Giáo án Tự chọn Toán 8 - Chủ đề 1: Tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học

phần hình học Chủ đề 1 tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học Soạn: Giảng: 1. Mục tiêu: Sau khi học xong chủ đề học sinh: - Biết phân tích từ kết luận ngược lên ( Từ gt ) để tìm tòi lời giải cho bài toán, theo nhiều cách chứng minh khác nhau. - Hiểu được khi nào cần vẽ thêm đường phụ cho một số bài toán. - Có kỹ năng trình bày lời giải cho bài toán chứng minh hình học. 2. Phân phối thời gian: 04 tiết - 01 tiết lý thuyết - 02 tiết bài tập. - 01 tiết kiểm tra. 4. Các nội dung chính của chủ đề: - Hệ thống hoá các phương pháp chứng minh một số quan hệ hình học ( chứng minh 2 góc băng nhau, 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 đường thẳng song song hoặc vuông góc với nhau, 3 điểm thẳng hàng...) - Giới thiệu phương pháp phân tích đi lên để tìm lời giải của bài toán. - Giới thiệu phương pháp tổng hợp để trình bày lời giải bài toán. + Tiết 1: Phương pháp chung + Tiết 2+3: Sử dụng chứng minh tam giác bằng nhau để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. + Tiết 4: Kiểm tra Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Tiết 1 HS nghe hiểu và ghi bài * GV Đưa ra phương pháp Thực hiện bốn bước trong thực hành giải toán: Để chứng tỏ A B, ta chứng minh rằng: A A1 A2 ... B. Là các quan hệ kéo theo nói trên thường được trình bày dưới dạng: A1 A2 (lí do). + GV hỏi: Trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán người ta thường khai thác bài toán bắt đầu từ đâu? + GV hỏi: ngược lại với cách khai thác từ giả thiết (gt) ta có thể khai thác bài toán bằng cách nào? + GV chốt lại: 1. Cho tam giác ABC vuông tại A và góc = 600. Dựng phân giác BE. Gọi Q, I, K lần lượt là trung điểm của BE, BC, EC. a- Chứng minh AQIK là hình thang cân. b- Tính các góc của hình thang AQIK. + GV: Cho HS lên vẽ hình và ghi (gt ), (kl) bài toán B Q I A C E K + GV: Cho HS quan sát hình vẽ và dự đoán phương hướng (theo hướng phân tích đi lên theo sơ đồ bên) và chốt lại. -HS trả lời theo hướng dẫn của GV bằng pp phân tích đi lên: AQIK là hình thang cân QI // AK ; = QI là đường TB ; = BEC = BI = IC IK // BE QB = QE GT Tứ giác MNPQ là hình bình hành MP NQ tại trung điểm mỗi đường. * GV: cho HS làm ví dụ 2 2. Cho tứ giác ABCD; E là trung điểm của AB; F là trung điểm của CD. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh tứ giác MNPQ là Hình bình hành. + GV: Cho HS lên vẽ hình và ghi (gt ), (kl) bài toán * Phần củng cố GV chốt lại cách chứng minh bằng pp đi lên. + HS chép bài tập về nhà ( Tự luyện ) Tiết 2 Giảng: 13-9-2006 - HS trả lời theo hướng dẫn của GV( HS phát hiện và nêu các cách để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau) - HS ghi nhanh bài (phần in nghiêng nghe tham khảo) Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA còn R, S, T lần lượt là trung đểm của các đoạn OA, OB, OC. a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật. b/ Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. c/ Với điều kiện nào của tam giác ABC thì MR=RD = MS. -HS Đọc đề bài, suy nghĩ và vẽ hình, ghi (gt) (kl) - HS trả lời: Để chứng minh MPTS là hình chữ nhật