Giáo trình Xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu số Chương 1 Tín hiệu và hệ thống 1.1 Khái niệm tín hiệu, hệ thống và xử lý tín hiệu 1.1.1 Tín hiệu Tín hiệu là đại lượng vật lý biến đổi theo thời gian, không gian, theo một hoặc nhiều biến độc lập. Về mặt toán học, tín hiệu có thể xem như một hàm phụ thuộc một hoặc nhiều biến. Ví dụ, hàm phụ thuộc biến thời gian độc lập: s1(t)= 5t (1.1) s2(t)= 10t2, (1.2) hàm phụ thuộc hai biến độc lập x, y thuộc mặt phẳng không gian: s(x,y) = 6x+ 8y+ 3y2. (1.3) Các tín hiệu trên đây là các hàm phụ thuộc các biến độc lập theo quy luật riêng đã biết. Tuy nhiên, trong một số trường hợp thực tế, quy luật phụ thuộc của hàm và biến chưa biết rõ, ví dụ tín hiệu âm thanh trên hình 1-1: Hình 1-1 Tín hiệu âm thanh Các tín hiệu trên hình 1-1 có thể được xem như là tổng hợp của một số dao động hình sin: (1.4) trong đó: Ai(t), Fi(t), qi(t) tương ứng là biên độ, tần số và pha của các dao động hình sin. Với các tín hiệu loại này, để hiểu được nó ta cần đo các tham số biên độ, tần số và pha của nó. Một số các ví dụ thực tế khác như: điện tim cho biết hoạt động của tim, điện não cho biết hoạt động của não,…Các tín hiệu này tương tự như âm thanh có thể được biểu diễn dưới dạng hàm theo một biến độc lập thời gian. Hình ảnh tĩnh là một ví dụ về tín hiệu phụ thuộc hai biến không gian độc lập x, y. Các tín hiệu đều được phát ra từ một hệ thống. Các tín hiệu kích thích kết hợp với các hệ thống tạo thành các nguồn tín hiệu. Ví dụ nguồn tín hiệu âm thanh, nguồn tín hiệu hình ảnh,… 1.1.2 Hệ thống Hệ thống có thể được xem như thiết bị vật lý tác động vào tín hiệu một hoặc một số thuật toán. Ví dụ bộ lọc dùng để lọc nhiễu và tạp âm lẫn trong tín hiệu sạch, thực hiện thuật toán lọc. Khi cho tín hiệu qua hệ thống để lọc là thực hiện xử lý tín hiệu. Nói chung, hệ thống được đặc trưng bởi loại thuật toán mà nó thực hiện đối với tín hiệu. Chẳng hạn: thuật toán tuyến tính thì hệ thống được gọi là tuyến tính, thuật toán phi tuyến thì hệ thống được gọi là phi tuyến. Một hệ thống được định nghĩa không chỉ là thiết bị vật lý mà nó gồm cả phần mềm thực hiện các thuật toán đối với tín hiệu. Xử lý tín hiệu số trên máy tính số, các thuật toán được thực hiện qua một chương trình phần mềm. Trong trường hợp này, hệ thống thực hiện trên máy tính số một dãy các thuật toán qua một chương trình phần mềm, và như vậy, hệ thống xử lý tín hiệu số được thực hiện bằng phần mềm. Xử lý tín hiệu số cũng được thực hiện bằng phần cứng kỹ thuật số (mạch lôgic), được cấu hình theo các thuật toán yêu cầu riêng. Trường hợp này, hệ thống có một thiết bị vật lý thực hiện các thuật toán riêng. Như vậy trường hợp tổng quát, hệ thống bao gồm cả phần cứng và phần mềm, mỗi phần thực hiện những thuật toán riêng của nó. Trong hệ thống số, xử lý các tín hiệu số qua các phần cứng hoặc phần mềm. Các tín hiệu thực tế là tương tự thì phải qua khâu biến đổi tương tự/số (ADC). Phương pháp hoặc các luật thực hiện hệ thống qua một chương trình thực hiện các thuật toán (operation) tương ứng đựơc gọi là giải thuật (algorithm). Thường có nhiều giải thuật để thực hiện một hệ thống. Thiết kế hệ thống thường theo những giải thuật nhanh nhất, dễ thực hiện nhất. Xử lý tín hiệu số nghiên cứu những giải thuật hiệu quả nhất để thực hiện các thuật toán lọc, tương quan và phân