Giáo án ôn thi học sinh giỏi Toán 6

Chuyên đề 1: Tập hợp, cách ghi số tự nhiên. I, Mục tiêu: - HS được hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số kháI niệm về tập hợp - Hiểu sâu về tập hợp số tự nhiên và cách ghi số tự nhiên - HS làm thành thạo các bài tập trên tập hợp đặc biệt là cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân - HS tư duy thành thạo và làm các bài tâp thay số và điền số II, Nội dung Bài toán1. Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó. a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8: x = 2. b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 3 < 5. c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x – 2 = x + 2. d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x + 0 = x Hưỡng dẫn: a, A = ; b, B = c, C = ; d, D = N Bài toán 2. Cho tập hợp A = { a,b,c,d} a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử. b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử. c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử? d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con? Hưỡng dẫn: a, Các tập hợp con của A là: ;; b, c, có 4 tập hợp con của A có 3 phần tử, có 1 tập hợp con của A có 4 phần tử d, tập hợp A có 15 tập hợp con Bài toán 3. Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp sau. a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} b, A= {x,y}, B = {x,y,z} c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn. hưỡng dẫn: a, A B ; b, A B c, A B (vì A có phần tử 0) Bài toán 4. Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu ;. Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp B = {1;2;3}. Hưỡng dẫn: Bài toán 5. Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và B = {3;4;5}. Hãy viết các tập hợp vừa là tập con của A, vừa là tập con của B. Hưỡng dẫn: Bài toán 6. Chứng minh rằng nếu thì Hưỡng dẫn: Lấy x A => x B (vì mọi phần tử của A dều thuộc B) => x C (vì mọi phần tử của B đều thuộc C => Bài toán 7. Có kết luận gì về hai tập hợp A,B nếu biết. a, thì b, thì , thì . Hưỡng dẫn: a, b, A = B Bài toán 8. Cho H là tập hợp ba số lẽ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên. a, Viết các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b,CMR c, Tập hợp M với . - Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử? nhiều nhất bao nhiêu phần tử? - Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn điều kiện trên? Hưỡng dẫn a, b, Vì H = và K = => c, M có ít nhất là 3 phần tử , Nhiều nhất là 6 phần tử có 3 tập hợp M thỏa mãn điều kiện trên (yêu cầu HS viết cụ thể) Bài toán 9. Cho . Hãy xác định tập hợp M = {a - b}. Hưỡng dẫn: M = Bài toán 10. Cho tập hợp A = {14;30}. Điền các ký hiệu vào ô trống. a, 14 A ; b,{14} A; c, {14;30} A. Hưỡng dẫn: a, b, c, Bài 11: Thay các chữ bởi các số thích hợp a, abc + acb = cba b, abcd . 9 = a0bcd c, (ab . c + d) . d = 1977 Chuyên đề 2. Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên I, Mục tiêu: - Hệ thống và khác sâu các kiến thức về các phép toán trên tập hợp số tự nhiên - HS tính toán thành thạo, rèn kỹ năng tính toán - hình thành và phát triển kỹ năng suy luận, lập luận II. Nội dung Bài toán 1. Viết tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số trong đó mỗi số: a, Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục. b, Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4. c, Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. Bài toán 2. Cho 3 chữ số a,b,c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số nói trên. a, Viết tập hợp A. b, Tính tổng các phần tử của tập hợp A. Bài toán 3. Cho một số có 3 chữ số là (a,b,c khác nhau và khác 0). Nếu đỗi chỗ các chữ số cho nhau ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy? (kể cả số ban đầu). Bài toán 4. Cho 4 chữ số a,b,c và 0 (a,b,c khác nhau và khác 0).Với cùng cả 4 số này có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số? Bài toán 5. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số? Bài toán 6. Quyển sách giáo khoa Toán 6 có tất cả 132 trang.Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này? Bài toán 7. Tìm hai số biết tổng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. Bài toán 8. Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0. a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau. b) Có thể lập được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau trong 4 chữ số đó. Bài toán 9. Tính các tổng sau. a) 1 + 2 + 3 + 4 +....+ n b) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2.n c) 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2.n + 1) d) 1 + 4 + 7 + 10 + .. + 2005 e) 2 + 5 + 8 + ... + 2006 f) 1+ 5 + 9 + . . + 2001 Bài toán 10 Tính nhanh tổng sau. A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 8192 Bài toán 11 a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số. Bài toán 12. a) Tổng 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190 b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = 2004 Bài toán 13. Tính giá trị của biểu thức. a) A = (100 - 1).(100 - 2).(100 - 3)...(100 - n) với n N * và tích trên có đúng 100 thừa số. b) B = 13a + 19b + 4a - 2b vớ a + b = 100. Bài toán 14.Tìm các chữ số a, b, c, d biết Bài toán 15. Chứng tỏ rằng hiệu sau có thể viết được thành một tích của hai thừa số bằng nhau: 11111111 - 2222. Bài toán 16. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a b. Chứng tỏ rằng a - b : m Bài toán 17. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta được số dư là 10. Tim số chia. Bài toán 18. Cho S = 7 + 10 + 13 + ... + 97 + 100 a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng? b) Tim số hạng thứ 22 c) Tính S. Bai toán 19. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết được thành một tích của hai số tự nhiên liên tiếp: a) 111222 ; b) 444222 Bài toán 20 . Tìm số chia và số bị chia, biết rằng: Thương bằng 6, số dư bằng 49, tổng của số bị chia,số chia và dư bằng 595. Bài toán 21. Tính bằng cách hợp lý. a) b) c) Bài toán 22. Tìm kết quả của phép nhân. a) b) Bài toán 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2009 – 1005 : (999 - x) với x Chuyên đề 2 (buổi 2) luỹ thừa với số mũ trên tự nhiên A. Kiến thức cơ bản: + a.a...a ( n thừa số a, no ) + Quy ước: a1 = a, a0 = 1. + am. an = am+n (m, n N*); am: an = am-n (m, n N*, mn, a 0); - Nâng cao: + Luỹ thừa của một tích: (a.b)n = an.bn + Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n + Luỹ thừa tầng: = ( trong một luỹ thừa tầng ta thực hiện phép luỹ thừa từ trên xuống dưới ). + Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. - So sánh hai luỹ thừa: + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lơn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n Thì am > an (a > 1) + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ lớn hơn 0 thì luỹ thừa nào có cơ số lơn hơn sẽ lớn hơn. Nếu a > b Thì am > bm (m > o) B. Bài tâp. Bài toán 1. Viết các tích sau hoặc thương sau dưới dạng luỹ thừa của một số. a) 25 . 84 ; b) 256.1253 ; c) 6255:257 Bài toán 2: Viết mỗi tích , thương sau dưới dạng một luỹ thừa: a) 410.230 ; b) ; c) ; d) ; e) ; ; ; f) ; ; ; Bài toán 3. Tính giá trị các biểu thức. a) ; c) ; d) Bài toán 4: Viết các số sau dưới dạng tổng các luỹ thừa của 10. 213; 421; 2009; ; Bài toán 5 So sánh các số sau, số nào lớn hơn? a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 523 và 6. 522 d) 7. 213 và 216 Bài toán 6: Tính giá trị các biểu thức sau: a) a3.a9 b) (a5)7 c) (a6)4.a12 d) 56 :53 + 33 .32 e) 4.52 - 2.32 Bài toán 7. Tìm n N * biết. a) b) c) d) ; e) g) h) Bài toán 8 Tìm x N biết. a) ( x - 1 )3 = 125 ; b) 2x+2 - 2x = 96; c) (2x +1)3 = 343 ; d) 720 : [ 41 - (2x - 5)] = 23.5. e) 16x < 1284 Bài toán 9 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 B = 1 + 3 + 32 +33 +...+ 32009 C = 1 + 5 + 52 + 53 +...+ 51998 D = 4 + 42 + 43 +...+ 4n Bài toán 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+2200. Hãy viết A + 1 dưới dạng một luỹ thừa. Bài toán 11. Cho B = 3 + +32 +33 +...+ 32005. CMR 2B + 3 là luỹ thừa của 3. Bài toán 9. Chứng minh rằng: a) 55-54+53 7 b) c) d) e) f) Bài toán 12: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2+22; 2+22+23 ; 2+22+23 +24 b) Chứng minh rằng: A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+22004 chia hết cho 3;7 và 15 Bài toán 13: a) Viết tổng sau thành một tích 34 +325 +36+ 37 b) Chứng minh rằng: + B = 1 + 3 + +32 +32 +...+ 399 40 + A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 31 + C = 165 + 215 33 + D = 53! - 51! 29 Bài toán 14: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: a) (217+172).(915 - 159)(42- 24) b) (71997- 71995):(71994.7) c) d) Các bài toán về chữ số tận cùng: * Tóm tắt lý thuyết: - Tìm chữ số tận cùng của một tích: +Tích của các số lẽ là một số lẽ + Tích của một số chẵn với một số bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. - Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. + Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên các chữ số tận cùng của nó. + Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 2,4,8 nâng lê luỹ thừa 4n (n0) đều có tận cùng bằng 6. ...24n = ...6 ; ...44n = ...6 ; ...84n = ...6 + Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ 3,7,9 nâng lê luỹ thừa 4n (n0) đều có tận cùng bằng 1. ...34n = ...1 ; ...74n = ...1 ;...94n = ...1 - Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2,3,7,8. * Bài tập áp dụng: Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau. Bài toán 2: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10. 481n + 19991999 ; 162001 - 82000 ; 192005 + 112004 ; 175 + 244 - 1321 Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng: 5 + 52 + 53 +...+ 596 Bài toán 4: Chứng minh rằng A = là một số tự nhiên. Bài toán 5: Cho S = 1 + 3 +32 +33 +...+ 330 . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính phương. Bài toán 6: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 +...+2100 a) Chứng minh A 3 b) Chứng minh A 15 ; c) Tìm chữ số tận cùng của A. Bài toán 7. Chú ý: + + + Các số 320; 815 ; 74 ; 512; 992 có tận cùng bằng 01. + Các số 220; 65; 184;242; 684;742 có tận cùng bằng 76. + 26n (n >1) có tận cùng bằng 76. áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau. 2100; 71991; 5151; ; 6666; 14101; 22003. Bài toán 8. Tìm chữ số tận cùng của hiệu 71998 - 41998 Bài toán 9. Các tổng sau có là số chính phương không? a) 108 + 8 ; b) 100! + 7 ; c) 10100 + 1050 + 1. Bài toán 10. Chứng minh rằng a) 20022004 - 10021000 10 b) 1999 2001 + 2012005 10; Bài toán 11. Chứng minh rằng: a) 0,3 . ( 20032003 - 19971997) là một số từ nhiên b) Chuyên đề 3: chia hết trong tập số tự nhiên I. Kiến thức bổ sung: +)TíNH CHấT CHIA HếT CủA MộT TổNG. Tính chất 1: a m , b m , c m ị (a + b + c) m Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a m , b m , ị (a - b) m Tính chất 2: a m , b m , c m ị (a + b + c) m Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu. a m , b m , ị (a - b) mCác tính chất 1& 2 cũng đúng với một tổng(hiệu) nhiều số hạng. +)dấu hiệu CHIA HếT cho 2, cho 5. Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5. Số chia hết cho 2 và 5 cú chữ số tận cựng bằng 0 +)dấu hiệu CHIA HếT cho 3, cho 9. Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3. Chú ý: Số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. Số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9. 2- Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu 1. a m ; b m k1a + k2b m 2. a m ; b m ; a + b + c m c m II. Bài tập: * Các phương pháp chứng minh chia hết. PP 1: Để chứng minh A b (b ). Ta biểu diễn A = b. k trong đó k N PP 2. Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng. Nếu abm và a m thì b m. PP 3. Để chứng minh một biểu thức chứa chữ (giã sử chứa n) chia hết cho b(b khác 0) ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b. PP 4. Để chứng minh A b. Ta biểu diễn b dưới dạng b = m.n. Khi đó. + Nếu (m,n) = 1 thì tìm cách chứng minh Am và A n suy ra Am.n hay A b. + Nếu (m,n) 1 ta biểu diễn A = a1.a2 rồi tìm cách chứng minh a1 m; a2 n thì tích a1.a2 m.n suy ra Ab. PP 5. Dùng các dấu hiệu chia hết. PP 6. Để chứng minh A b ta biểu diễn và chứng minh các Bài tập 1: Dựng 4 chữ số 0;1;2;5 cú tạo thành bao nhiờu số cú 4 chữ số, mỗi chữ số đó cho chỉ dựng 1 lần sao cho: a, cỏc số đú chia hết cho 2. b,Cỏc số đú chia hết cho 5 c.cỏc số chia hết cho 3 Giải: cỏc số cú chưa số 0 tận cựng gồm cỏc số: 1520; 1250;2150;1250;5120;5210 cỏc số cú chữ số 2 tận cựng gồm cỏc số:5102; 5012; 1502; 1052 cỏc số chia hết cho 3 gồm cỏc số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 khụng cú số nào. BT 2: Cho A = 12 + 15 + 21 + x với x N. Tìm điều kiện của x để A 3, A 3. Giải: Trường hợp A 3 Vì 12 3,15 3,213 nên A 3 thì x 3. Trường hợp A 3. Vì 12 3,15 3,213 nên A 3 thì x 3. BT 3:Khi chia STN a cho 24 được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 4 không? Giải: Số a có thể được biểu diễn là: a = 24.k + 10. Ta có: 24.k 2 , 10 2 ị a 2. 24. k 4 , 10 4 ị a 4. BT 4: Chứng tỏ rằng: a/ Tổng ba STN liên tiếp là một số chia hết cho 3. b/ Tổng bốn STN liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Giải: a/ Tổng ba STN liên tiếp là: a + (a + 1) + (a + 2 ) = 3.a + 3 chia hết cho 3 b/ Tổng bốn STN liên tiếp là: a + (a + 1) + (a + 2 ) + (a + 4)= 4.a + 6 không chia hết cho 4. Bài tập 5 Chứng minh rằng với mọi n N thì 60n +45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30. Bài toán 6: Chứng minh rằng: a) b) với a>b. Hưỡng dẫn: Viết các số ab và ba thành tổng các lũy thừa của 10 sau đó dưa về dạng 11.Q và 9.Q Bài toán 7 : Chứng minh rằng: a) A =1 + 2 + 22 + 23 + 24 +...+239 là bội của 15 b, T = 1257 -259 là bội của 124 c) M = d) P = với a,n N gợi ý : a, nhóm 4 hạng tử liên tiếp với nhau có tổng các hạng tử có thừa số 15 b, đưa về cùng cơ số 5 vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ c, d tương tự cách làm câu a Bài toán 8: CMR: + Tổng của 3 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6 + Tổng 3 số lẽ liên tiếp không chia hết cho 6. + Tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng 5 số lẽ liên tiếp thì chia 10 dư 5 Bài toán 9: Cho a,b N và a - b 7 . CMR 4a +3b 7. Gợi ý: a – b 7 ú 4 (a – b) 7 ú 4a – 4b 7 ú 4a + 3b -7b 7 => 4a + 3b 7 (vì 7b 7) Bài toán 10: Tìm n N để. a) n + 6 n ; 4n + 5 n ; 38 - 3n n b) n + 5 n + 1 ; 3n + 4 n - 1 ; 2n + 1 16 - 3n gợi ý: vận dụng tính chất chia hết của tổng và hiệu Bài toán 11. Chứng minh rằng: (5n)100 125 Gợi ý: (5n)100 = 5100. n100 = 53.597.n100 125 Bài toán 12. Cho A = 2 + 22 + 23 +... + 22004 . CMR A chia hết cho 7;15;3 Gợi ý: Tương tự bài tập 7 Bài toán 13. Cho S = 3 +32 +33 +...+ 31998 . CMR a) S 12 ; b) S 39 Bài toán 14. Cho B = 3 +32 +33 +...+ 31000; CMR B 120 Bài toán 15. Chứng minh rằng: a) 3636 - 91045 ; b) 810 - 89 - 88 55 ; c) 55 - 54 + 53 7 d) e) g) h) i) Bài toán 16. Tìm n N để : a) 3n + 2 n - 1 b) n2 + 2n + 7 n + 2 c) n2 + 1 n - 1 d) n + 8 n + 3 e) n + 6 n - 1 g) 4n - 5 2n - 1 Bài toán 17. CMR: a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2. b) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6. c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24. d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. (Chú ý: Bài toán trên được sử dụng trong CM chia hết, không cần CM lại) Bài toán 18. cho 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những số dư khác nhau. CMR tổng của chúng chia hết cho 5. Bài toán 19. Cho số không chia hết cho 3. Phải viết số này liên tiếp nhau ít nhất mấy lần để dược một số chia hết cho 3. Bài toán 20: Cho n N, Cmr n2 + n + 1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5. Bài toán 21. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó. Bài toán 22. Cmr a) thì (gợi ý: 111….1 có tổng các chữ số là n => A 3 b) thì Bài toán 23. Hai số tự nhiên a và 2.a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a3 Gợi ý: Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng tổng các chữ số của nó cộng với số chia hết cho 9 ( chia hết cho 3) a = k + số 3 => 2a = k + số 3 => 2a – a = số 3 – số 3 => a 3 Bài toán 24. CMR: m + 4n 1310m + n13. Gợi ý: m + 4n 13 ú 10(m + 4n) 13 ú 10m + 40 n 13 ú 10m + n + 39n 13 ú 10m + n 13 (vì 39n 13) ----------------------------------------- Chuyên đề 4: Số nguyên tố – Hợp số – số chính phương Kiến thức bổ sung: + Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tốn không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. + Để chứng tỏ một số tự nhiên a > 1 là hợp số , chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và a. + Cách xác định số lượng các ước của một số: Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được M = ax . by …cz thì số lượng các ước của M là ( x + 1)( y + 1)…( z + 1). + Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. Từ đó suy ra. Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 22. Số chính phương chia hết cho 23 thì phải chia hết cho 24. Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 32. Số chính phương chia hết cho 33 thì phải chia hết cho 24. Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 52. + Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố: Nếu tích a.b chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc ap hoặc bp. Đặc biệt nếu an p thì ap + Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số là một số nguyên tố và bình phương lên không vượt quá nó. + Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng: + Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng: + Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị + Một số bằng tổng các ước của nó (Không kể chính nó) gọi là ‘Số hoàn chỉnh’. Ví dụ: 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là một số hoàn chỉnh các dạng bài tập về số nguyên tố – hợp số: - Dạng 1 Bài tập. Bài 1. Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601. Bài 2. Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012.Tìm số nhỏ nhất trong 3 số đó. Bài 3. Cho A = 5 + 52 + 53 +...+ 5100 Số A là số nguyên tố hay hợp số? Số A có phải là số chính phương không? Bài 4 Bài 5. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số? 1.3.5.7…13 + 20 147.247.347 – 13 Bài6.Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30. P + 2; p + 4 đều là số nguyên tố. P + 10; p +14 đều là số nguyên tố. Bài 7. Cho n N*; Chứng minh rằng: là hợp số. Bài 8. + Cho n là một số không chia hết cho 3. CMR n2 chia 3 dư 1. + Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số? Bài 9. Cho n N, n> 2 và n không chia hết cho 3. CMR n2 – 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. Bài 10. Cho p là số nguyên tố và một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố, số còn lại là số nguyên tố hay hợp số? Bài 11. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. Bài 12. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố (p > 3). CMR: 4p + 1 là hợp số. Chuyên đề: ước chung – ƯCLN – Bội chung – BCNN Kiến thức bổ sung. ƯC - ƯCLN + Nếu a b thì (a,b) = b. + a và b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1 + Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta tìm các ước của ƯCLN của các số đó. + Cho ba số a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một nếu (a,b) = 1; (b,c) = 1; (a,c) = 1 Tính chất chhia hết liên quan đến ƯCLN Cho (a,b) = d . Nếu chia a và b cho p thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau. Cho a.b mà (a,m) = 1 thì b m 2 . BC – BCNN + Nếu số lớn nhất trong một nhóm chia hết cho các số còn lại thì số này là BCNN của nhóm đó. + Nếu các số nguyên tố với nhau từng đôi một thì BCNN của chúng là tích của các số đó. + Muốn tìm BC của các số đã cho, ta tìm bội của BCNN của các số đó. Nâng cao. Tích của hai số bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng. a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b) - Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a và b thì các thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau. - Nếu a m và an thì a chia hết cho BCNN(m,n). Từ đó suy ra + Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng. + Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của chúng. Bài tập. Bài 1. Tìm ƯCLN rồi tìm ƯC của 48 và 120. Bài 2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng 120a và 150 a. Bài 3. Tìm số tự nhiên x biết rằng 210 x , 126 x và 10 < x < 35. Bài 4. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a120 và a86. Bài 5. Tìm các bội chung nhỏ hơn 300 của 25 và 20. Bài 6. Một đội y tế có 24 bác sỹ và 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để số bác sỹ và y tá được chia đều cho các tổ? Bài 7. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng 200 đến 500. Tìm số sách. Bài 8. Một liên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 người. Tính số đội viên của liên đội đó biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150. Bài 9. Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người, nhưng xếp hàng 7 thì và đủ. Biết rằng số học sinh đó chưa đến 300. Tính số học sinh đó. Bài 10. Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150 dm. Một bước nhảy của chó dài 9 dm, một bước nhảy của thỏ dài 7 dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ củng nhảy một bước. Hỏi chó phải nhảy bao nhiêu bước mới đuổi kịp thỏ? Bài 11. Tôi nghĩ một số có ba chữ số. Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì được số chia hết cho 7. Nếu bớt số tôi nghĩ đi 8 thì được số chia hết cho 8. Nếu bớt số tôi nghĩ đi 9 thì được số chia hết cho 9. Hỏi số tôi nghĩ là số nào? Bài 12. chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 13. CMR các số sau đây nguyên tố cùng nhau. Hai số lẻ liên tiếp. 2n + 5 và 3n + 7. Bài 14. ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270, tìm số nhỏ. Bài 15. Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18. Bài 16. Tìm hai số tự nhiên a và b, biết rằng BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15. Bài 17. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng là 210. Bài 18. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khi chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3,4,5. Bài 19. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3, cho 4, cho 5 có số dư theo thứ tự là 1;3;1. Bài 20. Cho ƯCLN(a,b)= 1. CMR ƯCLN(a+b,ab) = 1. Tìm ƯCLN(a+b, a-b). Bài 21. Có 760 quả và cam, vừa táo, vừa chuối. Số chuối nhiều hơn số táo 80 quả, số táo nhiều hơn số cam 40 quả. Số cam, số táo, số chuối được chia đều cho các bạn trong lớp. Hỏi chia như vậy thì số học sinh nhiều nhất của lớp là bao nhiêu? mỗi phần có bao nhiêu quả mỗi loại? Bài 22. a) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 4, số nhỏ bằng 8. tìm số lớn. b) Ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên bằng 16, số lớn bằng 96, tìm số nhỏ. Bài 23. Tìm hai số tự nhiên biết rằng : Hiệu của chúng bằng 84,ƯCLN bằng 28, các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. Hiệu của chúng bằng 48, ƯCLN bằng 12. Bài 24. Tìm hai số tự nhiên biết rằng: Tích bằng 720 và ƯCLN bằng 6. Tích bằng 4050 và ƯCLN bằng 3. Bài 25. CMR với mọi số tự nhiên n , các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. 7n +10 và 5n + 7 2n +3 và 4n +8. ================ Chuyên đề : Các phép toán với số nguyên A) Kiến thức Bổ sung. 1. với a, b Z bao giờ củng có một và chỉ một trong ba trường hợp a = b hoặc a > b hoặc a < b. 2. Với a, b, c Z nếu a < b, b < c thì a < c (tính chất bắc cầu) 3. Kí hiệu “ Hoặc”; kí hiệu “ và” nghĩa là A hoặc B nghĩa là A và B Ví dụ: x > 3 hoặc x < -3 là x > -5 và x < 5 viết là -5 <x < 5 hay B. Bài tập: Bài tập 1. Mệnh đề sau đúng hay sai? Nếu a < b thì (Để chứng tỏ một mệnh đề nào đó là sai ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể mà mệnh đề sai. Một thí dụ như thế được gọi là một phản ví dụ) Bài tập 2. Tìm x Z biết a) b) c) >4 Bài tập 3. Cho Tìm Bài tập 4. trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? Nếu a = b thì Nếu thì a = b Nếu thì a < b. Bài tập 5. Tìm x biết: a) b) Bài tập 6. Tìm x, y, z Z biết . Trả bài kiểm tra một tiết Số học và Hỡnh học Phép cộng hai số nguyên - Tính chất phép cộng các số nguyên Bài tập 1. Tính nhanh. 2004 + [ 520 + (-2004)] b) [(-851) + 5924] + [(-5924) + 851] c) 921 + [97 + (-921) + (-47)] d) 2003 + 2004 + (-2005) + (-2006). Bài tập 2. Tính tổng các số nguyên x thỏa mãn. a) - 7 x > -5 c) Bài tập 3. Tính tổng A = 2 + (-4) + (-6) + 8 + 10 + (-12) + (-14) + 16 + … + 2010. B = 1 + (-3) + (-5 ) + 7 + 9 +(-11) + (-13) + 15 + … + 2009. Bài tập 4. Cho x và y là hai số nguyên cùng dấu. Tính x + y biết Bài tập 5. Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn a) b) Bài tập 6. Với giá trị nào của x và y thì tổng S = đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài tập 7. Tìm số nguyên x biết rằng x + 4 là số nguyên dương nhỏ nhất 10 -x là số nguyên âm lớn nhất Bài tập 8. Tìm các số nguyên a, b, c biết rằng: a + b = 11, b + c = 3; c + a = 2. Bài tập 9. Tìm các số nguyên a, b, c, d biết rằng: a + b + c + d = 1, a + c + d =2, a + b + d = 3, a + b + c = 4. Bài tập 10. Cho x 1 + x2 + x3 + …+ x49 + x50 + x51 = 0 và x1+ x2 = x3 + x4 = …= x47 + x48 = x49 + x50 = x50 + x51 = 1.Tính x50. Ôn tập học kỳ i. Dạng 1. Thực hiện các phép tính. Bài 1. Tính nhanh. a) 32 . 47 + 32 . 53 b) (-24) + 6 + 10 + 24 c) (24 + 42) + (120 - 24 - 42) d) (13 - 145 + 49) -