 900. Tứ giác ONMP có: = 1800 nên tứ giác ONMP nội tiếp ị ( Hai góc nội tiếp chắn cung NO) Bài toán 1.2: Cho D ABC nội tiếp đường tròn(O). Các đường cao BB’, CC’. Chứng minh: Nhận xét: ở bài toán này học sinh sẽ không tìm ra cặp tam giác bằng nhau để chứng minh hai góc trên bằng nhau. GV cần hướng dẫn học sinh phân tích bài toán O + BB’, CC’ là hai đường cao suy ra điều gì? + Tứ giác BC’B’C có ta có được điều gì? + Từ tứ giác BC’B’C nội tiếp ta suy ra được gì? Chứng minh: Tứ giác BC’B’C có (Vì CC’ ^ AB, BB’ ^ AC) ị tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC Do đó: (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC’) 1 2 1 1 Bài toán 1.3: Cho D ABC. Ba đường cao AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo các câu hỏi sau: Hỏi1: Để chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ ta cần chứng minh H là giao điểm của ba đường nào trong tam giác? Hỏi2: Vậy ta cần chứng minh những góc nào bằng nhau? Hỏi3: Có những cách nào để chứng minh:? Hỏi4: (Gợi ý) Cần chứng minh hai góc này cùng bằng một góc hoặc hai góc bằng nhau nào đó ? Hỏi5: Có thể sử dụng giả thiết AA’, BB’, CC’ là các đường cao như thế nào? Sơ đồ phân tích: H là tâm đường tròn nội tiếp D A’B’C’ Tứ giác A’BC’N nội tiếp Tứ giác A’CB’H nội tiếp BCB’C’ nội tiếp Chứng minh: Tứ giác BA’HC’ có hai góc đối bù nhau( Vì é A’ = é C’ = 1v) nên tứ giác BA’HC’ nội tiếp được ị ( Cùng chắn cung HC) Tương tự : Tứ giác CA’HB’ nội tiếp ị ( Cùng chắn cung HB’) Ta lại có BCB’C’ nội tiếp( 1v) ị . Do đó . Hay A’H là tia phân giác của góc B’A’C’. Chứng minh tương tự: B’H là tia phân giác của góc C’B’A’. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ Bài toán 1.4:(Bài 5, mục giải toán qua thư – Tạp chí toán tuổi thơ 2 số 18) Bài 5(18) : Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). O là giao điểm của AC và BD. M là trung điểm của CD. Cỏc đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc AOD, BOC cắt nhau tại K khỏc O. Chứng minh rằng : ; Lời giải : Trờn tia đối của tia MO, lấy điểm I sao cho MI = MO. Dễ thấy ODIC là hỡnh bỡnh hành, DI // OC => (1). Mặt khỏc ta thấy : +) AB // CD +) AOKD ; BOKC là cỏc tứ giỏc nội tiếp nờn ; +) ODIC là hỡnh bỡnh hành nờn OC = DI. Chỳ ý rằng (vỡ AOKD nội tiếp) và (vỡ AO // DI) suy ra . (1) => => (vỡ AOKD nội tiếp) (2) Từ (1) và (2) suy ra : => (đpcm). Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc Bài toán 2.1: Hai đường tròn (O) và (O’) giao nhau tại A và B. CD là dây tuỳ ý của (O), CA và BD cắt (O’) tại E và F. Chứng minh EF//CD GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán: CD//EF = 2v Tứ giác ABCD như thế nào? Tứ giác ABEF như thế nào? 1 2 Chứng minh: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ị = 2v, mà = 2v ị (1) Chứng minh tương tự ta có : (2) = 1800 (3) Từ (1), (2), (3) ị . Do đó EF //CD (đpcm) Bài toán 2.2: Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Một đường thẳng d qua C cắt AB tại M và cắt đường tròn (O) tại N. Gọi P là giao điểm của tiếp tuyến tại N của (O) với đường thẳng vuông góc với AB tại M. Chứng minh OP // d Phân tích bài toán: d //OP d B (Vì: ) Tứ giác : OMNP nội tiếp Chứng minh: Tứ giác OMNP có: =1v(gt); ON ^ NP (Tính chất tiếp tuyến) nên = 1v. Do đó tứ giác OMNP nội tiếp ị ( cùng chắn cung OM) (1) Ta lại có: ( Vì D OCN cân tại O) (2) (So le trong vì MP // CD) (3) Từ (1), (2) và (3) ị . Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên: OP //d (đpcm) Bài toán 2.3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn tại các điểm tương ứng là P và Q. Chứng minh: EF // PQ Hướng dẫn học sinh giải bằng cách trả lời các câu hỏi? Hỏi: Để chứng minh EF // PQ ta cần chứng minh điều gì? Hỏi: Để chứng minh ta dựa vào điều gì? P Từ đó ta có thể phân tích theo sơ đồ PQ //EF Tứ giác BFEC nội tiếp Chứng minh: BE, CF là hai đường cao của tam giác ABC nên: ị tứ giác CBFE nội tiếp. Do đó: ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) Mà: ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP) ị , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên EF // PQ (đpcm) Bài toán 2.4: (bài 5, mục giải toán qua thư- Tạp chí toán tuổi thơ 2, số 14) Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC. Một đường trũn (O) đi qua A, B. Cỏc tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S. T là tiếp điểm của SC và (O). SB cắt (O) tại E (E khỏc B). Chứng minh rằng: ET // AB. Lời giải : Vỡ SA, ST tiếp xỳc với (O) nờn ta cú :; => ∆STE ∽ ∆SBT ; ∆SAE ∽ ∆ABA Mặt khỏc, vỡ tứ giỏc AETB nội tiếp nờn : (2) Từ (1), (2) ta cú : ∆TEA ∽ ∆TBC =>. Từ đú, với chỳ ý rằng :, ta cú : => ET // AB (hai gúc đồng vị bằng nhau). Bài toán 2.5: Cho D ABC có các đường cao BB’, CC’ và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh OA ^ B’C’ Hướng dẫn: GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo chiều ngược lại: OA ^ B’C’ t B’C’ // At (Vì: ) = 2v Tứ giác ABCD nội tiếp Dựa vào sơ đồ trên học sinh có thể trình bày lời giải Chứng minh: Ta có: ị Tứ giác BC’B’C nội tiếp trong đường tròn đường kính BC. Do đó: = 2v mà = 2v( hai góc kề bù) ị (1) Kẻ tiếp tuyến At với đường tròn (O) ta có: (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: . Hai góc này bằng nhau ở vị trí so le trong nên: B’C’ // At. Nhưng OA ^ At nên OA ^ B’C’. Vậy OA ^ B’C’ Bài toán 2.6:(Bài toán 5, mục giải toán qua thư- Tạp chí toán tuổi thơ 2 số 31) Bài 5 (31): Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác lần lượt tiếp xúc với các cạnh AB, BC theo thứ tự tại P, Q. Phân giác trong của cắt tia PQ tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với CE. Lời giải: Có ba trường hợp cần xem xét. Trường hợp 1: AB=AC. EºQ Dễ thấy E trùng với Q. Vì AB = AC nên AQ ^ CQ ị AE ^ CE (vì E trùng với Q) Trường hợp 2: AB > AC. Dễ thấy E thuộc đoạn PQ. Ta có DBPQ cân tại B. Suy ra (1) Xét tam giác OAC, ta có: (2) Từ (1), (2) suy ra tứ giác OEQC nội tiếp ị Trường hợp 3: AB < AC. Dễ thấy E thuộc tia đối của tia PQ. Tương tự trường hợp 2 ta có tứ giác OQEC nội tiếp. Suy ra AE ^ CE Tóm lại, trong cả ba trường hợp, ta đều có AE ^ CE 3. