Giáo án Tự chọn toán 8 Chủ đề Tứ giác

Chương 1: TỨ GIÁC ! I. TỨ GIÁC 1.Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA mà trong đó, bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. * Tên tứ giác phải được đọc hoặc viết theo thứ tự của các đỉnh. + Cách đọc tên tứ giác phải đọc hoặc viết theo thứ tự các đoạn thẳng như: ABCD, BCDA, ADBC, … + Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ giác. + Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA gọi là các cạnh của tứ giác. VD: - Mỗi hỡnh 1a, 1b, 1c dưới đõy đều gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA; trong đú, bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng khụng cựng nằm trờn một đường thẳng nờn mỗi hỡnh đú chớnh là 1 tứ giỏc. - Hình 2: có 2 đoạn thẳng BC và CD cùng nằm trên 1 đường thẳng nờn nú khụng phải là tứ giỏc. Tứ giác lồi: Tứ giỏc lồi là tứ giỏc luụn nằm trong 1 nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giỏc. VD: +Bất cứ đường thẳng nào chứa 1 cạnh của Hỡnh 1(a) cũng không phân chia tứ giác thành 2 phần nằm ở 2 nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng đó nờn nú là tứ giác lồi. + Trường hợp Hỡnh 1 (b) và Hỡnh 1 (c) không phải là tứ giác lồi. * Chú ý: Khi nói đến 1 tứ giác mà không giải thích gì thêm ta hiểu đó là tứ giác lồi. Hai đỉnh thuộc cùng một cạnh gọi là hai đỉnh kề nhau. Hai đỉnh không kề nhau gọi là hai đỉnh đối nhau. Hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh gọi là hai cạnh kề nhau. Hai cạnh không kề nhau gọi là hai cạnh đối nhau . VD: a) * Đỉnh kề: A và B, B và C, C và D, D và A. * Đỉnh đối nhau: B và D, A và C. b) Đường chộo: BD, AC. c) Cạnh kề: AB và BC, BC và CD,CD và DA, DA và AB. d) *Gúc: . *Gúc đối nhau: và , và . e) -Điểm nằm trong: M, P. -Điểm nằm ngoài: N, Q. 3.Tổng các góc của một tứ giác: Tổng các góc của tứ giác bằng 3600 Tứ giác có tính chất chung là: + Tổng 4 góc trong là 3600 + Tổng 4 góc ngoài là 3600 VD: Kẻ đường chộo AC : - Chia tứ giác thành 2 tam giỏc có cạnh là đường chéo. - Tổng 4 góc của tứ giác = tổng các góc của ABC và ADC , ta cú: A1 + B + C1 = 180o, A2 + D + C2 = 180o (A1 + A2) + B + (C1 + C2) + D = 360o Vậy A + B + C + D = 360o II. HèNH THANG 1. Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. **Số gúc tự nhiều nhất trong hỡnh thang là 2. VD1: Hình thang ABCD : + Hai cạnh đối song song là 2 đáy: AB//CD , AB đáy nhỏ, CD đáy lớn. + Hai cạnh bên AD & BC + Đường cao AH VD2:- (H.a) Tứ giỏc ABCD cú: = 600 AD// BC Hình thang. - (H.b) Tứ giác EFGH có: = 750 = 1050 (Kề bù) = = 1050 GF// EH Hình thang - (H.c) Tứ giác IMKN có: = 1200 = 1150 IN không song song với MK đó không phải là hình thang * Nhận xét: Trong hình thang 2 góc kề một cạnh bù nhau (tổng là 1800). Trong tứ giác nếu 2 góc kề một cạnh nào đó bù nhau thỡ tứ giỏc đú là hình thang. Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn bằng nhau, hai cạnh đỏy bằng nhau. Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau. 2. Hình thang vuông: là hình thang có một góc vuông. III. HèNH THANG CÂN 1. Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau. * Nhận xét: Trong hình thang cân, 2 góc đối bù nhau (tổng là 1800) VD: Tứ giác ABCD (hỡnh a) là hỡnh thang cân (đỏy AB, CD) * Hình a,c,d là hình thang cân, vỡ: Hình (a): = 1000; Hình (c) : = 700 ; Hình (d) : = 900 * Hình (b) không phải là hỡnh thang cõn vì 1800 2. Tớnh chất: - Trong hình thang cân , 2 cạnh bên bằng nhau. VD: -Trong hình thang cân , 2 đường chéo bằng nhau. VD: -Hỡnh thang cú hai cạnh bờn bằng nhau chưa chắc đó là hỡnh thang cõn. 3.Dấu hiệu nhận biết: Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn. Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn. IV. đường trung bình của tam giác, của hình thang Đường trung bình của tam giác : Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm cạnh thứ ba. VD: Ta có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Ta nói DE là đường trung bình của ABC. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác. Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai cạnh đỏy thỡ đi qua trung điểm cạnh bờn thứ hai. VD: Đường trung bỡnh của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm 2 cạnh bên của hình thang. Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy. V. ĐỐI XỨNG TRỤC 1. Hai điểm đối xứng nhau qua 1 đường thẳng: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm đó. 2. Hai hình đối xứng nhau qua 1 đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với 1 điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. VD: Ta nói rằng AB và A’B’' là 2 đoạn thẳng đối xứng với nhau qua đường thẳng d. - Điểm đối xứng với mỗi điểm Cẻ AB đều thuộc A’B’và ngược lại. - A’ là điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d, A là điểm đối xứng với A’ qua d à Hai điểm A và A’ là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d. * Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của 2 hình đú. VD: + Cỏc cặp đoạn thẳng đối xứng: AB và A’B’, AC và A’C’, BC và B’C’. + Gúc: ABC và A’B’C’, … + Đường thẳng AC và A’C’. + ờABC và ờA’B’C’. *Lưu ý: Nếu hai đoạn thẳng (gúc, tam giỏc) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thỡ chỳng bằng nhau 3. Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d là trục đối xứng của hình T nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình T qua đường thẳng d cũng thuộc hình T. VD: - Hình đối xứng của điểm A qua AH là A ( quy ước) - Hình đối xứng của điểm B qua AH là C và ngược lại. AB và AC là 2 hình đối xứng của nhau qua đường thẳng AH . - Cạnh BC tự đối xứng với nó qua AH Đường thẳng AH là trục đối xứng cuả tam giác cân ABC. Hình T có trục đối xứng. Một hình H có thể có 1 trục đối xứng, có thể không có trục đối xứng, có thể có nhiều trục đối xứng. Đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. VD: Đường thẳng HK là trục đối xứng của hỡnh thang cõn ABDC. VI- HèNH BèNH HÀNH 1.Định nghĩa : Hỡnh bỡnh hành là tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song. Tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành * Hỡnh bỡnh hành là hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song. 2. Tớnh chất : Trong hỡnh bỡnh hành: a) Các cạnh đối bằng nhau. b) Các góc đối bằng nhau. c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết hỡnh bỡnh hành: Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành. Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành. Tứ giỏc cú hai cạnh đối song song và bằng nhau là hỡnh bỡnh hành. Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hỡnh bỡnh hành. VD: a) ABCD là hỡnh bỡnh hành vỡ cú cỏc cạnh đối bằng nhau. b) EFGH là hỡnh bỡnh hành vỡ cú cỏc gúc đối bằng nhau. c) INMK khụng phải là hỡnh bỡnh hành . d) PSRQ là hỡnh bỡnh hành vỡ cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. e) VUYX là hỡnh bỡnh hành vỡ cú hai cạnh đối song song và bằng nhau. VI. ĐỐI XỨNG TÂM 1. Hai điểm đối xứng qua một điểm : Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đú. * A và B đối xứng với nhau qua O. - Qui ước : Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O. 2. Hai hỡnh đối xứng qua một điểm : Hai hỡnh gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hỡnh này đối xứng với một điểm thuộc hỡnh kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó. VD: Nếu điểm CAB đối xứng với điểm C'A'B' thỡ : - Hai đoạn thẳng AB và A’B’ đối xứng nhau qua điểm O. - O gọi là tõm đối xứng . *Lưu ý: Nếu hai đoạn thẳng (gúc, tam giỏc) đối xứng với nhau