tích phổ tín hiệu. 1.1.3 Các khâu cơ bản của một hệ thống xử lý tín hiệu số Phần lớn các tín hiệu tự nhiên trong thực tế đều là tương tự, tín hiệu là một hàm theo biến liên tục theo thời gian hoặc không gian và thường nhận các giá trị trong một dải liên tục. Các tín hiệu này có thể được xử lý trực tiếp bằng hệ thống tương tự như bộ lọc hoặc các bộ phân tích tần số, các bộ nhân tần để thay đổi các đặc tính của nó hoặc tách ra các thông tin cần thiết. Hệ thống xử lý tín hiệu tương tự (analog signal processing-ASP) có tín hiệu đầu vào và đầu ra đều là tương tự. Phương pháp xử lý tín hiệu tương tự qua hệ thống xử lý tín hiệu số có các khối cơ bản như trên hình 1-2, thực hiện xử lý bằng kỹ thuật số, cần giao diện giữa tín hiệu tương tự với bộ xử lý số thông qua bộ biến đổi ADC. Tín hiệu đầu vào và đầu ra của bộ xử lý tín hiệu số (digital signal processing – DSP) là tín hiệu số. DSP có thể là một máy tính có thể lập trình (khả trình) hoặc một bộ vi xử lý nhỏ được lập trình để thực hiện một số thuật toán cần thiết trên tín hiệu vào. Nó có thể là bộ xử lý số cứng đã lập trình để thực hiện một tập các thuật toán trên một tín hiệu vào. Các máy khả trình có tính mềm dẻo trong việc thay đổi các thuật toán qua việc thay đổi phần mềm, trong khi các máy cứng lại khó tái cấu hình. Các bộ xử lý khả trình được sử dụng rộng rãi. Mặt khác, khi mà các thuật toán xử lý tín hiệu được định nghĩa tốt, thực hiện cứng các thuật toán có thể tối ưu, bộ xử lý sẽ rẻ hơn, tốc độ xử lý sẽ nhanh hơn phần khả trình. Trong các ứng dụng thực tế, khi cần tín hiệu tương tự thì đầu ra DSP cần có bộ biến đổi số/ tương tự DAC (ví dụ các bộ xử lý âm thanh). Trong một số trường hợp, tín hiệu ra chỉ cần thông tin dạng số thì không cần DAC (ví dụ thông tin tách ra trong tín hiệu rada như vị trí vật bay và tốc độ của nó được in trực tiếp ra giấy thì không cần ghi dưới dạng tương tự) ADC DSP DAC tín hiệu tương tự tín hiệu số tín hiệu tương tự tín hiệu số Hình 1-2 Sơ đồ khối hệ xử lý tín hiệu số 1.1.4 Ưu nhược điểm xử lý số tín hiệu cho các tín hiệu tơng tự Có một số đặc điểm thuận lợi khi sử dụng hệ DSP như sau: Các hệ thống kỹ thuật số khả trình có tính mềm dẻo trong việc cấu hình các thuật toán xử lý tín hiệu một cách đơn giản bằng cách thay đổi chương trình. Việc tái cấu hình hệ thống tương tự thường thiết kế được phần cứng kèm theo làm nhiệm vụ kiểm tra, theo dõi hoạt động. Trong các hệ thống xử lý tương tự, khó có thể thiết kế được phần chỉnh định độ chính xác xử lý. Trong các hệ DSP, có thể điều chỉnh được độ chính xác theo độ dài từ mã, dấu phảy động,… trong các bộ ADC và DSP. Các dữ liệu số có thể được lưu trữ trên các phương tiện suy hao thấp, có thể truyền và xử lý độc lập trong các phòng thí nghiệm từ xa Hệ DSP cho phép thực hiện nhiều giải thuật xử lý tín hiệu hơn. Nhiều thuật toán khó thực hiện khi xử lý tín hiệu tương tự nhưng lại dễ dàng thực hiện qua phần mềm xử lý số. Trong một số trường hợp, xử lý số rẻ hơn khi thực hiện bằng xử lý tương tự nên phần cứng số có giá thành hạ hơn so với tương tự do tính mềm dẻo của hệ DSP. Do một loạt các ưu điểm của hệ DSP như vậy nên nó đã được sử dụng khá phổ biến trong thực tế như: xử lý tiếng nói và truyền tín hiệu qua các kênh thoại, xử lý ảnh và truyền ảnh, trong ngành địa chấn - địa vật lý, thăm dò dầu khí, ngành hạt nhân, vũ trụ,… Tuy nhiên hạn chế lớn nhất của hệ DSP là tốc độ làm việc của các bộ ADC, bộ DSP. Một số tín hiệu tương tự có dải thông rộng yêu cầu tốc độ lấy mẫu của bộ ADC và tốc độ xử lý của DSP phải nhanh. Vì vậy, thực tế có một số tín hiệu tương tự dải rộng khó thực hiện được bằng phần cứng xử lý số. 1.2 Phân loại tín hiệu Các phương pháp xử lý tín hiệu và phân tích đáp ứng của một hệ thống phụ thuộc nhiều vào đặc tính từng loại tín hiệu. Có một số biện pháp kỹ thuật chỉ ứng dụng cho các họ các tín hiệu riêng biệt nên xử lý tín hiệu bao giờ cũng bắt đầu từ việc phân loại tín hiệu liên quan đến ứng dụng riêng. 1.2.1 Các tín hiệu đa kênh đa chiều Tín hiệu như đã biết, có thể được mô tả bằng một hàm theo một hoặc một số biến độc lập. Giá trị của hàm có thể là thực, phức hay vectơ. Ví dụ hàm thực: , (1.5) có biểu diễn phức: (1.6) Trong một số ứng dụng thực tế, các tín hiệu được phát ra từ nhiều nguồn hoặc từ nhiều sensor đo lường có thể được biểu diễn dưới dạng véc tơ. Ví dụ tín hiệu biểu diễn dưới dạng véc tơ từ 3 sensor: (1.7) S3(t) Hình 1-3 Tín hiệu 3 kênh Các tín hiệu này được gọi là tín hiệu đa kênh. Các tín hiệu thực tế như điện tim (ECG-electrocadiogram) 3, 6, 12 đạo trình tương ứng 3, 6, 12 kênh tín hiệu được biểu diễn dưới dạng véc tơ 3, 6, 12 chiều. Nếu tín hiệu là hàm của biến độc lập đơn thì gọi là tín hiệu 1 chiều (1D), M biến độc lập thì gọi là M chiều (MD) Ví dụ tín hiệu 2D là một bức ảnh trong đó độ chói (cường độ) của mỗi điểm ảnh tương ứng là một hàm hai biến độc lập I(x,y). Hình 1-4 Tín hiệu 2D Độ chói của điểm ảnh TV đen trắng (ảnh động) tính đến biến thời gian là hàm của 3 biến độc lập: I(x,y,t), đối với TV màu thì lại là 3 hàm tương ứng 3 màu cơ bản: Ir(x,y,t), Ig(x,y,t), Ib(x,y,t) nên tín hiệu màu là tín hiệu 3 kênh, 3 chiều biểu diễn dưới dạng véctơ: (1.8) Xử lý tín hiệu thực hiện đối với các tín hiệu 1D, đơn kênh. Từ đó có thể mở rộng cho các tín hiệu đa kênh, đa chiều. 1.2.2 Tín hiệu liên tục và rời rạc I. Tín hiệu liên tục và rời rạc theo thời gian Theo biến thời gian, tín hiệu được chia thành các loại: Tín hiệu liên tục theo thời gian hay tín hiệu tương tự có giá trị ở mọi thời gian và giá trị là liên tục trong một khoảng (a,b). Trong đó a có thể là -¥ và b có thể là +¥. Tín hiệu âm thanh trên hình 1-1 là tín hiệu liên tục, các tín hiệu: x1(t)=Acos3pt (1.9) x2(t)=e-|t| với -¥<t<+¥, (1.10) là các tín hiệu liên tục. Tín hiệu rời rạc theo thời gian (gọi tắt là tín hiệu rời rạc) là tín hiệu chỉ có giá trị tại những thời điểm xác định nào đó. Những thời điểm này không cần cách đều nhau, nhưng thực tế có thể lấy các khoảng cách đều để tiện và dễ tính toán. Ví dụ: ,với n = 0, ±1, ±2,… là tín hiệu rời rạc theo thời gian. Nếu ta sử dụng các chỉ số n tại các điểm rời rạc thời gian là các biến độc lập thì tín hiệu rời rạc trở thành hàm của các biến nguyên (là một dãy các số). Vì vậy tín hiệu rời rạc theo thời gian có thể được biểu diễn toán học bằng một dãy thực hoặc dãy số phức. Để nhấn mạnh bản chất rời rạc theo thời gian của tín hiệu, có thể coi tín hiệu x(n) thay thế cho x(t). Nếu các khoảng cách thời gian như nhau thì coi tn=nT. Ví dụ: Hình 1-5 Tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu rời rạc theo thời gian có thể được tạo ra bằng các cách sau: Chọn giá trị tương tự ở những thời điểm rời rạc, quá trình này gọi là lấy mẫu. Các tín hiệu đo lường lấy giá trị đo ở những thời điểm cách đều nhau là các tín hiệu rời rạc theo thời gian. Tích luỹ một biến theo chu kỳ thời gian, ví dụ đếm lượng xe ôtô qua một tuyến phố nào đó theo từng giờ,… II. Tín hiệu liên tục và rời rạc theo giá trị (theo mức) Các tín hiệu liên tục hoặc rời rạc theo thời gian có thể liên tục hoặc rời rạc theo giá trị. Tín hiệu liên tục theo giá trị là tín hiệu nhận tất cả các giá trị có thể của nó trong khoảng vô hạn hoặc hữu hạn. Tín hiệu rời rạc theo giá trị (tín hiệu lượng tử hoá) là tín hiệu chỉ nhận các giá trị có thể của nó trong một tập hữu hạn. Thường thì các giá trị này cách đều nhau bằng bội số nguyên của khoảng cách giữa hai giá trị liền kề. Tín hiệu số là tín hiệu rời rạc theo thời gian gồm tập các giá trị rời rạc. Nói cách khác, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc theo thời gian và rời rạc theo giá trị. Ví dụ tín hiệu trên hình 1-6 là tín hiệu số có thể nhận 1 trong 4 mức có thể. Hình 1-6 Tín hiệu số 4 giá trị Có thể tổng kết lại 4 dạng tín hiệu trên hình 7 Hình 1-7 Đồ thị minh hoạ 4 dạng tín hiệu Như vậy tín hiệu số là tín hiệu rời rạc theo thời gian và rời rạc theo giá trị. Để có được tín hiệu số phải thực hiện lấy mẫu tín hiệu để rời rạc theo thời gian và lượng tử hoá để rời rạc theo giá trị. Quá trình lượng tử hoá là quá trình lấy xấp xỉ bằng cách làm tròn hoặc cắt xén. Ví dụ 8,58 có thể làm tròn thành 9 hoặc cắt xén còn 8 là các giá trị số nguyên 1.2.3 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên Một tín hiệu đựơc mô tả duy nhất bằng biểu diễn toán học tường minh, bằng một bảng dữ liệu hoặc bằng một quy luật đã cho nào đó được gọi là tín hiệu xác định. Những biểu diễn này nhấn mạnh sự kiện quá khứ, hiện tại và tương lai của tín hiệu đựơc biết rõ mà không có bất cứ sự thay đổi nào. Trong thực tế, có những tín hiệu không thể mô tả chính xác được bằng các công thức toán học tường minh hoặc mô tả rất phức tạp cho các ứng dụng thực tế, không thể dự đoán được tiến triển theo thời gian. Các tín hiệu này gọi là ngẫu nhiên. Ví dụ các tín hiệu địa chấn, nhiễu, tiếng nói,…: Hình 1-8 Tín hiệu nhiễu ngẫu nhiên Việc mô tả và phân tích các tín hiệu ngẫu nhiên sử dụng kỹ thuật thống kê thay thế cho các công thức tường minh. Phương pháp toán để phân tích tín hiệu ngẫu nhiên là lý thuyết xác suất và xử lý dự đoán. 1.3 Nội dung tần số trong các tín hiệu liên tục và rời rạc theo thời gian Nội dung tần số trong các tín hiệu có lợi ích rất lớn trong phân tích và thiết kế các mạch điện tử. Về vật lý, tần số có liên quan đến loại chuyển động có chu kỳ gọi là dao động hài, là các hàm hình sin. Nội dung tần số có liên quan trực tiếp đến nội dung thời gian. Thực tế, tần số có thứ nguyên nghịch đảo của thời gian vì vậy mà bản chất về thời gian (liên tục hay rời rạc) sẽ quyết định đến bản chất tần số tương ứng. 1.3.1 Các tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian Một dao động hài đơn giản nhất được biểu diễn dưới dạng tín hiệu hình sin: (1.11) Hình 1-9 Tín hiệu liên tục hình sin Chỉ số a là tương tự. tín hiệu có ba tham số: biên độ A, tần số W (rad/s), pha q (rad). Tần số W có thể thay thế bằng F là số chu kỳ trong một giây (Hz): (1.12) Đặc tính của tín hiệu tương tự hình sin như sau: Với mọi giá trị cố định của F, tín hiệu xa(t) là tín