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài toán 3.1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và A’, một cát tuyến d bất kỳ qua A cắt (O) tại B và cắt (O’) tại C.Qua B và C kẻ hai đường thẳng song song bất kỳ theo thứ tự cắt (O) và (O’) tại B’ và C’. Chứng minh ba điểm A, B’, C’ thẳng hàng Phân tích bài toán: A, B’, C’ thẳng hàng Tứ giác A’AB’B nội tiếp Tứ giác A’AC’C nội tiếp Chứng minh: Tứ giác A’BB’A nội tiếp (O) ị Tứ giác A’AC’C nội tiếp (O’) ị Mà é B + é C = 1800 (Vì BB’ //CC’). Do đó: . Suy ra ba điểm A, B’, C’ thẳng hàng (đpcm) Bài toán 3.2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), từ điểm P tùy ý trên đường tròn (khác A, B, C) kẻ PD, PE, PF lần lượt vuông góc xuống BC, CA, AB. Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Phân tích bài toán: D, E, F thẳng hàng ; Tứ giác PFDB nội tiếp tứ giác AFPE nội tiếp Tứ giác ACPB và tứ giác EPDC nội tiếp Chứng minh: Ta có tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên: (1) Tứ giác EPDC nội tiếp ( Vì ) nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: ị (a) Tứ giác BPFD nội tiếp (vì có: ) Suy ra: (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD) (b) Tứ giác PAEF nội tiếp (Vì có: ) Suy ra: (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (c ) Từ (a), (b), (c ) suy ra: (3) DF và EF nằm hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ AB nên từ (3) ta suy ra ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài toán 3.3: Trên cạnh CD của hình vuông ABCD lấy điểm M tuỳ ý. Đường tròn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai là Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm Q, N, C thẳng hàng Phân tích bài toán: Q, N, C thẳng hàng Tứ giác AQND nộitiếp: Chứng minh: Tứ giác AQND nội tiếp ị Mà: ( Vì ABCD là hình vuông) nên: (1) Mặt khác :(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (2) Từ (1) và (2) suy ra: . Hay ba điểm Q, N, C thẳng hàng Bài toán 3.4: Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D và E lần lượt là các tiếp điểm thuộc cạnh BC và CA. M và N lần lượt là hình chiếu của A và B xuống các đường thẳng BO và AO. Chứng minh bốn điểm D, N, M, E thẳng hàng Phân tích bài toán: D, M, N, E thẳng hàng D, M, N thẳng hàng M, N, E thẳng hàng Phân tích tương tự ; Tứ giác AMNB nội tiếp Tứ giác AEMO nội tiếp Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp ( Vì có: ) Suy ra: (1) Mặt khác ta có: (gt) ị Tứ giác ABNM nội tiếp suy ra : ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (3) Chứng minh tương tự ta có: ba điểm D, N, M thẳng hàng (4) Từ (3) và (4) suy ra : Bốn điểm M, N, D, E thẳng hàng 4. Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài toán 4.1: Cho tam giác ABC có é B = 600. Phân giác AK và phân giác CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OK = OE Đối với bài toán này chúng ta có thể vẽ thêm đường phụ OF là phân giác của góc AOC rồi chứng minh OE = OK ( = OF) nhờ các cặp tam giác bằng nhau Tuy nhiên chúng ta có thể không cần vẽ thêm đường phụ mà vẫn chứng minh được nhờ kiến thức về tứ giác nội tiếp tương đối đơn giản Phân tích bài toán OK = OE mà BO là phân giác của 600 Tứ giác BEOK nội tiếp Chứng minh: Tam giác ABC có tổng ba góc bằng 1800 nên: = 1800- 600 = 1200 Xét D OAC ta có: Mặt khác: ( Đối đỉnh) Tứ giác BEOK có Nên tứ giác BEOK nội tiếp mặt khác từ giả thiết suy ra BO là phân giác của ị ị EO = KO Bài toán 4.2: Cho nửa đường tròn (O). C là một điểm thuộc nửa đường tròn (O), M thuộc ccung AC, N thuộc cung CB. Hình chiếu của M, N