Giáo án Toán 10 - Chương II

Toán 10 - Chương II BÀI 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến 180o - Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o - Tích vô hướng của hai vecto và ứng dụng - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Trong chương trình này chúng ta sẽ nghiên cứu thêm một phép toán mới về vecto, đó là phép nhân vô hướng của hai vecto. Phép nhân này cho kết quả là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vecto. Để có thể xác định tích vô hướng của hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc α bất kì với 0o ≤ α ≤ 180o là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn α đã biết ở lớp 9. BÀI 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o 1Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn . Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn α đã học ở lớp 9. Hình 2.1 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.1.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R=1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (h.2.2). Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Giả sử điểm M có tọa độ (x0;y0). Hình 2.2 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.2.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0o ≤ α ≤ 180o, ta có định nghĩa sau đây: 1. Định nghĩa Với một góc α(0o ≤ α ≤ 180o) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị (h.2.3) sao cho và giả sử điểm M có tọa độ M(x0;y0). Khi đó ta định nghĩa: Hình 2.3 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.3.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α. Ví dụ. Tìm các giá trị lượng giác của góc 1350. Hình 2.4 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.4.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Chú ý. + Nếu α là góc tù thì cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0. + tanα chỉ xác định khi α≠ 90 ∘ , cotα chỉ xác định khi α≠ 0 ∘ và α≠ 180 ∘ . 2. Tính chất Hình 2.5 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.5.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi. Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà chúng ta cần ghi nhớ. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn: 3Tìm các giá trị lượng giác của các góc 1200, 1500. 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có . Hình 2.6 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.6.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 4Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 00 ? Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 1800 ? c) Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc (h.2.7). Khi đó: Hình 2.7 Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.7.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx – 500MS cách thực hiện như sau: a) Tính các giá trị lượng giác của góc α Sau khi mở máy ấn phím nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây: Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đo góc là “độ” và tính giá trị lượng giác của góc. - Tính sinα, cosα và tanα. Ví dụ 1. Tính sin63052’41”. Ấn liên tiếp các phím sau đây: Ta được kết quả là: sin63052’41” ≈ 0,897859012. Để tính cosα và tanα ta cũng làm như trên, chỉ thay việc ấn phím sin bằng phím cos hay tan. b) Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc khi biết các giá trị lượng giác của góc đó ta làm như ví dụ sau. Ví dụ 2. Tìm x biết sinx = 0,3502. Ta ấn liên tiếp các phím sau đây: và được kết quả là : x ≈ 20029’58”. Muốn tìm x khi biết cosx, tanx ta làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin bằng phím cos, tan. Câu hỏi và bài tập 1. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sinA = sin(B + C) b) cosA = - cos(B + C). 2. Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử . Tính AK và OK theo a và α. 3. Chứng minh rằng : a) sin1050 = sin750; b) cos1700 = - cos100; c) cos1220 = - cos580. 4. Chứng minh rằng với mọi góc α(0o ≤ α ≤ 180o) ta đều có cos2α + sin2α = 1. 5. Cho góc , với . Tính giá trị của biểu thức: P = 3sin2x + cos2 6. Cho hình vuông ABCD. Tính: Bài 2. Tích vô hướng của hai vectơ. Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của lực được tính theo công thức: Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch2_h2.8.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Trong đó: Công A được tính bằng Jun (viết tắt là J). Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ 1. Định nghĩa Ví dụ. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH. Khi đó ta có (h.2.9) Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch2_h2.9.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 2. Các tính chất của tích vô hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng: Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_Ch2_h2.10.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ b) Góc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra: c) Khoảng cách giữa hai điểm Câu hỏi và bài tập 1. Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng 2. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng trong hai trường hợp: a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB. b) Điểm O nằm trong đoạn AB. 3. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I. 4. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(4;2). a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB. b) Tính chu vi tam giác DAB. c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB. 