MPTS là hbh và có 1 góc = 900 MP // = ST ; MP MS MP, ST là đường MP // BC trung bình ; MS // OA OA BC (gt) Tiết 3 Giảng: 20-9-2006 HS trả lời câu hỏi của GV: các cách để chứng minh hai góc bằng nhau -HS trả lời: dựa vào tam giác băng nhau, tam giác đông dạng. Sử dụng tính chất các hình. - HS ghi nhanh - HS nghe hiểu để tham khảo (mở rộng) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. a/ Chứng minh AE.AB = AD.AC b/ Chứng minh ADE = ABC và ADE = ACB c/ Biết góc A = 600, SABC = 120 cm2, tính SADE. - HS lên bảng vẽ hình - HS trả lời theo dẫn dắt của GV: + Muốn có đẳng thức ta suy từ đâu? (tỉ lệ thức) + muốn có tỉ lệ thức cần có tam giác đồng dạng hoặc đoạn thẳng tỉ lệ... + Ta đã có hai tam giác đồng dạng vì... - HS từ hai tam giác đồng dạng ta có các góc bằng nhau. - HS chép bài tập tự luyện (I) Phương pháp chung: 1. Tìm hiểu đề toán - Đọc kỹ đề - Phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán xem xét các yếu tố chính nhiều lần, ở nhiều mặt. 2. Xây dựng chương trình giải ( định hướng) - Phân tích bài tóan thành những bài toán đơn giản hơn. - Sử dụng các bài toán đã giải. - Biến đổi các bài toán. - Mò mẫm dự đoán bằng cách thử một số trường hợp có thể xảy ra. 3. Thực hiện chương trình giải - Trình bày rõ ràng, chi tiết lời giải phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa. 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Hoàn thiện cách giải, củng cố phát triển năng lực giải toán. (II) Phương pháp tổng hợp 1. Khai thấc giả thiết của bài toán: Từ A A1 từ A1 A2 ... cuối cùng suy ra Am . 2. Phân tích đi lên từ kết luận (kl) của bài toán: để chứng minh B, ta có thể chứng minh B1, để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,..., cuối cùng ta có thể chứng minh Bn. Nếu ta chứng minh được Am Bn thì bài toán A B được chứng minh với sơ đồ sau: A A1 A2 ... Am Bn ... B2 B1 B. (III) Ví dụ: 1. Ví dụ 1: BQ = QE, BI = IC GT EK = KC Góc = 900 Góc = 600 BE là phân giác của góc KL a/ AQIK là hình thang cân b/ Tính các góc của hình thang AQIK Bài giải a- Có Q là trung điểm của BE (gt) I là trung điểm của BC (gt) QI là đường trung bình của tam giác BEC QI//BC hay QI//AK(Vì……..) AQIK là hình thang (1) Xét tam giác ABE có = 900 (gt) BQ = QE = (gt) AQ = QE = QAE là tam giác cân = (2) Lại có i & k lần lượt là trung điểm của BC & EC (gt) IK là đường trung bình của tam giác CBE IK//BE góc IKA = Góc QEA (3) Từ (1) & (3) Ta có góc = (4) Từ (1) & (4) ta có AQIK là hình thang cân b- Theo (gt) góc ABC = 600 và BE là phân giác của góc ABC nên góc ABE = 300. Trong tam giác vuông ABE có góc ABE = 300 suy ra góc QEA = 600 (3) Từ (1) (2) (3) suy ra QAK = AQI = 600. Do AQIK là hình thang nên: + = 1800 (hai góc kề cạnh bên bù nhau do đó = = 1800 - = 1800 - 600 = 1200. 2. Ví dụ 2: A D E F B C Hướng dẫn giải: QF là đường trung bình của CED nên QF // EC và QF = EC, Suy ra QF // EN và QF = EN. Tứ giác NEQF là hình bình hành, do đó NQ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (1). Chứng minh tương tự, tứ giác PEMF là hình bình hành, do đó MF và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2). Từ (1) và (2) suy ra MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành. * Bài tập về nhà: 1. Cho hình bình hành ABCD và một đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi A', B', C', D' lần lượt là hình chiếu của các điểm A,B,C,D lên đường thẳng d. Chưng minh AA' + CC' = BB' + DD'. 