trên AB là E, G. Hình chiếu của M, N trên OC là F, H. Chứng minh: EF = GH Phân tích bài toán: EF = GH Tứ giác MEOF nội tiếp đường tròn (O1;) Tứ giác OHNG nội tiếp đường tròn (O2: ) Chứng minh: Vì E, F là hình chiếu của M trên OA và OC nên: ME ^ OA ; MF ^ OC ị Do đó: ị Tứ giác MEOF nội tiếp đường tròn ( O1; ) Chứng minh tương tự ta có: Tứ giác NHOG nội tiếp đường tròn (O2; ) Mà OM = ON suy ra (O1) = (O2) Ta có: (Cùng bù với góc HOG) Mà sđ = sđ sđ = sđ Suy ra : sđ =sđ ị HG = EF Bài toán 4.3: Cho tam giác ABC cân tại A và < 900. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh: AH = EH Phân tích bài toán HA = HE Mà:(Vì:mà:) Tứ giác AHED nội tiếp Chứng minh: Tam giác ABD vuông tại A nên: , hay: (1) Tam giác ECD vuông tại C nên : (2) Mặt khác: ( Cùng bằng ) (3) Từ (1), (2) và (3) ị Tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AH vừa là đường cao, do đó AH^BC hay Tứ giác AHED nội tiếp (Vì có ) Mà: ( chứng minh trên) ị . Do đó AH = EH 5. Một số bài toán tham khảo: Bài1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O). Trên đường chéo AC lấy điểm M ( M ạ O), đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại N. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P Chứng minh: OMNP nội tiếp Chứng minh: BN // OP Bài2: Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm bất kỳ, Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB. Trên Mx lấy điểm C và D sao cho MC = MA, MD = MB. Gọi N là giao điểm của AD với đường tròn đi qua ba điểm A, M, C. Chứng minh ba điểm M, C, B thẳng hàng Bài3: Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB. Qua trung điểm I của AB vẽ hai dây cung CD và EF. Các đường thẳng CE, DF cắt AB lần lượt tại M và N. Chứng minh IM = IN  V/ Kết luận : Trên đây chỉ là một số bài toán vận dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau… mà các em thường gặp. Với các bài toán trên giúp cho giáo viên có hướng chung khi dạy học sinh chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng song song, ba điểm thẳng hàng… Song khi tiếp cận với bài tập, tuỳ theo từng bài cụ thể hướng dẫn học sinh lựa chon phương pháp thích hợp nhất, dễ hiểu nhất và hợp lô gíc đồng thời tuỳ vào đối tượng học sinh(chẳng hạn với học sinh khá giỏi) để bổ sung những bài toán có nội dung phức tạp hơn Số lượng bài tập đưa ra trong đề tài có hạn nhưng đều là những bài tập đơn giản, gần gũi với các em và chắc chắn trong quá trình học, học sinh sẽ gặp nhiều bài toán khó, phức tạp, phải sử dụng nhiều phương pháp, nhiều kiến thức liên quan. Nhưng để giúp học sinh hứng thú hơn, không ngại trước một bài toán hình học thì người giáo viên khi dạy cũng cần cho học sinh tiếp cận với các bài toán một cách có hệ thống, từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp Qua quá trình vận dụng vào giảng dạy, tôi thấy học sinh phần lớn nắm được bài, tự tin hơn khi gặp một bài toán hình học và vận dụng vào giải các bài tập một cách có chọn lọc, có hệ thống, biết phân tích để tìm hướng giải, hiệu quả học tập dần được nâng lên Trong bài viết này không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các đồng nghiệp góp ý để chuyên môn tôi ngày được nâng lên. Tôi xin chân thành cảm ơn