Toán 11 nâng cao - Chương I: Hàm số lượng giác

Chương I: Hàm số lượng giác § 1 Hàm số lượng giác cơ bản 1.Hàm số y = sinx và y = cosx Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo radddian bằng x được gọi là hàm số cos, kí hiệu là y = cosx. Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx có tập xác định là R có tập giá trị là [-1;1]. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π . Là hàm số lẻ; Đồng biến trên khoảng (; k є Z) Nghịch biến trên khoảng (; k є Z) Có đồ thị là một đường hình sin. có tập xác định là R có tập giá trị là [-1;1]. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π . Là hàm số chẵn; Đồng biến trên khoảng (-; k є Z) Nghịch biến trên khoảng (; k є Z). Có đồ thị là một đường hình sin. 2.Hàm số y = tanx và y = cotx. Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x є D1 (với D1 là tập xác định của hàm số y = tanx) với mỗi số thực tanx = gọi là hàm số tan, kí hiệu là y = tanx. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x є D2 (với D1 là tập xác định của hàm số y = cotx) với mỗi số thực cotx = gọi là hàm số cot, kí hiệu là y = cotx. Hàm số y = tanx Hàm số y = cotx R Có tập xác định là D1 = \{; k є Z}; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì π ; Đồng biến trên khoảng (; k є Z); Có đồ thị nhận đường thẳng x = là đường tiệm cận. R Có tập xác định là D1 = \{kπ ; k є Z}; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì π ; Nghịch biến trên khoảng {k π ; π + k π }, k є Z. Có đồ thị nhận đường x = k π là đường tiệm cận. § 2 Phương trình lượng giác cơ bản 1/. Phương trình sinx = m sinx = m (1) Nếu m > thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu m ≤ thì phương trình (1) có nghiệm x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π . Đặc biệt : sinx = 1 ó x = sinx = 0 ó x = kπ sinx = - 1 ó x = Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì sinx = m ó x = arcsin(m) + k2π hoặc x = π – arcsin(m) + k2π 2./Hàm số cosx = m cosx = m (2) Nếu m > thì phương trình vô nghiệm Nếu m ≤ thì phương trình có nghiệm x = ± α + k2π Đặc biệt : cosx = 1 ó x = k2π cosx = 0 ó x = cosx = -1 ó x = π + k2π Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì cosx = m óx = ±arcos(m) + k2π 3./ Hàm số tanx = m Điều kiện: x ≠ Phương trình có nghiệm x = α + kπ Đặc biệt: tanx = 1 ó x = tanx = 0 ó x = kπ tanx = - 1 ó x = - Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì tanx = arctan(m) + kπ. 4./ Hàm số cotx = m Điều kiện: x ≠ kπ Với mọi m phương trình cotx = m luôn có nghiệm x = α + kπ. Đặc biệt: cotx = 1 ó x = cotx = 0 ó x = cotx = -1 ó x = - Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì cotx = arccot(m) + kπ. --------------o0o---------------- § 3: Một số phương trình lượng giác đơn giản 1./ Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác. a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Dạng tổng quát: at + b = 0 (a ≠ 0). Với t là : sin, cos, tan, cot. b) Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác. Dạng tổng quát: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0). Với t là : sin, cos, tan, cot. 2./ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c ( a2 + b2 ≠ 0). (1) a, b, c є R. Phương pháp giải: Cách 1: Chia cả hai vế của phương trình cho Phương trình (1) có dạng : ó sin(x + α) = (phương trình lượng giác cơ bản) Cách 2: Chia cả hai vế cho a hoặc b +) Chia cả hai vế cho a Phương trình (1) trở thành: sinx + cosx = . Đặt tan φ = Phương trình (1) ó sin(x + φ) = . (phương trình lượng giác cơ bản) Cách 3: Đăt tan= t ó sinx = ; cosx = Phương trình (1) trở thành: a + b = c. (Phương trình bậc hai đối với ẩn t). 3./ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 ( 2) Trong đó: a, b, c є R ; a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0. Phương pháp giải: Cách 1: Trường hợp 1: xét cosx = 0 hoặc sinx = 0 có là nghiệm của phương trình (2) hay không? Trường hợp 2: Nếu sinx ≠ 0 hoặc cosx ≠ 0 thì chia cả hai vế của phương trình cho sin2x hoặc cos2x. +/ Nếu chia cho sin2x thì (2) ó a + bcotx + ccot2x = 0 (giải phương trình như giải phương trình bậc hai). +/ Nếu chia cho cos2x thì (2) ó atan2x + btanx + c = 0 (giải phương trình như giải phương trình bậc hai). Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc & nâng cung (2) ó ó (c – a)cos2x + bsin2x = - a – c (Phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sinx và cosx) Chú ý: +/ Nếu vế phải của phương trình (2) không bằng 0 thì asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d ó (a – d)sin2x + bsinxcosx + (c – d)cos2x = 0 Đến đây ta tiếp tục giải như phương trình trên. +/ Các phương trình lượng giác chỉ chứa sin và cos của cùng một cung và mỗi số hạng trong phương trình có tổng bậc là lẻ (thường là 1 hoặc 3) thì ta sử dụng phương pháp giải theo cách 1 của phương trình thuần nhất bậc hai. +/ Khi giải các phương trình lượng giác khác, thông thường ta hay sử dụng các phép biến đổi như: - Có tích biến đổi thành tổng - Có tổng biến đổi thành tích - Có bình phương hay mũ 4 thì dùng công thức hạ bậc Các cách thực hiện trên nhằm đưa phương trình lượng giác khác thành nhân tử hoặc là phương trình lượng giác cơ bản hoặc đơn giản.