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của các tia CB và DA lấy tương ứng hai điểm E và F sao cho CE = DF = CD. Từ F kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại H. Chứng minh tam giác CHB là tam giác vuông cân. Các cách thường dùng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. a/ Sử dụng yếu tố độ dài đoạn thẳng: - Hai đoạn thẳng có cùng số đo. - Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng hay hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một. b/ Sử dụng đinh nghĩa các hình: - Hai cạnh bên của tam giác cân, các cạnh của tam giác đều. - Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, trung tuyến của tam giác, đường trung trực của đoạn thẳng. - Bán kính của đường tròn. c/ Sử dụng tính chất các hình: - Tính chất tia phân giác của góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng. - Định lý thuận về đường trung bình của tam giác, của hình thang. - Hai cạnh bên của hình thang cân, hai cạnh đối của hình bình hành, các cạnh của hình thoi, hình vuông. - Hai đường chéo của hình thang cân, hình chữ nhật. - Tính chất đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật. - Các đoạn thẳng đối xứng nhau qua một trục, qua một tâm. - Tính chất đường kính với một dây. - Hai dây cách đều tâm của một đường tròn. - Hai khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng nhau trong một đường tròn. - Hai đoạn tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn. - Tính chất của đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau. - Hai dây trương hai cung bằng nhau của một đường tròn. *. Ví dụ: A R M P o S T B N C * Hướng dẫn giải a/ Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta có: MP // ST và MP = ST, do đó tứ giác MPTS là hình bình hành. Do MP // BC và MS // OA mà OA BC nên MP MS hay SMP = 900. Hình bình hành MPTS có một góc vuông nên là hình chữ nhật. b/ Chứng minh tương tự tứ giác MRTN là hình chữ nhật. Hai hình chữ nhật MPTS và MRTN có chung đường chéo MT nên ba đoạn MT, SP, RN bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. c/ Dễ thấy MS = OA, RM = OB, RP = OC. Để MS = MR = RP thì phải có OA = OB = OC, khi đó O là giao điểm ba đường cao, ba đường trung trực của tam giác ABC nên tam giác ABC là tam giác đều. Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì ta dễ dàng chứng minh được MS = MR = RP. Các cách thường dùng để chứng minh hai góc bằng nhau. a/ Sử dụng các yếu tố số đo của góc. - Hai góc có cùng số đo. - Hai góc cùng bằng góc thứ ba. - Hai góc cùng phụ hoặc cùng bù với một góc thứ ba. b/ Sử dụng tam giác bằng nhau hoặc tam giác đồng dạng: - Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng. c/ Sử dụng định nghĩa các hình: - Định nghĩa tia phân giác của góc. - Hai góc kề một đáy của hình thang cân. d/ Sử dụng tính chất các hình: - Hai góc đối đỉnh. - Hai góc so le trong, đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song cắt một cát tuyến. - Hai góc