Giáo án Tự chọn 8 Chủ đề 2 Phân tích đa thức thành nhân tử

Chủ đề 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (1) ! 1. Định nghĩa: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đú thành một tớch của những đa thức. VD: a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2y +5 - 10y = [()2 – 2 y ] + (5 - 10y) = (- 2y) + 5(- 2y) = (- 2y)( + 5) 2. Cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử Phương pháp 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Lí thuyết: Nếu tất cả cỏc hạng tử của đa thức cú một nhõn tử chung thỡ đa thức đú được biểu diễn thành một tớch của nhõn tử chung với một đa thức khỏc. a) Phương pháp đặt nhân tử chung được dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A( B + C + D) b) Các bước tiến hành: -Bước 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. -Bước 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung. VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 b) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ị B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) b)D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) ị D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by). VD2: Tỡm x , biết: Vậy giỏ trị cần tỡm là: x = 3, x= BÀI TẬP: 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2x2 + x b) 16x2(x - y) -10y(y - x) c) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 d ) 2(x + 3) – x(x + 3) 2) Tỡm x, biết: VD2: Giải phương trỡnh: x +x - 3 = 0 Giải: Ta cú: x +x -3 = 0 (1+) x -3 = 0 (1+) x = 3 x= Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm là : S = BÀI TẬP: Giải phương trỡnh: a) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1) b) 5x(x - 3) + 10(x - 3) = 0 Phương phỏp 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Lí thuyết: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đỏng nhớ nào đú thỡ cú thể dựng hằng đẳng thức đú để biểu diễn đa thức này thành tớch cỏc đa thức. a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức được dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B).(A - B) (A+ B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6. A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1). 7. A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1). (A + B+ C)2= A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = x2 - 4 b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 Giải: a) A = x2 - 4 A = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 B = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5). C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 C = [( x + y) - 1] 2 = ( x + y - 1)2 VD2: Giải phương trỡnh: Giải: Ta cú: Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm là: S={} BÀI TẬP: 1. Giải phương trỡnh: a) (x2 + 2x + 1) - 9 = 0 b) x3 - 1 = x(x - 1) 2. Tớnh: Phương phỏp 3: NHểM CÁC HẠNG TỬ Lí thuyết: Nhúm một số hạng tử của một đa thức một cỏch thớch hợp để cú thể đặt được nhõn tử chung hoặc dựng hằng đẳng thức đỏng nhớ. Phương pháp này thường được dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay được hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. Bước 2: Nhóm để áp dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = xy - xz - y + z b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 d) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 Giải: a) A = xy - xz - y + z A = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1). 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) BÀI TẬP: 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) P = 5x2 - 5xy - 10x + 10y. b) B = (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab. 2. Phõn tớch thành nhõn tử (với a, b, x, y là cỏc số khụng õm) Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử 1. Lí thuyết *) Lí thuyết chung: Phương pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: *) Các trường hợp: a, Trường hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ẻ Z; a, b, c ạ 0) Tính : = b2 - 4ac: - Nếu = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc. - Nếu = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất - Nếu = b2 - 4ac > 0 +) = b2 - 4ac = k2 ( k ẻ Q) đa thức phân tích được trong trường Q( số hữu tỉ) . +) = b2 - 4ac ạ k2 đa thức phân tích được trong trường số thực R. Nhaồm tỡm 2 soỏ x1, x2 sao cho : x1. x2 = vaứ x1+ x2 = Khi đú: P(X) == ax2 + x1x + x2x + c = (x- x1)(x- x2) **Hoặc nhầm nghiệm: - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 = b, Trường hợp đa thức từ bậc 3 trở lên: - Nhẩm nghiệm của đa thức: +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ị đa thức có nghiệm bằng 1. +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ị đa thức có nghiệm bằng - 1. - Lưu ý: Định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng thì p là  ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất". - Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức. 2. Vớ dụ c) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) BÀI TẬP: x2 - 7xy + 12y2 f) x3 – 7x – 6 VD2: Thực hiện phộp chia đa thức sau đõy bằng cỏch phõn tớch đa thức bị chia thành nhõn tử: (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) Giải:Vỡ x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nờn (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) BÀI TẬP: 1. Tớnh: (x2 - 5x + 6):(x - 3) 2) Rỳt gọn cỏc phõn thức sau: Phương phỏp thờm, bớt cựng một hạng tử: VD1: a) 4x4 + 81= 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2= (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2= (2x2 + 9)2- (6x)2= (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - = VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2. Giải : Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y)= (5x + y)(x + y). Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 rồi bớt 4x2 ta có : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2= (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y). VD3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - 4 Giải: Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4 = = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = = (x - 1)(x + 2)2 Cách 3: VD4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1= (x7 - x) + (x2 + x + 1)= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)= x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1]= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3m+2 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1 BÀI TẬP: Tớnh: a4 + 16 Phương pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) 1. Lí thuyết: - Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thương của phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a f(a) = 0. Do đú, ta cú thể dung phương phỏp nhẩm nghiệm: Thay x = a nào đú, nếu f(a) = 0 thỡ x = a là một nghiệm. 2. Vớ dụ VD 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4. Giải: Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ước của 4. Ư(4) = Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4). Mà g(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 có x = 2 là nghiệm . Do vậy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2). Với đa thức : x2 – x + 2 có D = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không phân tích được trên R. Do vậy: x4 - 2x3 + x2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2). VD2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 Giải: Nhẩm được nghiệm x = Nờn A = (3x - 1) ( x2 + x + 1) VUI TOÁN HỌC “XÂY TƯỜNG” Em hóy “ xõy bức tường” ở hỡnh bờn dưới bằng cỏch điền cỏc phõn số thớch hợp vào cỏc “viờn gạch” theo quy tắc sau: a = b + c