Giáo án Toán 7 - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

PHẦN NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Định nghĩa. Cho G là tập không rỗng cùng với phép toán hai ngôi “.”. (G,.) được gọi là nhóm nếu chúng thoả 3 tính chất sau: (i) Với mọi x,y,z thuộc G thì (xy)z = x(yz). (ii) Tồn tại e thuộc G sao cho ex = xe = x,xG. (iii) Với mọi x thuộc G thì tồn tại y thuộc G sao cho xy = yx=e. Ta kí hiệu y là x –1. Để cho gọn ta có thể kí hiệu nhóm (G,.) là G. Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm G có tính giao hoán thì G được gọi là nhóm Abel. 1.1.2 Định nghĩa. Cho G là nhóm H là tập con khác rỗng của G. Nếu H cùng với phép toán cảm sinh của phép toán trong G lập thành một nhóm thì H được gọi là nhóm con của nhóm G. Ta kí hiệu HG. 1.1.3 Định nghĩa. Cho G là nhóm. Khi đó cấp của nhóm G chính là lực lượng của G kí hiệu là . Nếu hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn. 1.1.4 Định nghĩa. Cho G là nhóm và H là nhóm con của G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu xG, h H thì xhx -1 H. Ta kí hiệu HG. 1.1.5 Định nghĩa. Cho G là nhóm. (i) Nếu G là nhóm cấp pn với n là số tự nhiên, p là số nguyên tố thì G được gọi là p_nhóm. (ii) Nếu H là nhóm con của G và H là p_nhóm thì H được gọi là p_nhóm con của G. (iii) Nếu G là nhóm cấp m.pnvà (m,p)=1 và H là nhóm con cấp pn của G thì H được gọi là p_nhóm con Sylov của G. (iv) Hai nhóm con H1 ,H2 của G được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại x thuộc G sao cho H1=xH2x -1 và ta viết H1~H2 . 1.1.6 Định nghĩa. Cho x, y là 2 phần tử thuộc nhóm G. Phần tử xyx -1y -1 được gọi là một hoán tử của G và kí hiệu là [x,y]. Nhóm con của G sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G kí hiệu là [G,G], được gọi là nhóm con các hoán tử. Như vậy [G,G]= với S={[x,y]x,y G}. 1.1.7 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nhóm G có một dãy hữu hạn các nhóm con G=G0G1 … Gn={e} thỏa các điều kiện sau: (i) GiGi-1, với mọi i=1,2,…,n. (ii) Gi-1/Gi là nhóm Abel, với mọi i, ni1. 1.1.8 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G chỉ có 2 nhóm con chuẩn tắc là {e} và G. 1.1.9 Định nghĩa. Cho G là nhóm . Họ các nhóm con i(G) được định nghĩa bằng qui nạp như sau 1(G)=G, i+1(G)=[i(G),G] với mọi i. Các nhóm i(G) được xác định như trên được gọi là các nhóm tâm giảm của G. 1.1.10 Định nghĩa. Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên c sao cho . Số c nhỏ nhất thoả tính chất trên được gọi là lớp của nhóm luỹ linh G. 1.1.11 Định nghĩa. Cho {Gi}là một họ không rỗng các nhóm với phần tử đơn vị của Gi là ei. Đặt G=={(xi)}. Trong G ta xét phép toán sau (xi)(yi)=(xiyi). Khi đó G cùng với phép toán 2 ngôi này lập thành một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của một họ các nhóm {Gi} đã cho, được kí hiệu là . Tập con H={(xi)với hầu hết i thuộc I, trừ ra hữu hạn i thuộc I} là nhóm con của tích trực tiếp và được gọi là tổng trực tiếp ngoài của họ các nhóm {Gi} đã cho và được kí hiệu là 1.1.12 Định nghĩa. Cho (G,+) là nhóm, Hi là họ khác rỗng các nhóm con của G. (i) =được gọi là tổng đại số của họ các nhóm con {Hi}. (ii) Tổng đại số được gọi là tổng trực tiếp ( trong ) nếu với mọi j thuộc I ta có ={e} và được kí hiệu Hi. Khi I={1,2,…,k} thì tổng trên được kí hiệu lại là Hi hay H1Hk . Đặc biệt G=Hi thì ta nói rằng G là tổng trực tiếp ( trong ) của họ các nhóm con của nó. Khi đó mọi phần tử g thuộc G đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng g= . 1.1.13 Định nghĩa. Ánh xạ f từ nhóm G vào nhóm G’ được gọi là đồng cấu nhóm nếu f(xx’) = f(x)f(x’); với mọi x, x’ thuộc G. 1.1.14 Định nghĩa. Cho f là đồng cấu nhóm f từ nhóm G vào nhóm G’. Khi đó: (i) f được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh. (ii) f được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh. (iii) f được gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh. §2. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VÀ MỆNH ĐỀ 1.2.1 Định lí Lagrange. Cho G là nhóm, HG. Khi đó = . [G:H], trong đó [G:H] là lực lượng lớp ghép trái hoặc phải. Đặc biệt nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì =. 1.2.2 Định lí Cauchy. Nếu số nguyên tố p là ước của cấp của nhóm G thì trong G tồn tại phần tử cấp p. 1.2.3 Mệnh đề. Nếu a có cấp hữu hạn là d thì an = e khi và chỉ khi nd . 1.2.4 Định lí Sylov. Cho G là nhóm hữu hạn, số nguyên tố p là ước của cấp G. Khi đó: (i) Trong G tồn tại p_nhóm con Sylov (ii) Số các p_nhóm con của G chia p dư 1. (iii) Mọi p_ nhóm con của G đều nằm trong một p_nhóm con Sylov nào đó của G (iv) Mọi p_nhóm con Sylov của G đều liên hợp với nhau. 1.2.5 Định lí. Cho f là đồng cấu nhóm từ nhóm G và nhóm G’. Ta đặt Imf={f(a)aG}; Kerf={g G f(g)=e}. Khi đó Imf là nhóm con của G’, Kerf là nhóm con chuẩn tắc của G và G/Kerf Imf. Đặc biệt f là toàn cấu thì G/Kerf G’. 1.2.6 Mệnh đề. Mọi nhóm Abel đều giải được. 1.2.7 Định lí. Mọi p_nhóm đều lũy linh. 1.2.8 Định lí. Nếu G là nhóm lũy linh khác {e} thì Z(G){e}. 1.2.9 Định lí. Nhóm G khác {e} là luỹ linh lớp 1 khi và chỉ khi G là nhóm Abel. 1.2.10 Định lí. Nếu G là nhóm có đúng một p_nhóm con Sylov H thì H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. CHƯƠNG 2. NHÓM HỮU HẠN SINH §1. NHÓM HỮU HẠN SINH 2.1.1 Mệnh đề. Cho G là nhóm, {Hi} là họ không rỗng các nhóm con của G. Khi đó H= là nhóm con của G. Chứng minh. Ta có H khác rỗng vì e thuộc H. Lấy 2 phần tử x,y bất kỳ thuộc H. Khi đó x,y thuộc Hi, với mọi i thuộc I. Vì thế xy -1 thuộc Hi với mọi i thuộc I (vì Hi là nhóm con của nhóm G). Do vậy xy -1 thuộc H. Vậy H là nhóm con của G. 2.1.2 Hệ quả. Cho G là nhóm, S là tập con của G. Khi đó tồn tại nhóm con nhỏ nhất của G chứa S. Chứng minh. Gọi B là tập tất cả các nhóm con của G chứa S. Đương nhiên B khác rỗng vì G thuộc B. Như vậy giao tất cả các phần tử thuộc B chính là nhóm con nhỏ nhất của G chứa S. 2.1.3 Định nghĩa. Cho S là tập con của nhóm G. Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S gọi là nhóm con sinh bởi S và được kí hiệu là . Đặc biệt S={a} thì nhóm con được gọi là nhóm con xyclic của G sinh bởi a và được kí hiệu là . 2.1.4 Định nghĩa. Cho nhóm G= thì tập S được gọi là tập sinh của G. Nếu G có tập sinh hữu hạn {x1,x2,…,xn} thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh và ta kí hiệu là . Ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn sinh. Nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu tồn tại một phần tử a thuộc G sao cho G = . 2.1.5 Ví dụ. (i) Tập hợp Z[i]={a+bi a,bZ} với phép cộng là nhóm sinh bởi {1;i}. (ii) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng là nhóm xyclic sinh bởi {1}. 2.1.6 Định nghĩa. (i) Cấp của phần tử a thuộc nhóm G, kí hiệu , là . (ii) Nhóm G được gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn. (iii) Nhóm G được gọi là nhóm không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có cấp hữu hạn. 2.1.7 Ví dụ. (i) Nhóm Zn là tập hợp các lớp đồng dư theo module n, nN* với phép toán cộng là nhóm xoắn. (ii) Tập hợp các số hữu tỉ Q* với phép nhân là nhóm không xoắn. 2.1.9 Mệnh đề. Cho G là nhóm Abel. Ta gọi Ann(G)={mZ,} và Ann(g) = {mZ}. Khi đó: (i) Ann(G), Ann(g) là nhóm con của tập số nguyên Z. (ii) Nếu g có cấp hữu hạn thì Ann(g)=. Chứng minh. (i) Lấy m,n thuộc Ann(G). Khi đó với mọi g thuộc G thì g m-n = gm.g -n = e, nên m-n thuộc Ann(G). Vậy Ann(G) là nhóm con của Z. (ii) Gọi = n. Với mọi m thuộc Ann(g) thì gm = e. Do đó theo Mệnh đề 1.2.3 thì n là ước của m hay m = nk. Vì thế m thuộc . Vậy Ann(g) = . 2.1.10 Ví dụ. Nhóm nhân các số hữu tỉ Q* có Ann(Q*)={0}. Nhóm Zp với phép toán cộng có Ann(Zp)={kp, kZ}=pZ=. 2.1.11 Định lí. Cho G là nhóm, SG. Khi đó: (i) Nếu S bằng rỗng thì ={e} (ii) Nếu S khác rỗng thì ={; k,niÎZ; i=}. Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Nếu S khác rỗng, đặt H={; k,niÎZ; i=}. Ta sẽ chứng minh H=. Thật vậy, lấy hai phần tử x và y bất kỳ thuộc H. Khi đó x = ; y = với xi,yjS; ni,mj Z, i=, j=. Suy ra xy -1=()()-1=()(). Hay xy -1 =.. Do đó xy -1 H, nên HG. Hiển nhiên ta có SH. Giả sử tồn tại H’ là nhóm con của G chứa S. Lấy phần tử x bất kỳ thuộc H. Khi đó x = với xi S; k,niZ; i=. Vì xi SH’ và H’G nên H’. Suy ra H’ hay x H’. Do đó HH’. Theo định nghĩa của nhóm con sinh bởi tập hợp thì H = . 2.1.12 Hệ quả. (i) Nhóm con của G sinh bởi a thuộc G là ={ak, k Z}. (ii) Nếu G là nhóm sinh bởi {x1,x2,…,xn} thì G={xiS; ni,kZ; i=}. 2.1.13 Định lí. Cho G là nhóm, A và B là hai tập hợp con của G. Khi đó: (i) Nếu AB thì (ii) =B>= >= > (iii) Nếu Ai G , i= thì =. Chứng minh.(i)Lấy x bất kỳ thuộc . Khi đó x=, với xiA; ni,kZ; i= . Hay x=, với xiB; ni, kZ; i=. Do đó x . Vậy Ì. (ii) Trước tiên ta chứng minh =B > Ta có ABB nên B > (2.1.13 a) Lấy x bất kỳ thuộc B>. Khi đó x=, với xiÈB; ni,kZ; i=. Nếu xiB, i= thì x. Nếu xi, i= thì xi ( do). Do đó x. Nếu x1,x2,..,xlB; xl+1,…,xk; với l với i=; xj với j= (vì và B). Suy ra x. Do đó B> (2.1.13 b) Từ (2.1.13 a) và (2.1.13 b) ta suy ra =B>. Tương tự ta được =>. Do đó = > Vậy =B>= >= >. (iii) Ta chứng minh = (*) bằng phương pháp qui nạp theo n Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên. Giả sử ta luôn có = (k>1). Đặt A= suy ra =. Hay = . Do đó = = . Vì thế =>=>=>= Vậy theo nguyên lí qui nạp thì =. 2.1.14 Định lí. Cho G là nhóm. Khi đó: (i) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì KH= và KH = HK. (ii) Nếu HiG, i= và Hj G, j= thì H1H2…Hn= và HiHk=HkHi, ; i,k=. (iii) Nếu G là nhóm Abel và HiG, i= thì H1H2…Hn =. Chứng minh. (i) Ta chứng minh KH=. Thật vậy, ta có KH khác rỗng (do K và H khác rỗng). Lấy k1h1, k2h2 bất kỳ thuộc KH với k1,k2 thuộc K; h1,h2 thuộc H. Khi đó (k1h1)(k2h2)-1= k1h1h2-1k2-1 = k1k2-1(k2h1h2-1k2-1). Vì KG nên k1k2-1K. Vì HG nên h1h2-1H và k2h1h2-1k2-1H. Do đó (k1h1)(k2h2)-1KH. Vậy KHG Lấy x bất kỳ thuộc KÈH. Khi đó x thuộc K hoặc x thuộc H. Nếu xK thì x=xeKH (vì e H). Nếu xH thì x=exKH (vì e K). Suy ra xKH hay KHKH. Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa K H . Lấy kh bất kỳ thuộc KH với kK, hH. Khi đó nên khM (vì M G). Do đó KHM. Vậy KH=. Ta chứng minh KH = HK. Thật vậy, lấy kh bất kỳ thuộc KH với kK, hH thì kh=khk-1k. Vì HG nên khk -1H do đó kh = khk -1kHK. Suy ra KHHK.Tương tự ta được HKKH. Vậy KH = HK. (ii) Ta chứng minhH1H2…Hn= (*) bằng phương pháp qui nạp theo n. Với n=2 thì (*) đúng với theo chứng minh trên. Giả sử ta luôn có H1H2…Hk = với k>1, trong đó Hi G, i = , HjG,j=. Ta cần chứng minh H1H2…Hk+1=, trong đó HiG; i=; HjG, j=. Đặt H=H2H3…Hk+1, S=. Theo giả thiết qui nạp thì H=. Vì H1G và HG nên theo kết quả câu i) ta có H1H==>= (do Định lí 2.1.13). Vì thế H1H2..Hk+1=. Vậy H1H2…Hn= và HiHk=HkHi i,k=. (iii) Vì G là nhóm Abel và Hi G, i= nên HiG, i=. Theo kết quả câu (ii) thì H1H2…Hn=. Vậy ta có điều phải chứng minh. 2.1.15 Định lí. Cho G là nhóm hữu hạn sinh, G’ là nhóm bất kỳ và mỗi ánh xạ f:SG’, trong đó S là tập sinh của G. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu F:GG’ sao cho F=f. Ngược lại, nếu G là nhóm Abel và mỗi ánh xạ f:SG’ luôn tồn tại duy nhất đồng cấu F:GG’ sao cho F= f thì G là nhóm sinh bởi tập S. Chứng minh. Ta biết xG thì x= với xiS, niZ, i=. Xây dựng tương ứng F:GG’ xF(x)= Nếu x=eG thì x=x11x1-1 với x1S. Khi đó F(x)=(f(x1))1(f(x1))-1 hay F(e)=e. Ta chứng minh F là ánh xạ. Thật vậy, với xG thì F(x)G’. Lấy a,b thuộc G thỏa a=b thì ab-1 = e nên F(ab-1) = F(e) = e ( 2.1.15a ). Vì a,bG nên a = , b=với xi,yjS; ni,mj,k,lZ; i=; j=. Vì thế ab-1=()()-1=()(). Hay ab-1=.. Suy ra F(ab-1)= (2.1.15 b). Từ (2.1.15a); (2.1.15b) suy ra =e. Hay =. Vì thế F(a)=F(b). Với x, y bất kỳ thuộc G thì a=; b= với xi,yjS; k,l,ni,mjZ; i=,j=. Ta thấy F(ab) = Vì thế F(ab) = F(a)F(b). Nên F là đồng cấu. Lấy x bất kỳ thuộc G thì x=x1 nên F(x)=[f(x)]1=f(x). Vậy F=f. Giả sử tồn tại đồng cấu g:GG’ thỏa g(x)=f(x), xS.Lấy aG thì a=, xiS; k,niZ, i= . Khi đó F(a) = =. Vì thế F(a)=g() (vì g là đồng cấu). Nên F(a)=g(a), với mọi a thuộc G. Vậy F = g hay F là duy nhất. Ngược lại. Nếu G là nhóm Abel thì G. Đặt G’=G/. Xét ánh xạ f:SG’ x Ta xét đồng cấu :GG’ và toàn cấu chính tắc :GG’ x x Ta thấy và đều là ánh xạ mở rộng của f. Do tính duy nhất của ánh xạ mở rộng nên =. Suy ra (G) = (G). Nên G’ = . Do đó G/ = . Lấy g bất kỳ thuộc G thì = hay g. Vậy G = . 2.1.16 Mệnh đề. (i) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. (ii) Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh. (i) Cho G là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S, G’ là nhóm và f:GG’ là đồng cấu. Ta chứng minh = Imf. Thật vậy: Imf khác rỗng vì e Imf. Lấy y1,y2 bất kỳ thuộc Imf. Khi đó x1,x2G: y1=f(x1); y2=f(x2). Do đó y1y2-1=f(x1)[f(x2)]-1=f(x1x2-1) Imf. Nên Imf G’. Lấy y bất kỳ thuộc f(S) thì x S: y=f(x). Do đó yImf, vì thế f(S)Imf. Giả sử tồn tại H G’ chứa f(S). Lấy y bất kỳ thuộc Imf thì tồn tại x thuộc G sao cho y = f(x). Vì x G nên x = , với xiS; k,niZ; i= . Do đó y = f(x) = H (vì HG và f(xi)f(S)H ). Nên ImfH. Vì thế Imf=. Vậy ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. (ii) Cho G là nhóm, HG.Xét toàn cấu chính tắc :GG/H x Theo chứng minh trên thì G/H=Imf== Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh 2.1.17 Hệ quả: Nếu G= và f:GG’ là toàn cấu nhóm thì G’=. 2.1.18 Nhận xét. Nhóm con của nhóm hữu hạn sinh nói chung không phải là nhóm hữu hạn sinh. Chẳng hạn trong nhóm Gl2(R), ta xét G = với A= ; B=. Gọi C={AnBn , nN}. Khi đó C là tập có lực lượng vô hạn đếm được. Gọi H là nhóm con của G sinh bởi C tức là H = . Ta sẽ chứng minh A thuộc G nhưng A không thuộc H. Thật vậy, lấy D thuộc H. Khi đó D =, mi Z. Để chứng minh B không thuộc H ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n. Với n=1, giả sử m1>0 ta có Do đó . Giả sử Suy ra 2m1= 0 và 2m1= 2. Điều này vô lí. Vì vậy với mọi m1 thuộc Z, m1>0. Giả sử m1<0, ta có . Do đó với m1 là số nguyên và m1<0. Vậy với mọi m1 là số nguyên khác 0. Giả sử Z, i= và . Nếu mn = 0 thì . Vì thế ta có điều phải chứng minh nhờ giả thiết qui nạp. Với mn >0, mn thuộc Z thì . Giả sử = B. Tương đương với hệ phương trình sau: . Lấy (3) nhân với -2mn rồi cộng với (1) ta được a = 1. Thay kết quả này vào (1) ta được hệ phương trình . Thay (3’) vào (4’) ta được b2c+c-bd = 2 hay b2c+ac-bd = 2 (vì a = 1). Do đó b2c + ac – bd = 2 (Vì ac - bd = = 1). Vì thế b2c = 1 suy ra c. Điều này vô lí vì c là số nguyên và mn là số dương. Do đó Z, mn>0, i=1,2,…,n, nN. Tương tự mn<0 ta cũng được điều này. Vậy theo nguyên lí qui nạp thì B không thuộc H. Vì vậy H là nhóm con thực sự của G và là nhóm vô hạn sinh. 2.1.19 Mệnh đề. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu H và G/H hữu hạn sinh thì G là nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh. Gọi H=; G/H=. Ta chứng minh G=. Đặt K=. Lấy g bất kỳ thuộc G. Nếu gH thì gK (vì HK). Nếu gG\H thì và với yjG/H; mj,lZ; j=1,2,…,l. Vì thế =. Do đó g()-1H. Nên g()-1 =. Suy ra g =. Nên gK. Do đó G = K hay G là nhóm sinh bởi tập hợp {x1,x2,…,xn,y1,y2,…ym}. Vậy G là nhóm hữu hạn sinh. 2.1.20 Mệnh đề. Cho X là nhóm sinh bởi tập S với S={x1,x2,…,xn}, Y là nhóm bất kỳ và f:XY, g:XY là các đồng cấu nhóm. Khi đó f = g khi và chỉ khi f(xi) = g(xi), với mọi i=. Chứng minh. Điều kiện cần. Nếu f= g thì f(x)=g(x), xX. Do đó f(xi) =g(xi), với mọi i=. Điều kiện đủ. Nếu f(xi)=g(xi), i= ta phải chứng minh f=g. Thật vậy, với mọi x thuộc X ta có x=; k,ni Z; i=1,2,…,k. Thế thì f(x)=f()== Nên f(x)=g()=g(x), với mọi x thuộc X. Vậy f=g. 2.1.21 Mệnh đề. Cho X là nhóm, Y là nhóm sinh bởi tập S’={y1,y2,…,ym} và đồng cấu nhóm f:XY. Khi đó f là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn ánh lên S’. Chứng minh. Điều kiện đủ. Nếu f:XY là đồng cấu và là toàn ánh lên tập S’ thì với mỗi i=1,2,…,m luôn tồn tại xiX để cho f(xi)=yi . Lấy y là phần tử bất kỳ thuộc Y, ta phải chứng minh tồn tại x thuộc X để cho f(x)=y. Vì yY nên y=; k,miZ, i=1,2,…,k. Chọn x= với xi thỏa f(xi)=yi; i=1,2,…,k. Hiển nhiên xX. Khi đó f(x) = f() = = = y. Vậy f là toàn cấu. Điều kiện cần. Nếu f là toàn cấu thì hiển nhiên f toàn ánh lên tập S’. 2.1.22 Định lí. Nếu H là nhóm con thực sự của G thì G =. Chứng minh.Ta có G\H G nên G (2.1.22 a) Lấy g bất kỳ thuộc G. Trường hợp gG\H thì g . Trường hợp g H. Giả sử tồn tại x thuộc G\H sao cho gxH. Khi đó hH: gx=h. Do đó x = g -1h H(do HG) (mâu thuẫn xG\H). Nên gxH, . Hay gxG\H. Do đó gx. Vì thế tồn tại x’ thuộc sao cho gx = x’. Do vậy g = x’x -1 . Suy ra G (2.1.22 b) Từ (2.1.22 a) và (2.1.22 b) ta suy ra G=. Vậy G = . 2.1.23 Định lí. Cho Gi là nhóm , i=. Khi đó G= là nhóm hữu hạn sinh khi và chỉ khi Gi là nhóm hữu hạn sinh, i= Chứng minh. Điều kiện cần. Cho G= là nhóm hữu hạn sinh. Xét phép chiếu chính tắc chỉ số i pi:GGi .Vì phép chiếu chính tắc là toàn cấu nên theo Mệnh đề 2.1.16 thì Gi là nhóm hữu hạn sinh. Điều kiện đủ. Cho Gi là nhóm hữu hạn sinh, i= . Gọi Gi= với Si={xi1,xi2,…,x}, i = . Ta chứng minh G = = với S={(x11,e,…e);…;(x,e,…,e);(e,x21,e,…,e);…;(e,x,e,…,e);…;(e,e,…,e,x);…; (e,e,…,e,x)} Thật vậy, lấy x=(x1,x2,…,xn) . Trong đó xiGi=, i=, nên xi= với xijSi; mi,kZ; j=; i=. Do đó x=(,,…,). Vì thế x=[(x,e,…,e)…(x,e,…,e)][ (e,x,e,…,e)… (e,x,e,…,e)]… … [(e,e,…,x)… …(e,e,…,x)] Do vậy x=(x11,e,…,e)…(x,e,…,e)(e,x21,…,e)…(e,x2m,…,e)… …(e,…,e,xn1)…(e,…,e,x) Nên x . Do đó G= . Vậy . §2. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH Trong toàn bộ §2 ta sẽ viết phép toán của nhóm là phép cộng. 2.2.1 Định nghĩa. Nhóm Abel F được gọi là nhóm Abel tự do nếu F là tổng trực tiếp của các nhóm xyclic có cấp vô hạn. Nói rõ hơn, tồn tại một tập hợp X là tập con của F gồm các phần tử có cấp vô hạn sao cho ; tập X ở trên được gọi là cơ sở của F. Nhận xét. Nếu F là nhóm Abel tự do thì F, với Gi=Z, 2.2.2 Định lí. Cho G là nhóm Abel bất kỳ, F là nhóm Abel tự do có cơ sở X và f: XG là một ánh xạ. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu :FG sao cho =f nghĩa là (x)=f(x), . Chứng minh. Nếu u F thì u được biểu diễn duy nhất dưới dạng u=. Đặt (u)=. Dễ dàng chứng minh u= là đồng cấu từ F vào G và (x)=f(x), xX. Tính duy nhất của được suy ra từ tính chất đồng cấu. 2.2.3 Mệnh đề. Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và G/H là nhóm Abel tự do thì tồn tại K là nhóm con của G sao cho G=HK. Chứng minh. Đặt F=G/H và X={xi+H, iI} là cơ sở của F. Xét ánh xạ f: XG xi+Hxi Theo Định lí 2.2.2, tồn tại duy nhất đồng cấu :FG là mở rộng của f. Đặt K=imG. Rõ ràng G=H+K và HK={0}. Nên G=HK. 2.2.4 Định lí. Cho F là nhóm Abel tự do có cơ sở hữu hạn, H là một nhóm con của F khác {0}. Khi đó H cũng là một nhóm Abel tự do có cơ sở hữu hạn và lực lượng cơ sở của H bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của F. Chứng minh. Gọi lực lượng cơ sở của F là n, HF. Ta chứng minh lực lượng cơ sở của H bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của F (*) bằng qui nạp theo n. Nếu n =1 thì F là nhóm xyclic cấp vô hạn. Vì H F nên H cũng là nhóm xyclic. Mà H khác {0} nên HZ. Do đó H là nhóm Abel tự do và lực lượng cơ sở của H bằng lực lượng cơ sở của F. Gọi {x1,x2,…,xk} là cơ sở của F. Giả sử giả thiết (*) đúng cho các nhóm Abel tự do có cơ sở bé hơn k. Đặt F’= với S={x1,x2,…,xk-1} và H’=HF’F. Theo giả thiết qui nạp, H’ là nhóm Abel tự do có cơ sở bé hơn hoặc bằng k-1. Hơn nữa H/H’=H/(HF’)(H+F’)/F’F/F’Z. Do đó (theo giả thiết qui nạp) H/H’={0} hoặc H/H’Z Nếu H/H’={0} thì H=H’. Do đó H là nhóm Abel tự do có lực lượng cơ sở bé hơn hoặc bằng k-1. Nếu H/H’Z thì theo Mệnh đề 2.2.3 suy ra tồn tại h H với Z sao cho H=H’. Do đó H là nhóm Abel tự do có lực lượng cơ sở bằng lực lượng cơ sở của H’Z. Mà cơ sở của H’Z nhiều hơn cơ sở của H’ là 1 phần tử.Nên lực lượng cơ sở của H bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của F. Vậy theo giả nguyên lí qui nạp ta có điều phải chứng minh. 2.2.5 Định lí. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh, trong đó mọi phần tử sinh của G đều có cấp hữu hạn. Khi đó G là nhóm hữu hạn. Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo số phần tử sinh của G. Với n=1 thì G=, nên . Vậy G là nhóm hữu hạn. Cho G là nhóm Abel sinh bởi S={x1,..,xk} (k>1) trong đó . Giả sử các nhóm Abel sinh bởi tập hợp có lực lượng bé hơn k và các phần tử sinh có cấp hữu hạn đều là nhóm hữu hạn(*). Ta sẽ chứng minh giả thiết (*) đúng cho trường hợp nhóm Abel hữu hạn sinh có lực lượng bằng k. Thật vậy, G = = . Theo Định lí 2.1.13 thì G=> = , với H = và H’ = . Vì G là nhóm Abel và G = . Nên theo Định lí 2.1.14 thì G = HH’. Do đó. Theo giả thiết qui nạp thì . Mặt khác và HH’ H do vậy . Suy ra . Vì thế . Vậy G có cấp hữu hạn. 2.2.6 Định lí. Nhóm con của nhóm Abel hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Chứng minh. Cho Glà nhóm Abel sinh bởi S với S={y1,y2,...,yn}, H là nhóm con của G. Gọi F là nhóm Abel tự do sinh bởi S’ = {x1,x2,...,xn}. Xét ánh xạ f: S’G xif(xi)=yi Theo Định lí 2.2.2 thì tồn tại duy nhất đồng cấu :FG sao cho (xi)=f(xi)=yi, i=1,2,...,n. Vì là toàn ánh lên hệ sinh của G nên theo Định lí 2.1.21 thì là toàn cấu. Ta chứng minh -1(H) là nhóm con của F. Thật vây, -1(H) khác rỗng vì e thuộc-1(H). Lấy a1,a2 thuộc-1(H) thì (a1), (a2)H. Vì (a1a2-1) =(a1)[(a2)]-1 nên (a1a2-1)H. Do đó a1a2-1-1(H). Nên -1(H) F Vì F là nhóm Abel tự do nên theo Định lí 2.2.4 thì -1(H) là nhóm Abel tự do có lực lượng cơ sở bé hơn hoặc bằng n. Do đó -1(H)= với k n. Với mọi h thuộc H, ta có -1(h)=m1z1+...+mkzk với miZ, i=1,2,…,k. Suy ra h=(m1z1+...+mkzk). Vì thế h=m1(z1)+...+mk(zk). Do đó H=. Vậy H là nhóm hữu hạn sinh. 2.2.7 Định lí. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn. Khi đó G là nhóm Abel tự do. Chứng minh. Gọi G = {x1,x2,...,xn}. Ta chứng minh mọi nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn là nhóm tự do (*) bằng qui nạp theo n. Với n=1 thì G là nhóm xyclic cấp vô hạn (do G không xoắn) nên GZ do đó G là nhóm Abel tự do. Giả sử rằng giả thiết (*) đúng cho mọi nhóm có số phần tử sinh nhỏ hơn k. Ta chứng minh rằng (*) đúng với n=k. Đặt H={g G, mZ}. H khác rỗng vì e thuộc H. Lấy h1,h2 thuộc H. Khi đó tồn tại m1,m2 thuộc Z sao cho m1h1, m2h2. Suy ra m1m2(h1-h2)=m2(m1h1)-m1(m2h2). Vì thế H là nhóm con của G. Mà G là nhóm Abel nên HG. Trong nhóm thương G/H nếu k(x+H)=, kZ thì kxH nên tồn tại m thuộc Z sao cho m(kx) , hay (mk)x . Suy ra xH do đó x+H=H. Suy ra G/H là nhóm không xoắn và G/H được sinh bởi tập hợp ít hơn n phần tử. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử G/H=. Do đó theo giả thiết qui nạp thì G/H là nhóm Abel tự do. Theo Mệnh đề 2.2.3 thì tồn tại K G sao cho G = HK. Xét ánh xạ :KG/H k (k) = Khi đó là đẳng cấu nên KG/H. Mà K=G/H là nhóm Abel tự do nên ta chỉ cần chứng minh H là nhóm Abel tự do. Thật vậy, G là nhóm Abel hữu hạn sinh. Nên theo Định lí 2.2.6 thì H cũng là nhóm hữu hạn sinh. Gọi H=, hi0; i=1,2,...,r ; rn. Với mỗi i, tồn tại mi Z* sao cho mihi . Đặt b=m1m2...mr thì b0. Suy ra bhi, i=1,2,...,r. Do đó bH (2.2.7 a). Vì nên Z (2.2.7 b). Xét ánh xạ f:HbH hf(h)=bh. Khi đó f là đẳng cấu hay HbH (2.2.7 c) Từ (2.2.7 a), (2.2.7 b), (2.2.7 c) ta suy ra H đẳng cấu với một nhóm con của Z. Do đó H là nhóm xyclic cấp vô hạn hay H là nhóm Abel tự do. Vậy G là nhóm Abel tự do. 2.2.8 Mệnh đề. Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh đều là ảnh đồng cấu của Zn, nZ*. Chứng minh. Cho G=, S={x1,x2,…,xn}. Ta có Zn=, S’={e1,e2,…,en} với ei=()ij ; i,j=1,2,…,n (theo Định lí 2.1.23). Xét ánh xạ f:S’G eixi , i=1,2,…,n Theo Định lí 2.1.15 thì tồn tại duy nhất đồng cấu F: ZnG sao cho F(ei) = xi, i=1,2,…,n. Theo Mệnh đề 2.1.21 thì F là toàn cấu. Nên G=F(Zn). Vậy mọi nhóm Abel hữu hạn sinh đều là ảnh đồng cấu của Zn. 2.2.9 Mệnh đề. Cho G là nhóm Abel xoắn hữu hạn sinh.Khi đó tồn tại a Z sao cho đồng cấu f a:G G’ gag là đồng cấu tầm thường. Chứng minh. Cho G =,S ={x1,x2,…,xn}. Vì G là nhóm xoắn nên tồn tại ai thuộc Z* sao cho aixi = e, i=1,2,…,n. Đặt a = a1a2…an thì a Z*. Khi đó axi = e, i =1,2,…,n Xét ánh xạ fa:GG gag Lấy g1,g2 bất kỳ thuộc G, ta có fa(g1+g2)=a(g1+g2)=ag1+ag2 (vì G là nhóm Abel). Nên fa(g1+g2)=fa(g1)+fa(g2). Do đó fa là đồng cấu. Lấy g bất kỳ thuộc G. Khi đó r1,r2,…,rn Z sao cho g=r1x1+r2x2+…+rnxn. Do đó fa(g) = fa(r1x1+r2x2+…+rnxn) = r1fa(x1)+r2fa(x2)+…+rnfa(xn). Vì thế fa(g) = r1ax1+r2ax2+…+rnaxn = e (vì axi=e, i=1,2,…,n). Vậy fa = e. 2.2.10 Định lí. Nếu G là nhóm Abel hữu hạn sinh thì G=HF,với H là nhóm các phần tử có cấp hữu hạn, F là nhóm Abel tự do. Chứng minh. Gọi G= và H là tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn. Khi đó HG và G là nhóm Abel nên HG. Xét toàn cấu chính tắc :GG/H Ta thấy G/H= và không xoắn (do H là tập các phần tử có cấp hữu hạn). Theo Định lí 2.2.7 thì G/H là nhóm Abel tự do. Nên G/H=… (mn). Gọi F=… . Khi đó F là nhóm Abel tự do (vì nên xiH do đó xi có cấp vô hạn). Ta sẽ chứng minh G=HF Lấy x bất kỳ thuộc HF thì . Do đó . Nên –a1=a2+…+am. Do đó a1= nên a1=0(vì ). Tương tự ta được a2=…=am=0. Nên x=0. Vậy HF={0} Lấy x bất kỳ thuộc G thì G/H thì tồn tại k1,k2,…,km Z sao cho . Đặt y = thì y F. Xét ( x – y ) = ( x ) - ( y ) = - = . Nên x-yKer=H. Do đó tồn tại h thuộc H sao cho x = h+y H+F. Nên G = H+F. Vậy G=HF. 2.2.11 Mệnh đề. Cho G là nhóm Abel hữu hạn sinh . Khi đó mọi dãy tăng các nhóm con của G đều bị dừng. Chứng minh.Gọi G1G2 …là dãy tăng các nhóm con của G. Đặt G’=. Lấy x,x’ bất kỳ thuộc G’. Khi đó tồn tại i,j thuộc Z sao cho xGi, x’Gj . Suy ra x,x’Gt với t=max{i,j}. Do GtG nên với m,m’ Z ta đều có mx+m’x’Gt. Hay mx+m’x’G’ nên G’G. Vì G là nhóm Abel hữu hạn sinh nên theo Định lí 2.2.6 thì G’ cũng hữu hạn sinh. Do đó x1,x2,…,xnG’: G’=. Nên tồn tại k1,k2,…,kn thuộc Z sao cho xi G; i=1,2,…,n. Suy ra xi Gk,i Z với k = max{k1,k2,…,kn}. Nên G’ Gk mà GkG’. Do đó G’= Gk. Hay Gk=Gk+1=… Vậy dãy trên bị dừng. §3. MỐI QUAN HỆ CỦA NHÓM HỮU HẠN SINH