Giáo án Tự chọn toán 8 Chủ đề 3 tam giác và các đường đồng quy

Chủ đề 3: TAM GIÁC & CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY ! i-QUAN Hệ GIữA GóC Và CạNH ĐốI DIệN TRONG MộT TAM GIáC Góc đối diện với cạnh lớn hơn. Định lý: Trong một tam giỏc, gúc đối diện với cạnh lớn hơn là gúc lớn hơn. VD: Trong , ta thấy cạnh BC lớn nhất, nờn gúc đối diện là lớn nhất; nờn . Cạnh đối diện với góc lớn hơn. Định lý: Trong một tam giỏc, cạnh đối diện với gúc lớn hơn là cạnh lớn hơn. VD: Trong , ta thấy lớn nhất nờn cạnh đối diện là BC lớn nhất;nờn . **Trong tam giỏc tự (hoặc tam giỏc vuụng), gúc tự (hoặc gúc vuụng) là gúc lớn nhất nờn cạnh đối diện với gúc tự (hoặc gúc vuụng) là cạnh lớn nhất. II- QUAN Hệ GIữA ĐƯờNG VUÔNG GóC Và ĐƯờNG XIÊN, ĐƯờNG XIÊN Và HìNH CHIếU. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên: AH: là đường vuông góc ( hay đoạn vuụng gúc) từ A đến d. AB: là đường xiên kẻ từ A đến d. H: là chõn của đường vuụng gúc hay hình chiếu của A trên d. HB: là hình chiếu của đường xiên AB trên d. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Trong cỏc đường xiờn và đường vuụng gúc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú, đường vuụng gúc là đường ngắn nhất. VD: Trờn hỡnh bờn ta thấy rừ AH < AB. Các đường xiên và hình chiếu của chúng. Trong hai đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đú: Đường xiờn nào cú hỡnh chiếu lớn hơn thỡ lớn hơn. Đường xiờn nào lớn hơn thỡ cú hỡnh chiếu lớn hơn. Nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng nhau; và ngược lại, nếu hai hỡnh chiếu bằng nhau thỡ hai đường xiờn bằng nhau. VD: a) Neỏu HB>HC=>AB>AC b) Neỏu AB>AC=>HB>HC c) Neỏu HB=HC=>AB=AC d) Neỏu AB=AC=>HB=HC III- QUAN Hệ GIữA BA CạNH CủA MộT TAM GIáC. BấT ĐẳNG THứC TAM GIáC Bất đẳng thức tam giác. Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. GT ABC KL AB + AC >BC AB + BC >AC AC + BC > AB Hệ quả của bất đẳng thức tam giác: Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn cạnh còn lại. *Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại: VD: AB - AC < BC < AB + AC IV: TíNH CHấT BA ĐƯờNG TRUNG TUYếN CủA TAM GIáC Đường trung tuyến của tam giác: Đoạn thẳng AD nối đỉnh A với trung điểm D của cạnh BC gọi là đường trung tuyến ( xuất phỏt từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của ABC. Đụi khi, đường thẳng AD cũng gọi là đường trung tuyến của ABC. -Mỗi tam giỏc cú 3 đường trung tuyến. -Trong tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. VD: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng cách bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. VD: Trong ABC, ta thấy cỏc đường trung tuyến AD, BE, CF cựng đi qua điểm G (hay cũn gọi là đồng quy tại điểm G). Khi đú, điểm G gọi là trọng tõm của ABC. GT ABC có G là trọng tâm. KL V- TíNH CHấT TIA PHÂN GIáC CủA MộT GóC Định lý về tính chất các điểm thuộc tia phân giác (định lý thuận): Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của một gúc thỡ cỏch đều hai cạnh của gúc đú. VD: GT  , ; M ẻ Oz MA ^ Ox, MB ^ Oy KL  MA = MB Định lý đảo: Điểm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc thỡ nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú.VD: GT  M nằm trong , MA ^ OA, MA ^ OB KL   **Nhận xột: Tập hợp cỏc điểm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc là tia phõn giỏc của gúc đú. V- TíNH CHấT BA ĐƯờNG PHÂN GIáC CủA TAM GIáC Đường phân giác của một tam giác: Trong ABC, tia phõn giỏc của gúc A cắt cạnh BC tại điểm M, khi đú đoạn thẳng AM được gọi là đường phõn giỏc (xuất phỏt từ đỉnh A) của ABC. Đụi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phõn giỏc của ABC. -Mỗi tam giỏc cú 3 đường phõn giỏc. -Trong ABC cõn tại A, đường phõn giỏc xuất phỏt từ đỉnh A đối diện với đỏy BC, đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đỏy này. 2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác. Định lý: Ba đường phõn giỏc của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm này cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc đú. VD: GT  DABC, BE là phân giác , CF là phân giác BE cắt CF tại I, IH^BC; IK^AC; IL^AB KL AI là tia phân giác, IH = IK = IL **Vỡ giao điểm I của 3 đường phõn giỏc của DABC cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc đú, nờn cú 1 đường trũn tõm I đi qua ba điểm L, K, H. Ta gọi đường trũn đú là đường trũn nội tiếp DABC. VI- TíNH CHấT ĐƯờNG TRUNG TRựC CủA MộT ĐOạN THẳNG Định lý về tính chất các điểm thuộc đường trung trực (định lí thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Định lý đảo: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. **Nhận xột: Tập hợp cỏc điểm cỏch đều 2 mỳt của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đú. VD: GT  Đoạn thẳng AB, MA = MB KL  M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB VII- TíNH CHấT BA ĐƯờNG TRUNG TRựC CủA MộT TAM GIáC. Đường trung trực của tam giác: Trong một tam giỏc, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giỏc đú. VD: a là đường trung trực ứng với cạnh BC của  DABC -Mỗi tam giỏc cú 3 đường trung trực. -Trong tam giỏc bất kỳ, đường trung trực của một cạnh khụng nhất thiết đi qua đỉnh đối diện với cạnh ấy. Tuy nhiờn trong một tam giỏc cõn, đường trung trực của cạnh đỏy luụn đi qua đỉnh đối diện với cạnh đú. Ta cú tớnh chất: “trong moọt tam giaực caõn, ủửụứng trung trửùc của caùnh ủaựy ủoàng thụứi laứ ủửụứng trung tuyeỏn ửựng vụựi caùnh này”. 2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác. Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác đó. *Chỳ ý: Vỡ giao điểm O của 3 đường trung trực của DABC cỏch đều 3 đỉnh của tam giỏc đú nờn cú 1 đường trũn tõm O đi qua 3 đỉnh A, B, C. Ta gọi đường trũn đú là đường trũn ngoại tiếp DABC. VIII- TíNH CHấT BA ĐƯờNG CAO CủA TAM GIáC Đường cao của tam giác: Trong moọt tam giaực, ủoaùn vuoõng goực keỷ tửứ một ủổnh ủeỏn đường thẳng chứa caùnh ủoỏi dieọn goùi laứ ủửụứng cao cuỷa tam giaực đú. VD: AH là một đường cao của DABC. Ta cũn núi AH là đường cao xuất phỏt từ đỉnh A (của DABC). Tính chất ba đường cao của tam giác: Ba ủửụứng cao cuỷa tam giaực cuứng ủi qua moọt ủieồm. VD: 3 đường cao AI, BK, CL cựng đi qua (đồng quy tại ) điểm H. Điểm H gọi là trực tõm của DABC. *Chỳ ý: + Tam giác nhọn: trực tâm trong tam giác. + Tam giác vuông: trực tâm trùng đỉnh góc vuông. + Tam giác tù: trực tâm ngoài tam giác. Cỏc đường cao, trung tuyến, trung trực, phõn giỏc của tam giỏc cõn. Trong một tam giỏc cõn, đường trung trực ứng với cạnh đỏy đồng thời là đường phõn giỏc, đường trung tuyến và đường cao cựng xuất phỏt từ đỉnh đối diện với cạnh đú. Trong một tam giỏc, nếu 2 trong 4 loại đường (đường trung tuyến, đường phõn giỏc, đường cao cựng xuất phỏt từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trựng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc cõn. Nếu 1 tam giác có hai đường cao bằng nhau là tam giác cân. **Nếu 1 tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. **Trong tam giỏc đều : trọng tõm, trực tõm, điểm cỏch đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giỏc và cỏch đều 3 cạnh là bốn điểm trựng nhau. VUI TOÁN HỌC ! ễ Tễ ĐẦU TIấN RA ĐỜI NĂM NÀO? ễ tụ đầu tiờn ra đời năm , trong đú và (a, b, c khỏc nhau). MÁY BAY TRỰC THĂNG RA ĐỜI NĂM NÀO? Mỏy bay trực thăng ra đời năm . Biết rằng: a khụng là số nguyờn tố, cũng khụng là hợp số. b là số dư trong phộp chia 105 cho 12. c là số nguyờn tố lẻ nhỏ nhất. d là trung bỡnh cộng của b và c. ĐỐ: Cho chớn tấm bỡa cú ghi số và chia thành ba nhúm. Hóy chuyển một tấm bỡa từ nhúm này sang nhúm khỏc sao cho tổng cỏc số trong mỗi nhúm đều bằng nhau. 2 -3 -1 5 3 -4 -5 6 9 I II III