có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc (cùng nhọn hoặc cùng tù) - Hai góc ở đáy của tam gíac cân, các góc của tam giác đều. Hai góc đối của hình bình hành, hình thoi. - Tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông. - Hai góc đối xứng nhau qua một trục, qua một tâm. - Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn. - Hai góc nội tiếp hoặc góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau. * Ví dụ: GT ABC, O là trực tâm MA = MB; BN = NC PA = PC; RA = RO SO = SB; TO = TC KL a- MPTS là hcn. b- RN= MT = SP c- Tìm đk của ABC để MR = RD = MS + Hướng dẫn giải: a/ ADB và ADC có: = = 900 (gt) chung Do đó ADB ~ AEC (gg) Suy ra = Do đó AE.AB = AD.AC b/ Do = nên = ADE và ABC có: Góc A là góc chung = (chứng minh trên) Do đó ADE ~ ABC (c.g.c ), suy ra ADE = ABC và AED = ACE (hai góc tương ứng) c/ Do ADE ~ ABC (theo câu b), nên = 2 , suy ra S(ADE) = 2. S (ABC) (*) Do = 600 (gt) , vì thế trong tam giác vuông ADB, ta có = 300 suy ra AD = AB hay = . Lại có S(ABC) = 120 cm2, vì vậy từ (*) ta được: S(ADE) = 2. 120 = 30 (cm2) Vậy diện tích của tam giác ADE là 30 cm2. * Bài tập: Cho hình chữ nhật ABCD. Hãy xác định điểm E trên AB sao cho AED = DEC. Tiết 4 Kiểm tra Ngày soạn: 20-9-2006 Ngày giảng: 27-9-2006 Đề bài Bài 1: a- Cho ABC và một đường thẳng d tuỳ ý. Vẽ A' B' C' đối xứng với ABC qua đường thẳng d. b- Phát biểu định nghĩa hình thang cân. Nêu các dấu hiệu nhận biết hình thang cân. Bài 2: Điền dấu " X " vào ô trống. câu Nội dung Đúng sai 1 Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thang cân 2 Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật 3 Tam giác đều là hình có tâm đối xứng Bài 3: Cho ABC các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi M là trung điểm của GB, N là trung điểm của GC. a- Chứng minh rằng tứ giác DEMN là hình bình hành. b- ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEMN là hình chữ nhật ? c- Nêú các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEMN là hình gì ? Bài 4: Cho ABC và O ở trong tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Các điểm A', B', C' lần lượt là điểm đối xứng của O qua P, N, M. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy. Bài 5: Cho nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA còn R, S, T, lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. a) Chứng minh tứ giác MPTS là HCN. b) Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. c) Với điều kiện nào của ABC thì MR = RD = MS. Tiết 5+6+7+8+9 Chủ đề 2: phân tích đa thức thành nhân tử Môn: Đại số 8 1, Mục tiêu: - HS nắm được cấu trúc của các p2 PTĐTNT - Có kỹ năng đặt nhân tử chung, nhóm các hạng tử, dùng HĐT trong việc PTĐTTNT. - Biết tách 1 hạng tử và thêm bớt 1 hạng tử, biến đổi trong các bài toán. - Biết sử dụng 1 số p2 khác như: Đặt ẩn phụ, thêm bớt tìm nghiệm của đa thức, hệ số bất định và giải bài tập. 2. Tài liệu hỗ trợ: - Để học tốt đại số 8. - Bồi dưỡng HS toán 8. - Kiến thức cơ bản và nâng cao. - Sổ tay toán THCS cơ bản và nâng cao. 3. Nội dung: * Thời lượng 5 tiết: Tiết 5 Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản - HS nhắc lại từng p2 - Sử dụng các p2 sao cho hợp lý