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(7;-3), B(8;4), C(1;5), D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. 7. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C. BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chúng ta biết rằng một tam giác được hoàn toàn xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó. Như vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có một mối liên hệ xác định nào đó mà ta sẽ gọi là các hệ thức lượng trong tam giác. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng. Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu: a = BC, b = CA, C=AB. 1.Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA=b, AB=c. Gọi BH = c’ và CH=b’ (h.2.11) Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.11.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Trước tiên ta tìm hiểu hai hệ thức lượng cơ bản trong tam giác bất kì là định lí côsin và định lí sin. 1. Định lí côsin a) Bài toán. Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC (h.2.12) Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.12.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. GIẢI Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra định lí sau đây: b) Định lí côsin Trong tam giácABC bất kì với BC = a, CA=b, AB = c ta có: 2.Hãy phát biểu định lí côsin bằng lời. 3.Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào? Từ định lí côsin ta suy ra: Hệ quả c) Áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma , mb và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B và C của tam giác. Ta có: Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.13.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Thật vậy, gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lí côsin vào tam giác AMB ta có: 4.Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác ABC đã cho. d) Ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc . Tính cạnh AB và các góc A,B của tam giác đó. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.14.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. GIẢI Đặt BC = a, CA = b, AB = c.. Theo định lí Ví dụ 2. Hai lực cho trước cùng tác dụng lên một vật và tạo thành góc nhọn . Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực . Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.15.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. GIẢI 2. Định lí sin 5.Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh hệ thức: Đối với tam giác bất kì ta cũng có hệ thức trên. Hệ thức này được gọi là định lí sin trong tam giác. a) Định lí sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = C và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: CHỨNG MINH. Ta chứng minh hệ thức . Xét hai trường hợp: Nếu góc nhọn, ta vẽ đường kính BD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và khi đó vì tam giác BCD vuông tại C nên ta có hay hay . Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_cb_Ch2_h2.16a.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động: L10_cb_Ch2_h2.16b.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Nếu góc A tù, ta cũng vẽ đường kính BD của đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC (h.2.16b). Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O nên Do đó . Ta cũng có BC = BD.sin D hay a = BD.sinA. Vậy a = 2R.sin A hay . GIẢI Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.17.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. 3. Công thức tính diện tích tam giác Ta kí hiệu ha, hb, hc là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C và S là diện tích tam giác đó. 7. Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA= b, AB = c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và là nửa chu vi của tam giác. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.18.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.18a.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.18b.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.18c.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.19.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Ta thừa nhận công thức Hê-rông. Ví dụ 1. Tam giác ABC có các cạnh a = 13m, b = 14m và c = 15m. a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. GIẢI a) Ta có . Theo công thức Hê-rông ta có: . b) Áp dụng công thức S = pr ta có . Vậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r = 4m. GIẢI Theo định lí côsin ta có: 4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc a) Giải tam giác Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.20.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ thức đã được nêu lên trong định lí côsin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC biết cạnh a = 17,4m, và các cạnh b,c. GIẢI Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có cạnh cm, cm và GIẢI Theo định lí côsin ta có Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có cạnh a = 24cm, b = 13cm và c = 15cm. Tính diện tích s của tam giác và bán kính r của đường tròn nội tiếp. GIẢI Theo định lí côsin ta có b) Ứng dụng vào việc đo đạc Bài toán 1. Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A,B trên mặt đất sao cho ba điểm A,B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc . Chẳng hạn ta đo được AB = 24m, Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau: Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.21.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc . Chẳng hạn ta đo được m, , . Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.22.ggb Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Khi đó khoảng cách AC được tính như sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có Câu hỏi và bài tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, và cạnh a = 72cm. Tính , cạnh b, cạnh c và đường cao ha. 2. Cho tam giácABC biết các cạnh a = 52,1cm; b = 85cm và c = 54cm. Tính các góc 3. Cho tam giác ABC có , cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, và các góc của tam giác đó. 4. Tính diện tích của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7,9 và 12. 5. Tam giác ABC có . Tính cạnh cho biết cạnh AC = m và AB = n. 6. Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. a) Tam giác đó có góc tù không? b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó. 7. Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm. b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 27cm. 8. Cho tam giác ABC biết cạnh a= 137,5cm, . Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác. 9. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n . Chứng minh rằng m2 + n2 = 2(a2 + b2). 10. Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc . Tính chiều cao của tháp. 11. Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận (h.2.23), người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, b1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được . Tính chiều cao CD của tháp đó. Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.23-24.ggb” Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Bạn có biết Người ta đã đo khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng như thế nào? Tải trực tiếp tệp hình học động:L10_cb_Ch2_h2.25.ggb” Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. Loài người đã biết được khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng cách đây khoảng hai ngàn năm với một độ chính xác tuyệt vời là vào khoảng 384 000 km. Sau đó khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng đã được xác lập một cách chắc chắn vào năm 1751 do một nhà thiên văn người Pháp là Giô-dep La-lăng (Joseph Lalande, 1732-1807) và một nhà toán học người Pháp là Ni-cô-la La-cay (Nicolas Lacaille,1713 – 1762). Hai ông đã phối hợp tổ chức đứng ở hai địa điểm rất xa nhau, một người ở Bec-lin gọi là điểm A, còn người kia ở Mũi Hảo Vọng (Bonne-Espérance) một mũi đất ở cực nam châu Phi, gọi là điểm B (h. 2.25). Gọi C là một điểm trên Mặt Trăng. Từ A và B người ta đo và tính được các góc A,B và cạnh AB của tam giác ABC. Trong mặt phẳng (ABC), gọi tia Ax là đường chân trời vẽ từ đỉnh A và tia By là đường chân trời vẽ từ đỉnh B. Kí hiệu . Gọi là tâm Trái Đất, ta có: Vì biết độ dài cung nên ta tính được góc AOB và do đó tính được độ dài cạnh AB. Tam giác ABC được xác định vì biết “góc – cạnh – góc” của tam giác đó. Từ đó ta có thể tính được chiều cao CH của tam giác ABC là khoảng cách cần tìm. Người ta nhận thấy rằng khoảng cách này gần bằng mười lần độ dài xích đạo của Trái Đất Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG I. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc α với 00 ≤ α≤1800. Tại sao khi α là các góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9? 2. Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và côsin đối nhau? 5. Hãy nhắc lại định lí côsin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB và cosC theo các cạnh của tam giác. 6. Từ hệ thức a2 = b2 + c2 - 2bc cosA trong tam giác, hãy suy ra định lí Py-ta-go. 7. Chứng ming rằng với mọi tam giác ABC, ta có a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 8. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2 b) Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2 c) Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2. 9. Cho tam giác ABC có , BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 10. Cho tam giácABC có a = 12, b = 16, c = 20.. Tính diện tích S của tam giác, chiều cao ha, các bán kính R, r của các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và đường trung tuyến ma của tam giác. 11. Trong tập hợp các tam giác có hai cạnh là a và b, tìm tam giác có diện tích lớn nhất. II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? 2. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin α = sin β B. cos α = cos β C. tan α = tan β D. cot α = cot β 3. Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin α < 0 B. cos α > 0 C. tan α < 0 D. cot α > 0 4. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. cos450 = sin0 B. cos450 = sin1350 C. cos300 = sin1200 D. sin600 = cos1200 5. Cho hai góc nhọn α và β trong đó α < β. Khẳng định nào sau đây là sai? A. cos α < cos β B. sin α < sin β C. α + β = 900 ⇒ cos α = sin β D. tan α + tan β > 0 7. Tam giác đều ABC có đường cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng? 8. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? 9. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây: 10. Tam giác ABC vuông ở A và có góc . Hệ thức nào sau đây là sai? 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC là: 14. Cho góc . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng: A. 1,5 D. 2 15. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Nếu b2 + c2 - a2 thì góc nhọn; B. Nếu b2 + c2 - a2 > 0 thì góc tù; C. Nếu b2 + c2 - a2 < 0 thì góc nhọn; D. Nếu b2 + c2 - a2 < 0 thì góc vuông. 16. Đường tròn tâm O có bán kính R = 15 cm. Gọi P là một điểm cách tâm O một khoảng PO = 9 cm. Dây cung đi qua P và vuông góc với PO có độ dài là: A. 22 cm. B. 23 cm. C. 24 cm. D. 25 cm. 17. Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 18cm và có diện tích bằng 64cm2. Giá trị của sinA là: 18. Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. sin α = - cos β B. cos α = sin β C. tan α = cot β D. cot α = tan β 19. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 900 < sin1500 B. sin90015’ < sin90030’ C. cos90030’ > cos1000 D. cos1500 > cos1200 20. Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là sai? 21. Cho tam giác ABC có AB = 4cm BC = 7cm, CA = 9cm. Giá trị cosA là: A. 900 B. 600 C. 450 D. 300 24. Cho hai điểm M = (1; -2) và N = (-3;4). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là: A. 4 B. 6 25. Tam giác ABC có A = (-1;1); B = (1;3) và C = (1;-1). Trong các cách phát biểu sau đây, hãy chọn cách phát biểu đúng. A. ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau. B. ABC là tam giác có ba góc đều nhọn. C. ABC là tam giác cân tại B (có BA = BC). D. ABC là tam giác vuông cân tại A. 26. Cho tam giác ABC có A = (10;5); B = (3;2) và C = (6;-5). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ABC là tam giác đều. B. ABC là tam giác vuông cân tại B. C. ABC là tam giác vuông cân tại A. D. ABC là tam giác có góc tù tại A. 27. Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó tỉ số bằng: 28. Tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm và BC = 15cm. Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là: A. 8 cm B. 10 cm C. 9 cm D. 7,5 cm. 29. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng: A. 2S B. 3S C. 4S D. 6S 30. Cho tam giác DEF có DE = DF = 10cm và EF = 12cm. Gọi I là trung điểm của cạnh EF. Đoạn thẳng DI có độ dài là: A. 6,5 cm. B. 7 cm. C. 8 cm D. 4 cm. Bạn có biết Người tìm ra sao Hải Vương (Neptune) chỉ nhờ các phép tính về quỹ đạo các hành tinh Nhà thiên văn học U-banh Lơ-ve-ri-ê (Urbain Leverrier, 1811-1877) sinh ra trong một gia đình công chức nhỏ tại vùng Noóc-măng-đi nước Pháp. Ông học ở trường Bách Khoa và được giữ lại tiếp tục sự nghiệp nghiên cứu khoa học và giảng dạy ở đó. Ông đã say sưa thích thú tính toán chuyển động của các sao chổi và của các hành tinh, nhất là sao Thủy (Mercure). Với những thành tích nghiên cứu khoa học xuất sắc về thiên văn học, ông được nhận danh hiệu Viện sĩ Hàn lâm Pháp khi ông tròn 34 tuổi. Urbain Leverrier, 1811-1877 Vào thời kỳ bấy giờ, các nhà thiên văn đang tranh luận sôi nổi về “điều bí mật” của sao Thiên Vương (Uranus) vì hành tinh này không phục tùng theo những định luật về chuyển động của các hành tinh do Giô-han Kê-ple (Johannes Kepler, 1571-1630) nêu ra và không theo đúng định luật vạn vật hấp dẫn của I-săc Niu-tơn (Issac Newton, 1642-1727). Điều bí ẩn là vị trí của sao Thiên Vương trên bầu trời không bao giờ phù hợp với những tiên đoán dựa vào các phép tính của các nhà thiên văn thời bấy giờ. Nhà thiên văn học trẻ tuổi Lơ-ve-ri-ê muốn nghiên cứu tìm hiểu điều bí ẩn này và tự đặt câu hỏi tại sao sao Thiên Vương lại không tuân theo những quy luật chuyển động của các thiên thể. Một số nhà thiên văn thời bấy giờ đã dự đoán rằng con đường đi của sao Thiên Vương bị sức hút của sao Mộc (Jupiter) hay sao Thổ (Saturne) quấy nhiễu. Khi đó riêng Lơ-ve-ri-ê đã nêu lên một giả thiết hết sức táo bạo, dựa vào các phép tính mà ông đã thực hiện. Ông cho rằng sao Thiên Vương không ngoan ngoãn theo tiên đoán của các nhà thiên văn có lẽ do bị ảnh hưởng bởi một hành tinh khác chưa được biết đến ở xa Mặt Trời hơn sao Thiên Vương. Hành tinh này đã tác động lên sao Thiên Vương làm cho nó có những nhiễu loạn khó có thể quan sát được. Lơ-ve-ri-ê đã kiên nhẫn tính toán làm việc trong phòng suốt hai tuần liền, với biết bao công thức, nhìn vào ai cũng cảm thấy chóng mặt. Cuối cùng chỉ dựa vào thuần túy các phép tính, Lơ-ve-ri-ê xác nhận rằng có sự hiện diện của một hành tinh chưa biết tên. Vào thời gian đó, ở Pháp vì đài thiên văn Pa-ri không đủ mạnh, nên không thể nhìn được hành tinh đó. Ngay sau đó, Lơ-ve-ri-ê phải nhờ nhà thiên văn Gan (Galle) ở đài quan sát Bec-lin xem xét hộ. Ngày 23 tháng 9 năm 1846, Gan đã hướng kính thiên văn về khu vực bầu trời đã được Lơ-ve-ri-ê chỉ định và vui mừng tìm thấy một hành tinh chưa có tên trên danh mục. Như vậy sức mạnh của tài năng con người lại được thể hiện một cách xuất sắc qua việc khám phá ra hành tinh mới này. Mọi người đều thán phục, chúc mừng cuộc khám phá thành công tốt đẹp này và cho rằng Lơ-ve-ri-ê đã phát hiện ra một hành tinh mới chỉ nhờ vào đầu chiếc bút chì của mình (!). Đây là một bài toán rất khó, nó không giống bài toán tìm ngày, giờ, địa điểm xuất hiện nhật thực, nguyệt thực vì các chi tiết chỉ biết phỏng chừng thông qua các nhiễu loạn, do tác động của một vật chưa biết, người ta cần phải tìm quỹ đạo và khối lượng của hành tinh đó, cần xác định khoảng cách của nó tới Mặt Trời và các hành tinh khác v.v… Hành tinh mới này được đặt tên là sao Hải Vương (Neptune). Cũng vào thời điểm đó nhà thiên văn học người Anh là A-đam (Adam) cũng phát hiện ra hành tinh đó và người này không biết đến công trình của người kia. Tuy vậy, Lơ-ve-ri-ê vẫn được xem là người đầu tiên phát hiện ra sao Hải Vương và sau đó ông được nhận học vị Giáo sư Đại học Xoóc-bon đồng thời được nhận Huy chương Bắc đẩu bội tinh. Năm 1853 U-banh Lơ-ve-ri-ê được Hoàng đế Na-pô-lê-ông (Napoléon) Đệ Tam phong chức Giám đốc Đài quan sát Pa-ri. Ông mất năm 1877. Các nhà thiên văn học trên thế giới đã đánh giá cao phát minh quan trọng này của Lơ-ve-ri-ê.