qua một điểm thỡ chỳng bằng nhau. * Cách vẽ đối xứng qua 1 điểm: + Muốn vẽ 2 đoạn thẳng đối xứng qua 1 điểm O ta chỉ cần vẽ 2 cặp đỉnh tương ứng đối xứng nhau qua O. + Muốn vẽ 2 tam giác đối xứng với nhau qua O ta chỉ cần vẽ 3 cặp đỉnh tương ứng đối xứng với nhau qua O. + Muốn vẽ 1 hình đối xứng 1 hình cho trước qua tâm O ta vẽ các điểm đối xứng với từng điểm của hình đã cho qua O, rồi nối chúng lại với nhau. 3. Hỡnh cú tõm đối xứng : Điểm O gọi là tõm đối xứng của hỡnh H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hỡnh H qua điểm O cũng thuộc hỡnh H. - Giao điểm hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành là tõm đối xứng của hỡnh bỡnh hành đú. VII. HèNH CHỮ NHẬT 1.Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông. Tứ giác ABDC là hỡnh chữ nhật. - Hình chữ nhật cũng là hình bình hành, hình thang cân. 2. Tính chất: Trong hỡnh chữ nhõt, 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Hỡnh chữ nhật cú tất cả tớnh chất của hỡnh bỡnh hành và hỡnh thang cõn 3. Dấu hiệu nhận biết: Tứ giỏc cú 3 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. Hỡnh thang cõn cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. Hỡnh bỡnh hành cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật. 4. Áp dụng vào tam giỏc vuụng : 1. Trong tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền . 2. Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng. VIII. đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 1. Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng song song : h là khoảng cỏch giữa hai đường thẳng song song a và b. - Mọi điểm thuộc đường thẳng a cỏch đường thẳng b một khoảng bằng h. Mọi điểm thuộc đường thẳng b cũng cỏch đường thẳng a một khoảng bằng h. 2. Tớnh chất của cỏc điểm cỏch đều một đường thẳng cho trước : Nếu cỏc đường thẳng song song và cỏch đều nhau, nếu chỳng cựng cắt một đường thẳng thỡ chỳng chắn trờn đường thẳng đú cỏc đoạn thẳng liờn tiếp bằng nhau. Nếu cỏc đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chỳng chắn trờn đường thẳng đú cỏc đoạn liờn tiếp bằng nhau thỡ chỳng song song và cỏch đều nhau. IX. HèNH THOI 1. Định nghĩa : Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau. Tứ giỏc ABCD là hỡnh thoi Û AB = BC = CD = DA. * Hỡnh thoi cũng là một hỡnh bỡnh hành. 2. Tớnh chất :Hỡnh thoi cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành. -Trong hỡnh thoi: Hai đường chộo vuụng gúc với nhau. Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc của hỡnh thoi. 3. Dấu hiệu nhận biết: 1. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi. 2. Hỡnh bỡnh hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 3. Hỡnh bỡnh hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. 4. Hỡnh bỡnh hành có một đường chéo là đường phân giác của 1 góc là hình thoi. X.HèNH VUễNG 1. Định nghĩa : Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau. VD: Tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng Û = 900 AB = BC = CD = DA. Từ định nghĩa hỡnh vuụng ta suy ra: * Hỡnh vuụng là hỡnh chữ nhật cú bốn cạnh bằng nhau. * Hỡnh vuụng là hỡnh thoi cú bốn gúc vuụng. ị Hỡnh vuụng vừa là hỡnh chữ nhật, vừa là hỡnh thoi. 2. Tớnh chất : - Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi. - Hai đường chộo của hỡnh vuụng thỡ bằng nhau và vuụng gúc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mỗi đường chộo là một đường phõn giỏc của cỏc gúc đối. 3) Dấu hiệu nhận biết : Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng. Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh vuụng. Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng. Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng. Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.