làm xuất hiện NTC, HĐT….. - Kết hợp nhiều p2 trong 1 bước giải - HS nhắc lại p2 C2: áp dụng p2 nhóm - C3 dùng p2 tách + áp dụng: PTĐTTNT a) a3 - 5a2 - 4a + 20 - HS trình bày cách khác b) x3 + 5x2 + x + 5 Có thể tách 1 hạng tử ra 2 hay nhiều hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. + áp dụng a) x2 - 4x + 3 b) x2 - 5x + 6 c) Cho biết trong các cách biến đổi sau cách nào là PTĐTTNT: 1) 2x2 + 5x - 3 = x(2x + 5) - 3 2) = x(2x + 5 - ) 3) = (2x - 1)(x + 3) 4) = 2(x -)(x + 3) 4. Củng cố: Làm các bài tập sau: PTĐTTNT a) x(x + 1) (x + 2)(x + 3) + 1 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) c) x3 + y3 - 3xyz 5. HDVN: - Xem lại bài giải - Tìm hiểu thêm p2 : Đặt ẩn phụ và tìm nghiệm của đa thức Tiết 6 - HS phát biểu cách tìm ẩn phụ GV: Em nào có thể nêu cách làm theo p2 đặt ẩn phụ - HS nhận xét 3. Củng cố: + Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A = n3 - 4n2 + 4n - 1 là số nguyên tố - HS lên bảng dưới lớp cùng làm 4. HDVN: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức B = n3 - 6n2 + 9n - 2 là 1 số nguyên tố Tiết 7 (tiếp) Bài mới GV: Dựa vào đâu ta có thể biết được nghiệm của đa thức? a) A = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 - GV: Đa thức trên có bậc mấy? Nếu viết dưới dạng tích thì tích có bậc mấy? - HS nghe hiểu. A = a3 - a, B = a3 + 5a , C = a3 + 11a , D = a3 - 19a Chia hết cho 6 ( aN) 3. Củng cố: Chứng minh rằng các số sau đây: A = a3 - a B = a3 + 5a C = a3 + 11a D = a3 - 19 a Chia hết cho 6 4. HDVN: Chứng minh rằng các đa thức sau không phân tích được thành nhân tử: a) 4 x2 + 4x + 1 b) x4 + 3 x2y2 y4 Tiết 8 3. Bài mới - GV: Ta đã chứng minh được: Nếu có đẳng thức A = B thì đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị gán cho các biến tương ứng - HS trả lời - HS nghe và ghi bài - Xác định các hệ số a, b để phép chia f(x) cho g(x) với f(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 g(x) = x2 - x+ b Là phép chia hết 1) Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn xy + 1 = x + y a) x2 - 7x + 12 b) 4x2 - 3x - 1 c) x3 - 7x - 6 d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3) e) x(y2 - z2) + y(z2 - y2) 4. Củng cố: Nhắc lại các p2 PTĐTTNT 5. HDVN: 1) Tìm các giá trị nguyên của x, y thỏa mãn xy = x + y I. Các p2 PTĐTTNT đã học. - P2 đặt nhân tử chung. - P2 nhóm các hạng tử - P2 dùng HĐT - P2 phối hợp nhiều p2. II. Lý thuyết và bài tập áp dụng 1) Phối hợp nhiều p2 + Ví dụ: PTĐTTNT (x + y + z) - x3 - y3 - z3 = [(x + y + z)3- x3] - (y3 + z3) = (x + y + z)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2] -(x + z)(y2 - yz + z2) = (y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 + xy + xz + x2 - y2 + yz - z2) = (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3xz) = 3(y + z)[(x + y) + z(x + y)] = 3(y + z)(x + y)(x + z) a) a3 - 5a2 - 4a + 20 C1 = (a3 - 5a2) - (4a - 20) = a2(a - 5) - 4(a - 5)=(a - 5)(a2-4) =(a - 5)(a - 2)(a + 2) C2 = (a3 - 4a) -(5a2 - 20) = (a(a2 - 4) - 5(a2 - 4) = (a2 - 4)(a - 5) = (a + 2)(a - 2) (a - 5) C3 = (a3 - 2a2) - (3a2 - 6a) - (10a - 20) = a2(a - 2) - 3a(a - 2) - 10(a - 2) = (a - 2)(a2 - 3a - 10)= (a - 2 )(a2 + 2a)-(5a + 10) = (a - 2)[a(a + 2) - 5(a + 2)] = (a - 2)(a + 2)(a - 5) b) x3 + 5x2 + x + 5 = (x3 + 5x2 ) + (x + 5) = x2(x + 5) + (x + 5) = (x + 5) (x2 + 1) 2. Phương pháp tách và thêm bớt + Ví dụ: a) x2 - 6x + 8 = (x2 - 2x) -(4x - 8) = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x- 2)(x - 4) b) x4 + 64 = (x4 + 16x2 + 64) - 16x2 = (x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2 - 4x + 8)(x2 + 4x + 8) a) x2 - 4x + 3 = x2 - x - 3x + 3 = (x2 - x) - (3x - 3) = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1) (x - 3) b) x2 - 5x + 6 = x2 - 2x - 3x + 6 = (x2 - 2x) - (3x - 6) = x(x - 2) - 3(x - 2 ) = (x - 2)(x - 3) c) Cho biết trong các cách biến đổi sau cách nào là PTĐTTNT: 1) &2) không phải vì 1) chưa phải tích 2) không phải là đa thức 3) & 4) đúng a) x(x + 1) (x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1) 2 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2) = (x - y)(y - z)(z - x) c) x3 + y3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz) 3. Bài mới 3) P2 đặt ẩn phụ Ví dụ: A = (x2 + 3x + 4)2 + 2x(x2 + 3x + 4) + x2 đặt y = x2 + 3x + 4 Khi đó: A = y2 + 2xy + x2 = (x + y)2 Thay vào ta có A = (x + x 2 + 3x + 4 )2 = (x2 + 4x + 4)2 = [(x + 2)2]2 = (x + 2 )4 4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: Ta đã chứng minh được: Đa thức 1 biến f(x) có nghiệm x = a Thì khi đó : f(x) = (x - a)g(x) g(x) có bậc thấp hơn f(x) + Ví dụ: f(x) = x3 + 3x - 4 Vì f(1) = 13 + 3.1 - 4 = 0 Nên ta có: f(x) = (x - 1) (x2 + 4x + 4) = (x - 1) (x+ 2)2 A = n3 - 4n2 + 4n - 1 là số nguyên tố A = (n - 1)- ( 4n2 - 4n ) = (n - 1)(n2 - 3n + 1) Nếu n = 0 , 1 , 2 thì A lần lượt tương ứng là -1, 0, -1 Nếu n = 3 A = 2 là số nguyên tố Nếu n 4 thì (n - 1) 3 và (n2 - 3n + 1) = n(n - 3) + 1 5 A = (n - 1)(n2 - 4n + 1) là hợp số Vậy chỉ có duy nhất n = 3 A là số nguyên tố 5. P2 hệ số bất định Nếu trên 1 tập hợp số nào đó mà 2 đa thức f(x) & g(x) đồng nhất với nhau tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) & g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau f(x) = anxn + an-1 + ………+a1x + a0 g(x) = bnxn + bn-1 + ………+b1x + b0 f(x) = g(x) an = bn , an-1 = bn-1…….. a1 = b1 , a0 = b0 + Ví dụ: a) A = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 - Đa thức có bậc 3 vậy khi PTĐTTNT thì được viết dưới dạng tích của đa thức có bậc 2 & bậc 1 : (ax + b)(cx2 + dx + m) Vậy: A = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (ax + b)(cx2 + dx + m) = acx3 +( ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm ac = 2 a = 2 ad + bc = -5 b = -1 am + bd = 8 c = 1 bm = -3 d = -2; m = 3 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = ( 2x- 1 )(x2 - 2x + 3) b) x2 + 3x + 2 = (x + a)(x + b) x2 + 3x + 2 = x2 (a + b) x + ab a + b = 3 ab = 2 a = 1, b = 2 hoặc a = 2 , b = 1 Vậy x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1) Bài tập A = a3 - a, B = a3 + 5a , C = a3 + 11a , D = a3 - 19a Chia hết cho 6 ( aN) a) Ta có: A = a3 - a = a(a2 - 1) = ( a - 1)(a + 1)a a - 1, a + 1, a là 3 số tự nhiên liên tiếp nên phải có 1 số chẵn chia hết cho 2 & 1 số chia hết cho 3 Vậy a3 - a chia hết cho 6 b) B = a3 + 5a = (a3 + 6a) - a = (a3 - a) + 6a a3 - a 6 ( CMT) 6a 6 ĐPCM c) C = a3 + 11a = ( a3 + 5a) + 6a mà a3 + 5a 6 ( CMT) 6a 6 ĐPCM d) B = a3 - 19a = (a3 - a) - 18a Mà a3 - a 6 ( CMT) 18a 6 a3 - 19a 6 Chứng minh rằng các số sau đây: A = a3 - a B = a3 + 5a C = a3 + 11a D = a3 - 19 a Chia hết cho 6 6) Phương pháp xét giá trị riêng Nếu có đẳng thức A = B thì đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị gán cho các biến tương ứng VD: A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = [(x + y + z)3 - x3] - (y3 + z3) = (x + y + z - x)[(x+ y + z)2 + x(x+ y + z) + x2 - (y + z)(y2 - yz + z2 = (y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz+ x2 + xy + xz + x2 - y2 + yx - z2) A/(y + z) Với ĐK y -z Vai trò của x, y ,z là như nhau trong đa thức A nên phân tích tương tự ta cũng có A/(x+ z) Với ĐK x -z Và A/(x+ y) Với ĐK x -y A = k(x+ y) (x+ z)(y + z) = (x + y + z)3(1 + 1) = (1 + 1 + 1)3 - 13 - 13 - 13 8k = 24 k = 3 Vậy (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x+ y) (x+ z)(y + z) - Xác định các hệ số a, b để phép chia f(x) cho g(x) với f(x) = 6x4 - 7x3 + ax2 + 3x + 2 g(x) = x2 - x+ b Là phép chia hết + HD : - Thực hiện phép chia - Tìm số dư R - Gán số dư = 0 Phép chia hết Tìm hệ số 7) áp dụng 1) Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn xy + 1 = x + y xy + 1 = x + y xy + 1 - x - y = 0 (x - 1) (y - 1) = 0 x - 1 = 0 x = 1; y tùy ý y - 1 = 0 y = 1 ; x tùy ý 2. Phân tích các đa thức thành nhân tử. a) x2 - 7x + 12 = x2 - 4x - 3x + 12 = x(x - 4) - 3(x - 4) = (x - 3)(x - 4) b) 4x2 - 3x - 1 = 4x2 - 4x + x - 1 = 4x(x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(4x + 1) c) x3 - 7x - 6 = (x + 1)(x + 2) ( x - 3) d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3) = (x2 + 3x + 1)2 e) x(y2 - z2) + y(z2 - y2) = (x - y)(y - z)(z - x) Bài tập tự luyện 1-Phân tích các đa thức thành nhân tử. a) x2 - 7x + 12 = x2 - 4x - 3x + 12 = x(x - 4) - 3(x - 4) = (x - 3)(x - 4) b) 4x2 - 3x - 1 = 4x2 - 4x + x - 1 = 4x(x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(4x + 1) c) x3 - 7x - 6 = (x + 1)(x + 2) ( x - 3) d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3) = (x2 + 3x + 1)2 e) x(y2 - z2) + y(z2 - y2) = (x - y)(y - z)(z - x) 3. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức B = n3 - 6n2 + 9n - 2 là 1 số nguyên tố. Hướng dẫn BT1: KQ x = y = 2 Tiết 9 Kiểm tra Ngày soạn: 24-10-2006 Giảng: 1-11-2006 I. Mục tiêu bài dạy - Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS qua phần phân tích đa thức thành nhân tử. - Rèn luyện kỹ năng trình bày . - Giáo dục tính tự giác, trung thực II. Phương tiện thực hiện - GV: Đề bài + đáp án - HS: Giấy làm bài + Kiến thức III. Tiến trình bài dạy A) Tổ chức: Lớp 8A: Lớp 8B: B) Kiểm tra Kiểm tra tự chọn Môn : Đại số Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a- x2 + xy + x + y b- 3x2 - 3xy + 5x c- x2 + y2 + 2xy - x Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a- x2 + xy + x + y b- 3x2 - 3xy + 5x - 5y c- x2 + y2 + 2xy - x - y Câu 3 Giá trị nhỏ nhất của đa thức P = x2 - 4x + 5 là : A. 1 B. 5 C. 0 D. một kết quả khác Câu 4: Đa thức x4 - y4 được phân tích thành nhân tử là : A. (x2 - y2)2 B. (x - y)(x + y)(x2 - y2) C. (x - y)(x+y)(x2 + y2) D. (x - y)(x + y)(x - y)2 Câu 5: Đa thức x4 - y4 được phân tích thành nhân tử là : A. (x2 - y2)2 B. (x - y)(x + y)(x2 - y2) C. (x - y)(x+y)(x2 + y2) D. (x - y)(x + y)(x - y)2 Câu 2 : Giá trị lớn nhất của đa thức P = 4x - x2 là : A. 2 B. 4 C. 1 D. - 4 C) Củng cố: - GV: Thu bài về chấm D. HDVN: - Ôn phần hình học - P2 chứng minh Chủ đề 3: nhận dạng tứ giác Tiết 10+11: Nhận dạng hình thang - Hình thang cân- Hình thang vuông Ngày soạn: 1-11-2006 Giảng: 8-11-2006 I. Mục tiêu bài dạy - Giúp HS củng cố vững chắc các định lý, định nghĩa từ đó nhận diện được các loại hình tứ giác cơ bản như: Hình thang cân, HBH, HCN, hình thoi, hình vuông - Từ đó giúp HS có được các P2 chứng minh tứ giác là các hình hoặc chứng minh các T/c đặc trưng: Góc, đường thẳng //, đồng quy….. - Phát triển tư duy sáng tạo. II. phương tiện thực hiện - GV: P2 nhận diện các loại tứ giác. - HS: Ôn lại chương tứ giác. III. tiến trình bài dạy 1. Tổ chức: Lớp 8A: Lớp 8B: 2. Kiểm tra Lồng vào bài giảng 3. Bài mới Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản - GV: Đưa ra yêu cầu cần nhớ về các hình ? - Nêu các hình đã học - Nêu các đ/n hình: Tứ giác lồi, & t/c của nó - Nhắc lại đ/n hình thang, hình thang cân, hình thang vuông. - GV: Cho HS nhắc lại t/c và dấu hiệu của các hình. Cho tứ giác ABCD biết ::: = 1 : 2 : 3 : 4. a) Tính các góc của tứ giác . b) chứng minh AB// CD . c) Gọi giao điểm của AB và BC là E Tính các góc của CDE - HS nghiên cứu , vẽ hình và cho biết (gt) (kl) của bài ? - Theo dãy số = nhau ta có gì? - Đã có số đo của tứ giác cách nào nhanh nhất Cm được 2 đt AB & CD song song? C2: + Hoặc do: CD//AB (CMa) Nên Góc CDE = A = 360 ( 2 góc đồng vị) + Tương tự Góc = 720 + Trong CDE có: Góc CDE = 1800 - ( + ) = 1800 - ( 360 + 720 ) = 720 4. Củng cố - GV chốt lại p2 chứng minh 5. HDVN: - Xem lại bài chữa. 1. Kiến thức cần nhớ: 2. Bài tập : Bài tập1 : E D C A B Giải: a) Theo bài ta có ::: = 1 : 2 : 3 : 4 +++= Góc ( = 3600) Do đó Góc = 360 = 360 . 2 = 720 = 360 . 3 = 1080 = 360 . 4 = 1440 b) Do góc + = 360 + 1440 = 1800 Nên 2 đt AB & CD song song ( 2 góc trong cùng phía bù nhau) c) Do góc + = 360 + 720 = 1080 Nên AD & BC không // do đó chúng cắt nhau tại E - Góc CDE là góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác ABCD nên góc + = 1800 Góc = 1800 - = 1800 - 1440= 360 Chủ đề 3: nhận dạng tứ giác ( tiếp ) Tiết 10+11: Nhận dạng hình thang - Hình thang cân- Hình thang vuông (Tiết 2) Ngày soạn: 6-11-2006 Giảng: 15-11-2006 I. Mục tiêu bài dạy - Tiếp tục củng cố lý thuyết và áp dụng vào bài tập - Rèn kỹ năng vẽ hình, suy đoán và lập phương án chứng minh ( phân tích đi lên) - Giáo dục tính sáng tạo tư duy lô gic. II. phương tiện thực hiện. - GV: Bài tập, bài soạn. - HS: Các t/c toán học. III. tiến trình bài dạy 1. Tổ chức Lớp 8A: Lớp 8B: 2. Kiểm tra: - Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình thang, hình bình hành. - Nêu các p2 cơ bản để chứng minh 3 điểm thẳng hàng. 3. Bài mới Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản Cho ABC cân ( AB = AC) Phân giác BD & CE . Gọi I là trung điểm của BC; J là trung điểm của ED; O là giao điểm của BD & CE. Chứng minh a) Tứ giác BEDC là hình thang cân b) BE = ED = DC c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng h