Giáo án Toán học khối 11 - Ứng dụng của đạo ham vào khảo sát hàm số

Ứng dụng của đạo ham vào khảo sát hàm số I.Tính đơn điệu của hàm số: A. Kiến thức cơ bản: 1.Định nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K Hàm số f nghịch biến trên K 2.Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I: a.Nếu f đồng biến trên I thì . b. Nếu f nghịch biến trên I thì . 3.Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I : a.Nếu (tại một số điểm hữu hạn) thì f đồng biến trên I b. Nếu (tại một số điểm hữu hạn) thì f nghịch biến trên I c.Nếu thì f không đổi trên I. B. Các vấn đề: Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số: PP: -Tìm tập xác định của hàm số. -Tính y’, tìm các điểm tại đó y’ = 0 hoặc không xác định( gọi là các điểm tới hạn). -Lập bảng bảng biến thiên từ đó kết luận sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. VD: Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a. b. c. d. e. f. g. h. k. l. Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng của tập xác định): PP: + Hàm số f đồng biến trên D (Dấu = chỉ xảy ra ở 1 số điểm hữu hạn) + Hàm số f nghịch biến trên D ( Dấu = chỉ xảy ra ở 1 số điểm hữu hạn) VD: Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: a. b. c. d. VD: Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên khoảng được chỉ ra: a. , b. c. . d. Chú ý:Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến(nghịch biến)(x1;x2) bằng d ta làm như sau: +Tính y’ +Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến(nghịch biến) (x1;x2): (1) +Biến đổi thành (*) +Sử dụng viet đưa (*) về phương trình theo m,(lưu ý x1,x2) là 2 nghiệm của phương trình y’ = 0) +Giải phương trình trên tìm m và so sánh với (1).KL Vd: Tìm m để hàm số: a. nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1. b. nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3. c. . đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4. II. Cực trị của hàm số: Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên D và . a.x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng sao cho . b. x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng sao cho . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số f. c. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị của hàm số tại x0 thì . 3.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Đ L1:(Quy tắc 1): G/s hàm số f liên tục trên (a;b) chứa x0 và có đạo hàm trên : + Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. + Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. Đ L2:(Quy tắc 2): Giả sử hàm số f có đạo hàm trên (a;b) chứa x0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0. a.Nếu thì f đạt cực đại tại x0. b. Nếu thì f đạt cực tiểu tại x0. B. Các vấn đề: Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số: VD: Tìm cưc trị các hàm số sau: a. b. c. d. e. f. Vấn đề 2: Tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị: PP1: Sử dụng quy tắc 1. PP2: Sử dụng quy tắc 2 Chú ý: +Hàm có cực trị có 2 nghiệm phân biệt + Khi sử dụng dấu hiệu 1 cần chú ý kiểm tra 2 đk cần và đủ. VD: Tìm m để hàm số: a. có cực đại, cực tiểu. b. có cực đại, cực tiểu. c. đạt cực đại tại x = 2 d. có 1 cực đại tại VD: Tìm a, b, c, d để hàm số: a. đạt cựa tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng tại . b. có đồ thị đi qua gốc tọa độ O và đạt cực trị bằng -9 tại . Vấn đề 3: Chứng minh hàm số luôn có cực trị: PP: + Để chứng minh hàm có cực trị ta chứng minh phương trình có hai nghiem phân biệt. +Để chứng minh hàm có 3 cực trị ta chứng minh phương trình có 3 nghiệm phân biệt. VD: Chứng minh các hàm số sau luôn có cực trị: Vấn đề 3: Cực trị có điều kiện: Cực trị có điều kiện của hàm . Bài toán đặc biệt 1: Tìm m để hàm đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 và x1,x2 thỏa mãn một biểu thức đối xứng .(*) PP: + Tính y’ +Điều kiện để hàm số có CĐ,CT tại x1,x2 là +Áp dụng định lý viet vào phương trình y’ = 0 để đưa phương trình (*) về phương trình theo m. +Tìm m,so sánh với (1),KL. VD: Tìm m để hàm số: a. đạt cực trị tại hai điểm x1,x2 sao cho b. đạt cực trị tại hai điểm x1,x2 sao cho c. đạt cực trị tại hai điểm x1,x2 sao cho Bài toán đặc biệt 2: Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 và x1,x2 và x1,x2 thỏa mãn 1 biểu thức đại số: Chú ý: + Cho khi đó . +Cho khi đó: . VD: Tìm m để đồ thị hàm số có hai cực trị là A và B thỏa mãn . VD: Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ,CT.Gọi A,B là cực trị của đồ thị hàm số trên. Hãy tìm m để AB ngắn nhất. VD: Tìm a để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung. Bài toán đặc biệt 3: Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d. PP: + Tìm đk để hàm số có cực trị. +A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d,I là trung điểm AB. VD: Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng . VD: Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng . Các bài toán khác: Chú ý: +Đồ thị có 2 cực trị: -Nằm hai phía với trục hoành - Nằm cùng phía với trục hoành -Nằm hai phía với trục tung - Nằm cùng phía với trục tung +Cho đường thẳng và hai điểm khi đó: -A,B nằm cùng phía so với -A,B nằm khác phía so với + A,B đối xứng nhau qua I. VD:Cho hàm số .định m để(1): a.Có đúng 1 cực trị lớn hơn 1 b.Có ít nhất 1 cực trị lớn hơn 1. c.Có 2 cực trị x1,x2 thỏa mãn VD: Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị và các cực trị có hoành độ dương. 2.Cực trị có điều kiện của hàm: VD: Tìm m để hàm số chỉ có cực đại không có cực tiểu. VD: Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại. VD: Tìm m để hàm số có 3 cực trị. VD: Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị và các cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác đều. VD: Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị và 3 cực trị này là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông cân. II.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: A.Kiến thức cơ bản: 1.Đn: Giả sử hàm số f xác định trên : a. b. . 2.Tính chất: +Nếu hàm số f đồng biến trên [a;b] thì + Nếu hàm số f nghịch biến trên [a;b] thì B.Các vấn đề: Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng: PP: + Tính y’ = f’(x) +Giải phương trình f’(x) = 0 và tìm các điểm mà f’(x) không xác định. +Lập bảng biến thiên. +Kết luận. b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn: PP: + Tính y’ = f’(x) +Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm trên [a;b],(nếu có) +Tính . + So sánh các giá trị vừa tìm được rồi kết luận: VD: Tìm giá trị lón nhất, giá trị nhỏ nhất các hàm số sau: a. b. c. d. VD: Tìm giá trị lón nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số: a. trên [-3;2] b. trên [0;2] c. d. Vấn đề 2: Sử dụng giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất trong giải phương trình,hệ phương trình,bất phương trình: * Chú ý: Cho hàm số f liên tục trên D và và , khi đó: 1.Phương trình có nghiệm 2. .Bất phương trình có nghiệm. 3. Bất Phương trình có nghiệm. 4. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. 5. . Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. VD: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1. 2. VD: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a. b. c. VD: Cho phương trình . a.Tìm m để bất phương trình có nghiệm trong [0;2]. b.Tìm m để bất phương trình thỏa mãn với mọi . IV. Điểm uốn của đồ thị: A.Kiến thức cơ bản: 1.Đn: Điểm đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại 1 khoảng sao cho trên 2 khoảng (a;x0),(x0;b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị. 2.Tính chất: +Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trến khoảng chứa x0 sao cho f’’(x0)=0 và f’’(x) đổi dấu qua x0 thì là 1 điểm uốn của đồ thị hàm số. + Đồ thị hàm số luôn có 1 điểm uốn và điểm uốn này cũng là tam đối xứng của đồ thị hàm số. B.Các ví dụ: VD: Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn là điểm I được chỉ ra tương ứng: a. b. c. VD: Tìm m,n để đồthị hàm số: a. có điểm uốn ở trên đường thẳng . b. có điểm uốn nằm trên trục Ox. V. Tiệm cận: * Chú ý: +Hàm và hàm không có tiệm cận. +Hàm có 2 tiệm cận: -Tiệm cận đứng: -Tiệm cận ngang là IV.Khảo sát hàm số: 1.Khảo sát các hàm cơ bản:(tài liệu kèm theo) 2. Phép suy đồ thị: :(tài liệu kèm theo) V. Sự tương giao của hai đồ thị: A.Kiến thức cơ bản: 1.Cho 2 đồ thị:.Khi đó: +Tọa độ các giao điểm của là nghiệm của hệ: +Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của . +Số nghiệm phương trình (*) bằng đúng số giao điểm của Chú ý: + không cắt nhau. +tiếp xúc nhau có nghiệm.Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm. +Đường thẳng (d) có hệ số góc k và qua điểm M(x0;y0) có phương trình là:. 2.Hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt . B.Các vấn đề: Vấn đề 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số : PP: +Lập phương trình hoành độ giao điểm +Giải (*) tìm nghiệm x0 của (*) +Tìm là giao điểm của . VD: Tìm tọa độ giao điểm các phương trình sau: a.. b. c. . Vấn đề 2: Tìm giá trị tham số m để cắt nhau: PP: +Lập phương trình hoành độ giao điểm +Dựa vào YCBT áp dụng điều kiện nghiệm vào phương trình (*) tìm m. VD: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt VD: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. VD:Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt. Vấn đề 2: Giao điểm có điều kiện A: PP: +Điều kiện cho hai đồ thị cắt nhau thao số giao điểm của yêu cầu bài toán.(1) +Dựa vào A tìm m.Kết hợp (1),KL. VD: Tìm m để đồ thị hàm số: a.cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. b. cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. c. cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành lập thành cấp số cộng. d. vàcắt nhau tại 3 điểm A,B,C và B là trung điểm của AC. e. cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. f. vàcắt nhau tại 2 điểm A,B phân biệt. Tìm m để AB ngắn nhất. VD: Tìm a và b để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB=BC.Khi đó chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định. Vấn đề 3: điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị: ĐL: Cho .Khi đó: tiếp xúc nhau có nghiệm. *Chú ý: Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm. VD: Tìm m để tiếp xúc nhau: a. b. c. . VI. Biện luận số nghiệm phương trình F(x,m)=0 (*) theo giá trị m. PP: +Biến đổi (*) về dạng .(1) +Khi đó (1) được xem là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:. +Dựng (C). +Dựa vào đồ thị biện luận số giao điểm của(C) và (d) số nghiệm phương trình (*). VD: Cho hàm số a.Khảo sát, vẻ đồ thị hàm số trên. b.Biện luận số nghiệm phương trình: . VD: Cho hàm số . a.Khảo sát, vẻ đồ thị hàm số trên. b.Biện luận số nghiệm phương trình: VD: Cho hàm số (C) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số trên. Từ (C) hãy vẽ đồ thị hàm số Biện luận số nghiệm phương trình: VI.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: A.Ba bài toán tiếp tuyến: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm PP: + Nếu cho x0 thì tìm y0=f(x0). Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm phương trình: . +Tính + Phương trình tiếp tuyến tại M là: Chú ý: +Trong phương trình đường thẳng (d): thì k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d. +Trong phương trình tiếp tuyến thì là hệ số góc của tiếp tuyến. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của của đồ thị biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước. PP1: (Tìm tọa độ tiếp điểm): +Giả là tiếp điểm.Tính +Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên: ,(1). +Giải (1) tìm x0,tính y0=f(x0).Viết phương trình tiếp tuyến. PP2: (Dùng đk tiếp xúc): +Phương trình tiếp tuyến T có dạng . +T tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: +Giải hệ trên tìm b.Viết phương trình đường thẳng T. Chú ý: Các trường hợp thường thấy hệ số góc k của tiếp tuyến T: + T tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc . +T song song với đường thẳng (d):y = ax + b + T vuông góc với đường thẳng (d):y = ax + b + T tạo với đường thẳng(d):y = ax + b 1 góc . Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến T của biết T đi qua điểm . PP1:(Tìm tọa độ tiếp điểm) + Gọi là tiếp điểm.Tính . +Khi đó phương trình tiếp tuyến T tại là: . +T qua nên: (*) +Giải (*), tìm x0. Từ đó viết phương trình đường thẳng T. PP2:( Dùng đk tiếp xúc): +Giả sử T có hệ số góc k,T qua . +T tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: (I) +Giải (I) tìm x,tìm k.Từ đó viết phương trình của T. B.Áp dụng: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến: VD: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a. tại b. tại c. tại d. tại điểm có hoành độ d. tại điểm có tung độ . VD: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a. tại các giao điểm của (C) với các trục tọa độ. b. tại điểm uốn của (C). c. tại các giao điểm của (C) với trục hoành. d. (C): tại các giao điểm của (C) với đường thẳng . VD: Tính diện tích tam giác chắn bởi hai trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A có hoành độ x = 2. VD: Viết phương trình tiếp tuyến T của đồ thị hàm số: a. biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 12. b. biết tiếp tuyến song song với đường thẳng c. biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d. biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . e. biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . f. biết tiếp tuyến tạo với chiếu dương của trục Ox một góc g. biết tiếp tuyến tạo với chiếu dương của trục Ox một góc h. biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;-4). i. biết tiếp tuyến đi qua điểm . Dạng 2: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị : PP: Giả sử .khi đó: +Phương trình đường thẳng T qua M và có hệ số góc k là:. +T tiếp xúc với khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: +Thay (2) vào (1) ta được phương trình: +Số tiếp tuyến của (C) kẻ từ M=số nghiệm x của (3) Dạng 2: Tìm giá trị tham số để tiếp tuyến đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện: VD: Dạng 2: