Giáo án Toán lớp 11 - Tổ hợp và xác suất

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP: 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách (không trùng với hành động thứ nhất). khi đó có m + n cách hoàn thành công việc. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử được kí hiệu là Pn. Ta có: Pn = n(n – 1) 2.1 = n! 4. Chỉnh hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n ³ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Kí hiệu là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có: = n(n -1) (n – k + 1). Với quy ước 0! = 1, ta có: 5. Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử (n ³ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Kí hiệu là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: 6. Nhị thức Niu – tơn: B. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ: 7. Giải sử W là không gian mẫu, A và B là các biến cố. W\A = được gọi là biến cố đối của biến cố A. A È B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. A Ç B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A Ç B còn được viết là AB. Nếu AB = Æ, ta nói A và B cung khắc. C. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 8. Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = Từ đó: 0 £ P(A) £ 1, P(Æ) = 0, P(W)=1 P(A ÈB) = P(A) + P(B) nếu A Ç B = Æ. 9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B. A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B) A và B độc lập Þ A và độc lập. 10. Công thức cộng mở rộng: Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: P (A È B) = P(A) + P(B) – P(AB) D. BIẾN NGẪU NHIÊN: 11. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là [X = a] hay (X = a) Giải sử X có tập các giá trị là {x1, x2,,xn} Đặt: p1 = P[X = x1], , pn = P[X = xn]. Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. X x1 x2 xn P p1 p2 Pn 12. Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1). Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi công thức: E(X) = x1p1 + + xnpn (2) Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), là một số được cho bởi công thức: Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: s (X), là một số được cho bởi công thức: s (X) = Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X. Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax3 + bx2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng: a. Các hệ số tùy ý? b. Các hệ số đều khác nhau? Giải: a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ¹ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức. b. Có 4 cách chọn hệ số a (a¹ 0) - Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b - Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c. - Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d. Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức. Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu: a. Cả năm lá cờ đều được dùng? b. Ít nhất một lá cờ được dùng? Giải: a. Nếu dùng cả 5 lá cờ thì mỗi tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ. Vậy có 5!=120 tín hiệu được tạo ra. b.Mỗi tín hiệu tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả tín hiệu. Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo những thứ tự khác nhau. Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Giải Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn. Vậy không gian mẫu W gồm (phần tử) Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam” Để tính n(A) ta lí luận như nhau: - Chọn 3 nam từ 6 nam, có cách. - Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có cách. - Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách. Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = ..5! Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng. Do đó: . Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai. Giải: Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy không gian mẫu W gồm phần tử. Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. C là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thấy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Như vậy: A = B È C và n(A) = n(B) + n(C). Tính n(B) như sau: - Chọn thầy P, có 1 cách - Chọn 2 thầy từ 6 thầy còn lại, có cách - Chọn 2 cô từ 4 cô, có cách Theo quy tắc nhân, n(B) = 1.. = 90 Tương tự n(C) = 1. . = 80 Vậy n(A) = 80 + 90 = 170 và P(A) = Bài 5: Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho: a. Hai bạn H và K đứng liền nhau; b. hai bạn H và K không đứng liền nhau. Giải: Không gian mẫu W gồm các hoán vị của 6 bạn. Do đó: n(W) = 6!. Do việc xếp là ngẫu nhiên W gồm các kết quả đồng khả năng. a. Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”, B là biến cố “H đứng ngay trước K” C là biến cố “K đứng ngay trước H” Rõ ràng B và C xung khắc và A = B È C. * Tính n(B): Xếp H và 4 bạn khác thành hàng, có 5! Cách. Trong mỗi cách xếp như vậy, xếp bạn K ngay sau H, có 1 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có: n(B) = 5! x 1 = 5! * Tương tự: n(C) = 5! Do đó P(A) = P(B) + P(C) = b. Ta thấy là biến cố: “H và K không đứng liền nhau”. Vậy: Bài 6: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ. Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người. Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ. Giải: Gọi: A là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam hoặc toàn nữ”, B là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”, C là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ”. Ta có: BC = Æ, A = B È C. Suy ra: P(A) = P(B) + P(C) Chọn 2 người từ tổ I, có cách. Chọn 2 người từ tổ II, có cách. Từ đó không gian mẫu gồm: .= 5148 (phần tử). n(B) = = 420 n(C) = = 126 Vậy P(A) = Bài 7: Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần. a. Xác định không gian mẫu b. Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X có thể nhận. c. Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó. Lập bảng phân phối xác suất của X. Giải: a. Trong phép thử gieo đồng tiền 3 lần, không gian mẫu gồm 23 = 8 phần tử. W = {SSS, SSN, SNS, NSS,SNN, NSN, NNS, NNN} Trong đó chẳng hạn NSN là kết quả đồng tiền lần đầu ngửa, lần thứ hai sấp, lần thứ ba ngửa. b. X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3. Chẳng hạn: “X nhận giá trị 1: khi xảy ra một trong các kết quả SNN, NSN, NNS, nghĩa là: [X = 1] = {SNN, NSN, NNS} c. Vì [X = 0] = {NNN} nên P[X = 0] = Tương tự [X = 1] = {NNS, SNN, NSN} nên P[X = 1] = [X = 2] = {SSN, SNS, NSS} nên P[X = 2] = [X = 3] = {SSS } nên P[X = 3] = Từ đó ta có bảng phân phối sau: X 0 1 2 3 P Bài 8: Từ một hộp có 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi. Gọi Y là số bi xanh trong 4 bi đã chọn. a. Lập bảng phân phối xác suất của Y. b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có ít nhất 1 bi xanh b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có nhiều nhất 2 bi đỏ, d. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y. Giải: a. Y có tập giá trị là 0, 1, 2, 3 Ta thấy P[Y = 0] = Tổng quát ta có: P[Y = k] = , k = 0, 1, 2, 3 Từ đó ta có bảng phân phối sau: Y 0 1 2 3 P b. Kí hiệu [Y ³ a] là biến cố “Y nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng a”. Ta tính P[Y ³ 1] Vì [Y ³ 1] là biến cố đối của biến cố [Y = 0] nên: P[Y ³ 1] = 1 – P [Y = 0] = 1 - c. Vì số bi đỏ được lấy là 4 – Y và 4 – Y £ 2 Û Y ³ 2 nên P[Y ³ 2] = P[Y = 2] + P[Y = 3] = d. Theo định nghĩa, ta có: III. BÀI TẬP: 1. Phân phối 4 quả cầu khác nhau vào 3 cái hộp khác nhau (có thể có hộp không chứa quả cầu nào sau khi xếp). Hỏi có bao nhiêu cách phân phối? 2. Để tổ chức một trò chơi giữa hai lớp A và B, mỗi lớp cử 5 bạn tham gia. Người ta đặt hai dãy 5 ghế hai bên một chiếc bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho: a. Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau. b. Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau? 3. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia. 4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 nam, 4 nữ vào ngồi quanh một bàn tròn sao cho: a. Sự sắp xếp là tùy ý? b. Không có 2 nữ nào ngồi cạnh nhau? 5. a. Một tổ có 6 nam, 5 nữ. Có bao nhiêu cách phân công 4 bạn làm trực nhật sao cho trong đó phải có đúng k nam (k = 0, 1, 2, 3, 4)? Từ đó chứng minh rằng: b. Chứng minh đẳng thức: Ở đây n, m ³ 1 và r £ n, r £ m. 6. Có bao nhiêu cách xếp thành hàng ngang 4 quyển Toán khác nhau, 3 quyển Lí khác nhau và 2 quyển Hóa khác nhau lên giá sách nếu: a. Các quyển được sắp tùy ý? b. Các quyển cùng môn phải cạnh nhau? c. Các quyển toán cạnh nhau, còn các quyển khác xếp tùy ý? 7. Một tổ gồm 6 nam, 6 nữ được xếp ngẫu nhiên vào 6 bàn, mỗi bàn 2 bạn. Tính xác suất sao cho: a. Không bàn nào có 1 nam và 1 nữ b. Có đúng 4 bàn được xếp 1 nam và 1 nữ. 8. Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau. Một du khác xuất phát từ A muốn đi đến B. a. Có bao nhiêu cách đi nhanh nhất (i) Từ A đến B? (ii) Từ A qua C, đến B? Dựa vào ý tưởng giải câu a, hãy chứng minh: với m, n ³ 1 Hình 2.3 b. Giải sử ở tại mỗi đỉnh của hình vuông du khách chọn ngẫu nhiên một trong hai hướng lên trên và sang phải để đi tiếp. Tính xác suất để du khách xuất phát từ A có thể đến được C. 9. Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển: a. b. 10. Trong khai triển của (x + a)3(x – b)6 hệ số của x7 là -9 và không có số hạng chứa x8. Tìm a và b 11. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất, một con đỏ và một con xanh. Kí hiệu A là biến cố: “Tổng số chấm trên hai con là 6”, B là biến cố: “Con đỏ xuất hiện mặt 4 chấm” và C là biên cố: “Tổng số chấm trên hai con là 7”. Chứng tỏ rằng: a. A và B không độc lập b. B và C độc lập 12. Bốn quả cầu được rút ngẫu nhiên (cùng một lúc) từ một cái hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng. Giả sử ta sẽ nhận được 2 cái kẹo cho mỗi quả đen được rút ra và mất 1 kẹo cho mỗi quả trắng được rút. Kí hiệu X là số kẹo nhận được. a. Lập bảng phân phối của X b. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X. 13. Con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần. Kí hiệu X là số nhỏ nhất trong 2 số chấm xuất hiện trên con xúc xắc. a. Lập bảng phân phối xác suất của X b. Tính E (X), V(X) 14. Trên mỗi tờ vé số, người ta in 6 ô, mỗi ô chứa một trong các số khác nhau từ 1 tới 49. Khi mở thưởng người ta rút ngẫu nhiên cùng một lúc 6 quả cầu từ 49 quả cầu được đánh số từ 1 đến 49. Nếu vé của bạn có k số trúng thì bạn được xk đồng. Giả sử bạn mua 1 vé số. Tính số tiền thưởng trung bình mà bạn nhận được nếu giả thiết x0 = 0, x1 = 100.000đ, x2 = 500.000đ; x3 = 1.000.000đ, x4 = 5.000.000đ; x5=10.000.000đ; x6 = 100.000.000đ.