Giáo án Toán 11 - Trường THPT Huỳnh Văn Sâm

Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bảng các giá trị lượng giác của gĩc đặc biệt Độ GTLG rad 00 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600 sina 0 1 0 0 cosa 1 0 0 1 tana 0 1 || 0 || 0 cota || 1 0 || 0 || Ct đổi độ sang rad Ct đổi Rad sang độ Cung đối Cung phụ Cung bù Hơn kém Õ Các hệ thứ cơ bản , , tanx.cotx=1 , Cơng thức cộng Cơng thức nhân đơi Cơng thức nhân ba ; sin3x = 3sinx - 4 sin3x cos3x = 4cos3x - 3cosx Cơng thức hạ bậc Cơng thức biến đổi tổng thành tích Cơng thức biến đổi tích thành tổng Các phương trình đặc biệt x1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC xác định khi , kỴ z xác định khi , kỴ z xác định khi y = xác định khi 1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ BÀI TẬP Tìm tập xác định của các hàm số : 1) 2) 3) y = tan2x + cot3x 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) HD : 7) Vì và nên .Biểu thức trong căn bậc hai khơng âm,để hàm số xác định thì 2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT : , và , VÍ DỤ : Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất : 1) 2) Bài giải : 1) Ta cĩ : Û Û Û Vậy : Giá trị nhỏ nhất của hàm số là đạt được khi : Giá trị lớn nhất cùa hàm số là đạt được khi : 2) Ta cĩ : Û Û Û Û Û Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là đạt được khi : Giá trị nhỏ nhất cùa hàm số là đạt được khi BÀI TẬP Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) y = sin6x + cos6x 9) 10) 11) 12) 13) 14) HD : 1)Thay 2) 3) Thay thì 2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1-Phương trình sinu = a + a 1 : phương trình vô nghiệm + -1 £ a £1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là : Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng : 2-Phương trình cosu = a + a 1 : phương trình vô nghiệm + -1 £ a £1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là : Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng : 3- Phương trình tanu = a Điều kiện : Nếu a không là giá trị đặc biệt ta cĩ : Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : 4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện : Nếu a không là giá trị đặc biệt : Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : BÀI TẬP Bài 1 : Giải các phương trình 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) tan(2x+600) = 10 10) 11) 12) Bài 2 : Giải các phương trình 1) 2) sin2x – cosx = 0 3) sin2x + 2cos2x = 0 4) sin2x + cos22x = 1 5) sin2x + cos2x = 0 6) 8 sinx cosx cos2x = - 7) tan2x.cot3x = 2 8 ) sin22x- cos2x = 0 9) tan3x.tan2x = 1 10) 11) 12) cosxcos2xcos4xcos8x = Bài 3 : Giải phương trình : HD : Điều kiện xác định của phương trình là : Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với : Nhận thấy với k lẻ thì nghiệm của phương trình thỏa điều kiện của bài Vậy pt cĩ nghiệm với h lẻ nghĩa là h = 2k+1 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác là pt cĩ một trong các dạng sau : asin2x + bsinx + c = 0 (1) atan2x + btanx + c = 0 (3) acos2x + bcosx + c = 0 (2) acot2x + bcotx + c = 0 (4) Cách giải : Đặt ẩn phụ t bằng một trong các hslg trên,pt (1) và (2) điều kiện -1 £ t £ 1 ,pt (3) và ((4) phải cĩ điều kiện của tanx và cotx VÍ DỤ Giải các phương trình : sin2x – 3sinx +2 = 0 Giải : Đặt t = sinx , điều kiện ,phương trình trở thành : t2 – 3t + 2 = 0 Nghiệm t = 2 khơng thỏa điều kiện của phương trình . Với t = 1 Û sinx = 1 Û BÀI TẬP Bài 1 :Giải các phương trình 1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) 3) 4) Bài 2 : Giải các phương trình : 1) 8cos2x + 2sinx - 5 = 0 2) 3) cos2x -sinx =1 4) 5) 6 sin23x +cos12x =14 6) 7) cos4x + cos2x =2 8) 9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + 2 = 0 10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + 4 = 0 11) cos2x + sin2x +2cosx + 1 = 0 12) tanx + 2cotx = 3 13) 14) sin3x+cos3x =sinx + cosx 15)sin4x + cos4x = 16) 2cos22x +3sin2x = 2 17) 2 – cos2 x = sin4x 18) 19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 20) HƯỚNG DẪN 12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(1-) 15) = 18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(1-) ) 16) Thay 3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX : a sinx + b cosx = c (1) A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cách giải Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho ,ta được : Vì nên nếu thì pt trở thành : Đây là pt lượng giác cơ bản,pt này cĩ nghiệm khi Cách 2 : Chia hai vế của phương trình cho a ,pt trở thành : Nếu thì phương trình vơ nghiệm . Nếu ta đặt ,pt trở thành : đây là pt cơ bản Cách 3 : Đặt , ta cĩ cơng thức : , thì pt trở thành : , Đây là pt bậc hai theo t B.VÍ DỤ : Giải phương trình : Bài giải : Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được : Vì và nên phương trở thành : sinxcos600 - cosxsin600 = sin(x- 600) = sin300 , kỴz Cách 2 : Chia hai vế của pt cho 1 , phương trình trở thành , đây là pt cơ bản . Cách 3 : Đặt , phương trình trở thành : Đây là phương trình bậ hai theo t C.BÀI TẬP Giải các phương trình : 1) 2) 3) 3sin2x + 4 cos2x = 5 4) 5) sinx + cosx = 6) 7) 8) tan150.cosx + sinx -1 = 0 9) 10) HD : 6) Thay Thay rồi qui đồng mẫu số . Thay 10) Đặt điều kiện rồi qui đồng ,khử mẫu đưa về dạng ( 1 ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT THEO SINX VÀ COSX asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d với a,b,c không đồng thời bằng 0 KIÊN THỨC CẦN NHỚ Cách giải : Cách 1 : + Với cosx = 0 tương ứng thế vào pt Nếu vt = vp ( thỏa) : pt cĩ nghiệm Nếu vt ≠ vp (khơng thỏa ) pt khơng cĩ nghiệm + Với ,Chia hai vế của phương trình cho cos2x,phương trình trở thành : a tan2x + b tanx + c = Û a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x) Đây là phương trình bậc 2 theo tanx . Cách 2 : Dùng cơng thức hạ bậc , thay , , ta được : Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x B.VÍ DỤ ; Ví dụ 1 : Giải các phương trình : 2sin2x – 5 sinx.cosx - cos2x = -2 Bài giải : Cách 1 : + Với cosx = 0 tương ứng với khi đĩ VT = 2 ¹ VP = -2 nên cosx = 0 khơng thỏa mãn phương trình (1). Pt khơng cĩ nghiệm cosx = 0 . + Với cosx ¹ 0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành : 2 tan2x -5 tanx -1 = Û 4tan2x – 5tanx + 1 = 0 Với tanx = 1 Với tanx = , kỴz Cách 2 : Thay , , ta được : Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . Ví dụ 2 : Giải phương trình : Bài giải : Pt được viết lại dưới dạng : + Với cosx = 0 tương ứng với khi đĩ VT = -2 = VP = -2 nên cosx = 0 thỏa phương trình (1). Pt cĩ nghiệm cosx = 0 . + Với cosx ¹ 0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành : 1 - tanx -2 tan2x= Vậy pt cĩ nghiệm là và Bài tập : Giải các phương trình 1) 2) 3) 3sin2x - 4 sinxcosx +5cos2x = 2 4) sin2x + sin2x - 2cos2x = 5) 6) 7) 8) 9) 10) Một số pt áp dụng cơng thức biến đổi : Vd: Giải các phương trình 1) sinx + sin2x + sin3x = 0 2) cos3x – cos4x + cos5x = 0 (*) 3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 (*) 5) 2 sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x Giải 1) sinx + sin2x + sin3x = 0 Ta cĩ : sinx + sin2x + sin3x = 0 sin2x= 0 , 2cosx+1 = 0 CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT x 1 QUI TẮC ĐẾM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1- Qui tắc cộng : Một cơng việc được thực hiện bởi nhiều phương án .Phương án thứ nhất cĩ m cách chọn,phương án thứ hai cĩ n cách chọn thì cĩ m + n cách chọn cơng việc . Nếu và B là các tập hợp hữu hạn khơng cĩ giao nhau( A ÇB = Ỉ )thì Nếu Avà B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ( A và B cĩ thể giao nhau) thì n(ẰB) = n(A) + n(B) – n(AÇB) 2- Qui tắc nhân : Một cơng việc được thực hiện bởi nhiều cơng đoạn liên tiếp nhau .Cơng đoạn thứ nhất cĩ m cách chọn,cơng đoạn thứ hai cĩ n cách chọn thì cĩ m . n cách chọn cơng việc . B. VÍ DỤ Bài giải : a) Số cách chọn một học sinh đỉ trực Cĩ 4 cách chọn 1nam Cĩ 5 cách chọn 1 nữ Vậy theo qui tắc cộng ta cĩ : 4 + 5 = 9 cách b) Số cách chọn một cặp song ca - Cĩ 4 cách chọn nam, - Ứng với 1 cách chọn nam thì lại cĩ 5 cách chọn nữ Vậy theo qui tắc nhân ta cĩ 4.5 = 20 cách chọn Ví dụ 1: Cĩ 4 nam , 5 nữ .hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn : a) Một học sinh đi trực b) Một cặp song ca . Vd2 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 cĩ thể lập được bao nhiêu số: a) Cĩ 4 chữ số b) Cĩ 4 chữ số khác nhau c) Số lẻ cĩ 4 chữ số khác nhau d) Số chẵn cĩ 4 chữ số khác nhau Bài giải : a ) Gọi số cần tìm là Tại a cĩ 5 cách chọn vì a¹ 0 ( ) Tại b cĩ 6 cách chọn ( ) Tại c cĩ 6 cách chọn ( tương tự ) Tại d cĩ 6 cách chọn Qui tắc nhân ta cĩ : 5.6.6.6 = 1080 số b) Gọi số cần tìm là Tại a cĩ 5 cách chọn vì a¹ 0 ( ) Tại b cĩ 5 cách chọn vì b ¹ a Tại c cĩ 4 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b ( tương tự ) Tại d cĩ 3 cách chọn vì d ¹ a và d ¹ b và d ¹ c Qui tắc nhân ta cĩ : 5.5.4.3 = 300 số c) Gọi số cần tìm là Tại d cĩ 3 cách chọn ( ) Tại a cĩ 4 cách chọn vì a ¹ 0 và a ¹ d Tại b cĩ 4 cách chọn vì b ¹ a và b ¹d Tại c cĩ 3 cách chọn vì c ¹ a và c ¹ b và c ¹ dQui tắc nhân ta cĩ : 3.4.4.3 = 144 số . d) Gọi số cần tìm là Cách 1:Số cĩ 4 chữ số khác nhau = số lẻ cĩ 4 chữ số khác nhau + số chẵn cĩ 4 chữ số Þ số chẵn cĩ 4 chữ số khác nhau = Số cĩ 4 chữ số khác nhau – số lẻ cĩ 4 chữ số khác nh = 300 – 144 = 156 Cách 2 : Trường hợp d = 0 . Tại d cĩ 1 cách chọn Tại a cĩ 5 cách chọn vì a¹d Tại b cĩ 4 cách chọn vì b ¹ a và b ¹d Tại c cĩ 3 cách chọn Theo qui tắc nhân ta cĩ 1.5.4.3 = 60 số Trường hợp d ¹ 0 . Tại d cĩ 2 cách chọn ( ) Tại a cĩ 4 cách chọn vì a ¹ 0 và a ¹ d Tại b cĩ 4 cách chọn vì b ¹ a và b ¹d Tại c cĩ 3 cách chọn Theo qui tắc nhân ta cĩ 2.4.4.3 = 96 số Bài tập 1/ Từ các số 1,2,3,4,5,6,,7 cĩ thể lập được bao nhiêu số : a) Cĩ 5 chữ số b) Cĩ 5 chữ số khác nhau c) Số chẵn cĩ 5 chữ số d) Số chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau 2/ Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 cĩ thể lập được bao nhiêu số: a) Cĩ 5 chữ số b) Cĩ 5 chữ số khác nhau c) Số lẻ cĩ 5 chữ số khác nhau d) Số chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau e) Số chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 3/ Một lớp học cĩ 50 học sinh trong đĩ cĩ 30 hs biết đá bĩng,20 học sinh biết đánh bĩng chuyền ,15 học sinh biết cả hai mơn . Hỏi lớp học đĩ cĩ bao nhiêu học sinh a) Biết chơi thể thao b) Khơng biết chơi thể thao . 4 / Từ A đến B cĩ 3 con đường ,từ B đến C cĩ 4 con đường ,từ C đến D cĩ 5 con đường . Hỏi cĩ bao nhiêu cách đi : Từ A đến D . ( ĐS : 3.4.5 cách ) Từ A đến D rồi trở về A . (ĐS : 60.60 cách ) Từ A đến D rồi trở về A mà khơng trở lại đường cũ . (ĐS: 60.24 cách) 5) Cĩ 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc .Người ta chọn 1 cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn để : a) Hai người đĩ là vợ chồng ( Đs : 10 cách ) b) Hai người đĩ khơng phải là vợ chồng . ( Đs : 90 cách ) 6) Cĩ bao nhiêu cách xếp 5 nam , 5 nữ vào 10 ghế thành hàng ngang sao cho : a)Nam nữ ngồi xen kẽ nhau . (Đs : 5!.5! cách) b)Các bạn nam ngồi cạnh nhau . (Đs : 6.5!.5! cách ) x 2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1)Hốn vi : Chọn n trong n phần tử và xếp theo 1 thứ tự nhất định thì gọi là 1 hốn vị của n phần tử.Tổng số các hốn vị là : 2)Chỉnh hợp : Chọn k trong n phần tử () và sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định (vd:nhất,nhì,ba) thì gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.Tổng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là : 3)Tổ hợp : Một tập hợp con gồm k phần tử () được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử . Tổng số các tổ hợp chập k của n phần tử là : B. VÍ DỤ : Cĩ 10 học sinh .Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp : 10 học sinh vào cái bàn cĩ 10 chỗ ngồi. 4 học sinh để phát thưởng nhất ,nhì , ba ,tư . 3 học sinh đi trực Bài giải : Chọn 10 học sinh trong 10 ,sắp xếp theo một thứ tự nhất định ,mỗi cách sắp xếp là một hốn vị của 10 phần tử. Tổng số các hốn vị là : P10 = 3628800 cách xếp 2) Chọn 4 trong 10 học sinh và sắp xếp theo một thứ tự :nhất ,nhì ,ba tư là chỉnh hợp chập 4 của 10 phần tử . Tổng số cácchỉnh hợp này là : 3) Chọn 3 trong 10 học sinh đi trực . Mỗi cách chọn là 1 tập hợp con cĩ 3 phần tử .Tổng số tập hợp con này là tổ hợp chập 3 của 10 phần tử . Như vậy cĩ cách xếp C.BÀI TẬP 1) Từ 8 điểm trên mp ta cĩ thể vẽ được bao nhiêu a) Đường thẳng b) Véc tơ c) Tam giác 2) Một ban chấp hành gồm 7 người . Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn a) Cả 7 người vào một bàn ăn cĩ 7 chỗ ngồi khác nhau . b) Ba người vào ban thường vụ : Bí thư,phĩ bí thư,ủy viên. c) Năm người đi dự đại hội đồn cấp trên . 3) Cĩ bao nhiêu cách chọn 5 trong 11 cầu thủ đá phạt đền. 4) Cĩ bao nhiêu đường chéo trong 1 hình đa giác lồi 20 cạnh. 5) Cĩ bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 5 đt// và 4 đt vuơng gĩc . 6) Trên giá sách cĩ 10 quyển sách tốn,8 quyển sách văn và 3 quyển sách lý.Lấy 3 quyển.Tính số cách lấy để : a) Mỗi loại cĩ 1 quyển. b) Cả 3 quyển cùng loại. c) Chỉ cĩ đúng 1 quyển sách văn. d) Cĩ ít nhất 1 quyển tốn. D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Giải các phương trình : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) x3 -NHỊ THỨC NIU-TƠN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Cần nhớ : a0 = 1 , , , am.an = am+n , , 1) Cơng thức nhị thức niu tơn : + Số hạng tổng quát là + Tổng các hệ số của (ax+by)n là (a+b)n 2) Tam giác pax-can : các hệ số được xếp theo tam giác sau n=0 (a+b)0 1 1 n=1 (a+b)1 1 1 1 1 n=2 (a+b)2 1 2 1 1 2 1 n=2 (a+b)3 1 3 3 1 hay 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 B.BÀI TẬP 1/ Khai triển nhị thức : a)) (x+2)4 b) (3x- 4)5 c) (2x-3y)5 d) e) f) g) h) i) k) m) n) 2/ a)Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển b)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1-2x)12 Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển Tìm hệ số của x4 trong khai triển biết Biết hệ số của x2 trong khai triển (1+3x)n là 90.Tìm n x 4- PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Khơng gian mẫu : là tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể sảy ra trong một phép thử .k/h W . 2/ Biến cố : là tập con của khơng gian mẫu x5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : 1 - Định nghĩ xác suất : tỉ số gọi là xác suất của biến cố A 2/ Tính chất : Nếu thì A và B là hai biến cố đối ( ) khi đĩ : hay B.VÍ DỤ : Cĩ 3 quả cầu trắng , 4 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên hai quả .Tính xác suất của biến cố : a) Hai quả cùng màu b) Hai quả khác màu c) Ít nhất một quả trắng d) Khơng cĩ quả trắng nào . Bài giải : Lấy hai trong 7 quả cầu là tổ hợp chập 2 của 7 phần tử ,do do đĩ a ) Chọn được hai quả cùng màu ,Cĩ hai khả năng: + Chọn được hai quả trắng ,cĩ cách + Chọn được hai quả xanh ,cĩ cách Nên , do đĩ b) Chọn được hai quả khác màu + Cĩ cách chọn một quả trắng . + Ứng với 1 cách chọn trắng thì lại cĩ cách quả xanh Qui tắc nhân ta cĩ n(B) = , do đĩ c) Chọn được ít nhất một quả trắng : Cĩ hai khả năng : + Chọn được 1 trắng, 1 xanh : cĩ cách + Chọn được hai trắng : cĩ cách . Qui tắc cơng ta cĩ n ( C ) = + =15 ,do đĩ d) vì nên A và B là hai biến cố đối nhau ( ) nên : P(A) + P(B) = 1 Þ P(D) = 1- P(C) = C.BÀI TẬP 2) Gieo một đồng tiền hai lần . Tính xác suất của các biến cố : A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp” B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần” 3) Gieo một đồng tiền ba lần .Tính xác suất của biến cố : A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp’ B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần” C: “ Khơng cĩ lần nào xuất hiện mặt sấp . D: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất hai lần” 3) Gieo con súc sắc hai lần . Tính xác suất của các biến cố : a) Lần đầu xuất hiện mặt một chấm . b) Mặt một chấm xuất hiện ít nhất một lần . c) Khơng cĩ lần nào xuất hiện mặt một chấm . d) Tổng số chấm trên hai mặt nhỏ hơn 5. 5) Cĩ 4 quả cầu trắng , 5 quả xanh , 6 quả đỏ . Chọn 3 quả .Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn a) Ba quả cùng màu. b) Ba quả khác màu . c) Ít nhất một quả trắng. d) Khơng cĩ quả trắng nào . e) Cĩ đúng một quả trắng f) Ít nhất hai quả trắng . 6) Một bình cĩ 16 viên bi với 7 bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ . a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi .Tính xác suất để : i) Lấy được 3 bi đỏ . ii) Lấy được 3 bi khơng đỏ b) Lấy ngẫu nhiên hai bi . Tính xác suất để lấy được: i) Hai bi khác màu. ii) Hai bi cùng màu CHƯƠNG III : DÃY SỐ - CẤP SỐ x 1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp chứng minh qui nạp gồm cĩ 3 bước : Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n= 1 Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với n=k Bước 3 : Ta c/m mệnh đề đúng với n = k+1 Vd1 : Cmr " nỴN* ,ta cĩ : 1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2 Vd2: Chứng minh " nỴN* thì : Vd3: : Cmr " nỴN* thì n3 – n chia hết cho 3 Vd4 : Cmr " nỴN* ,ta cĩ : 3n > 3n+1 x2 DÃY SỐ a) Dãy số un gọi là dãy số tăng nếu un <un+1 Dãy số un gọi là dãy số giảm nếu un >un+1 b) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số : Phương pháp 1 : xét hiệu un+1 – un nếu un+1 –un >0 Þ un+1 > un thì dãy số tăng nếu un+1 –un < 0 Þ un+1 < un thì dãy số giảm Phương pháp 2 : Nếu un > 0 với mọi nỴ N* thì lập tỉ số Nếu >0 với mọi nỴ N* thì dãy số tăng Nếu <0 0 với mọi nỴ N* thì dãy số giảm Vd : a) Chứng minh dãy số sau là dãy số tăng : un = 2n-3 b) Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm : x 3 CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ : a) ĐN : ( hoặc un+1 = un + d ) b) Số hạng tổng quát : c) Tính chất : ( ) d) Tổng : Hay B . BÀI TẬP Dạng 1 : Tìm số hạng của cấp số cộng : Vd1 : 1) Tìm 5 số hạng đầu của csc biết u1 = 2 , d = 3 . 2) Cho cấp số cộng biết u1 = 3 , u6 = 23 a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số cộng. b) Tính số hạng thứ 50 . c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên . 3) Tìm 6 số hạng đầu liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu là 12, tổng của ba số hạng kế là 30 . 3) Xen vào giữa số 3 và số 24 để được một csc cĩ tám số hạng . Dạng 2 : Tính tổng của cấp số cộng 1) Tính tổng S = 1+4+7+…+ 997+1000 ( HD : un = u1 + (n-1)d =1000 , tìm n ) 2) Tính tổng 3) Tính tổng S= 400 + 396 + 392 + …+ 4 4) Tính tổng S= 12-22+32 - 42 +52-62 + …+ (-1)n-1.n2 (HD: 12-22 = -3 , 32-42 = -7 , 52-62 = -11 ) Dạng 3 : Tìm số hạng đầu và cơng sai của csc ,biết : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Dạng 4 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng ,tìm n . 1) Cho dãy số (un) biết un= 2n-3 . Chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng .Tìm u1 và d . Số 1999 là số hạng thứ bao nhiêu ? Số 9800 là tổng của bao nhiêu số hạng ? 2) Tìm x trong cấp số cộng biết : 1+ 6 +11+ 16 +…+ x = 970 b) 2 + 7 + 12 +…+ x = 24 Giải : a) Tổng trên là tổng của cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 = 1,un = x ,cơng sai d = 5 ,và cĩ Sn = 970. Để tìm được x ta cần tìm n .Ta cĩ : Do đĩ x chính là số hạng thứ 20 hay x = u20 = u1 + 19d =1+19.5 = 96 Dạng 5 : Dùng tính chất của cấp số cộng để giải một số bài tốn : 1) Tìm m để 3 số : 3m2 + 1 ; 7m – m2 ; m2 + 3 lập thành một cấp số cộng 2) Tìm x trong cấp số cộng cĩ 3 số hạng liên tiếp là , , 3) Tìm x để 1+ sinx , sin2x , 1+ sin3x lập thành một cấp số cộng . 4) Cho cấp số cộng cĩ 4 số hạng liên tiếp là 1 , x+1 , y - 2 , 19 lập thành một cấp số cộng . Dạng 6 : Xác định các gĩc,cạnh trong một tam giác ,tứ giác . Tìm 3 gĩc trong 1 tam giác lập thành một cấp số cộng cĩ cơng sai d = 30 . Tìm 3 gĩc trong 1 tam giác vuơng lập thành một cấp số cộng . Tìm 3 gĩc trong một tam giác lập thành một cấp số cộng biết gĩc nhỏ nhất là 200 . 4) Ba gĩc của 1 tam giác cĩ số đo lập thành 1 cấp số cộng.Gĩc nhỏ nhất bằng 1/7 gĩc lớn nhất.Tính số đo 3 gĩc tam giác ấy. 5) Tìm 4 gĩc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số cộng cĩ gĩc nhỏ nhất bằng 150 6) Tìm các cạnh trong một đa giác lập thành một cấp số cơng, cĩ chu vi là 158 cm , biết gĩc lớn nhất là 44 ,cơng sai d = 3 cm x4 . CẤP SỐ NHÂN A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ : a) ĐN : ( hoặc un+1 = un .q ) b) Số hạng tổng quát : c) Tính chất : ( ) d) Tổng : Nếu q < 1 thì ,ta cĩ tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn là : B. BÀI TẬP Dạng 1 : Tìm số hạng và tổng của cấp số nhân : 1) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân biết u1 = 2 , q = 3 . 2) Cho cấp số nhân cĩ 3 số hạng đầu là , , , tính u8 , S8 . 3) Cho cấp số nhân cĩ bốn số hạng liên tiếp là 3 , x , 9 , y . Hãy tìm x , y 4) Cho cấp số nhân biết u1 = 3 , u4 = 81 a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân. b) Tính số hạng thứ 8 . c) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên . 5) Xen vào giữa số 1 và số 243 ,sáu số để được một cấp sốp nhân cĩ tám số hạng . 6) Xen vào giữa số -2 và số 256 ,sáu số để được một cấp số nhân cĩ tám số hạng . Dạng 2 : Tìm số hạng đầu và cơng bội của csn ,biết : 1) 2) 3) 4) 5) 6) Dạng 3 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân ,tìm n . 1) Cho cấp số nhân biết a)Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân b)Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ? c)Số 12288 là số hạng thứ mấy ? 2) Cho cấp số nhân (un) cĩ a) Tìm số hạng thứ 15 b) số là số hạng thứ mấy ? 3) Cho dãy số (un) biết un= 2n. a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân .Tìm u1 và q . b) Số 1024 là số hạng thứ bao nhiêu ? c) Số 2046 là tổng của bao nhiêu số hạng ? 4) Tìm số các số hạng ( tìm n ) của cấp số nhân ( un) biết : a) q = 2 , un = 96 , Sn = 189 b) q = 2 , un = , Sn = Giải : a) Ta cĩ : Với u1 = 3 thế vào pt (1) ta được : Û n = 6 Vậy cấp số nhân trên cĩ 6 số hạng Dạng 4 : Xác định các gĩc trong một tam giác ,tứ giác . Tìm 4 gĩc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân cĩ cơng bội q = 2 . Tìm 4 gĩc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân cĩ gĩc nhỏ nhất là 90 . Tìm 4 gĩc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số nhân biết gĩc lớn nhất gấp 9 lần gĩc nhỏ nhất . Dạng 5 : Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 1) Tính tổng : a) b) c) d) e) ( HD : , ,.., ) 2) Viêt số a = 5,121212…dưới dạng phân số . ( HD : a = 5+0,12+0,0012+..=5+ ) SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2011 -2012 TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Mơn tốn – khối 11 , Thời gian 120 phút Bài 1 : ( 3 điểm ) Giải các phương trình : 1) cos22x + cos2x = 1 2) 2 + cos2x + sin2x = 3sin2x 3) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = 0 Bài 2 : ( 2 điểm ) 1) Cho 10 điểm trên đường trịn ( C ) a) Cĩ bao nhiêu tam giác được tạo nên từ 10 điểm đã cho ? b) Cĩ bao nhiêu đường chéo từ đa giác lồi được tạo từ 10 điểm trên . 2) Giải phương trình : 3) Tìm số hạng thứ tư trong khai triển Bài 3 : ( 1 điểm) Cho cấp số cộng (un) sao cho : . Tìm u1 và d Bài 4 : ( 2 điểm ) Trong mpOxy cho đường thẳng (d) :2x – y + 3 = 0 và đường trịn ( C ) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến véc tơ Tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm I(2;3) ,tỉ số k = 2 . Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành ,tâm O . 1)Tìm giao tuyến của hao mặt phẳng : a)(SAC) và (SBD) b)(SAB) và (SCD) 2) Gọi M là trung điểm của SD . Tìm giao điểm của : a) SA với mp(MBC) b) SO với mp(MBC) ( Hình vẽ được 0,5 điểm )