hiệu có chu kỳ: (1.13) Tp là chu kỳ tín hiệu Các tín hiệu hình sin có tần số riêng biệt là riêng biệt. Khi tăng tần số là tăng tốc độ dao động của tín hiệu. Tín hiệu hình sin dạng phức là hàm mũ: (1.14) Vì tần số tín hiệu là số chu kỳ trong một dây nên nó luôn có trị số dương, nhưng qua biểu diễn toán học, theo hệ thức Euler: , (1.15) nên: (1.16) Trên mặt phẳng phức tồn tại hai véc tơ hình sin quay với tần số góc ±W theo hai hướng ngược chiều nhau: tần số dương ngược chiều kim đồng hồ, tần số âm thì ngược lại. Và như vậy, về mặt toán tần số F có thể nằm trong dải -¥< F <+¥ Hình 1-10 Tín hiệu hình sin phức 1.3.2 Tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian I. Khái niệm (1.17) Trong đó n là số nguyên là số mẫu, A là biên độ , w là tần số (rad trên mẫu), q là pha (rad). Theo biến tần số f là số chu kỳ trong một mẫu, tần số w: (1.18) và tín hiệu hình sin sẽ là: (1.19) Ví dụ: tín hiệu hình sin rời rạc có tần số w =p/6 rad/mẫu ( chu kỳ/ mẫu) và pha q=p/3: Hình 1-11 tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian II. Đặc tính của tín hiệu hình sin rời rạc Tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian là tín hiệu có chu kỳ chỉ khi biến tần số f là số hữu tỷ Theo định nghĩa, x(n) là tín hiệu có chu kỳ N (N>0) nếu và chỉ nếu: với mọi n. (1.20) Giá trị nhỏ nhất của N là chu kỳ cơ bản Tính chất này có thể được chứng minh như sau: Đối với tín hiệu hình sin chu kỳ f0 ta có; (1.21) Biểu thức này chỉ đúng nếu và chỉ nếu với một số k nguyên: (1.22) Nên là tỷ số của hai số nguyên (số hữu tỷ) có chu kỳ cơ bản là N. Từ biểu thức của f0 ta thấy rằng chỉ một thay đổi nhỏ của tần số cũng làm thay đổi chu kỳ tương đối lớn. Ví dụ f1=31/60 thì N1=60, với f2=30/60 thì N2=2. Các tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian mà có tần số của nó được tách ra bằng bội số của 2p là như nhau. Nói cách khác là không phân biệt được các tín hiệu ở những tần số này. Dễ dàng thấy rằng: (1.23) Và kết quả được các chuỗi các tín hiệu như nhau: (1.24) với : ; (1.25) Tốc độ cao nhất của dao động trong hình sin rời rạc theo thời gian đạt được khi w=p (hoặc w=-p) tương ứng f=1/2 (hoặc f=-1/2) Ví dụ xét dãy khi thay đổi w0. Để đơn giản, lấy các giá trị w0=0, p/8, p/4, p/2, p tương ứng với f=0,1/16,1/8,1/4,1/2. Kết quả được dãy có các chu kỳ N=¥, 16, 8, 4, 2 như trên hình 12. Các tín hiệu này có chu kỳ giảm khi tần số tăng và tốc độ tăng. Trong khoảng , xét hai tín hiệu ở các tần số w1=w0 và w2=2p-w0: (1.26) Từ đây ta thấy rằng: tín hiệu tần số w1 trùng với tín hiệu tần số w2, tức là tín hiệu hình sin và cosin là như nhau chỉ ngược pha nhau. và khi tăng w từ p đến 2p, tốc độ dao động giảm. Khi w0 =2p, tín hiệu là hằng số như khi w0 = 0, và khi w0 =p, tốc độ dao động là lớn nhất. Biểu diễn phức của tín hiệu rời rạc theo thời gian có tần số âm như sau: (1.27) \ Hình 1-12 Tín hiệu với các giá trị w0 khác nhau Các tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian có các tần số tách ra bằng bội nguyên lần của 2p là như nhau và như vậy trong khoảng bất kỳ: đã bao gồm tất cả các tín hiệu hình sin rời rạc hoặc các hàm mũ phức. Từ đó cho thấy dải tần số của các tín hiệu hình sin rời rạc là hữu hạn và bằng 2p thường thì chọn dải hoặc tương ứng với hoặc gọi là dải cơ bản. 1.3.3 Các thành phần hài số mũ phức Các tín hiệu hình sin và hàm mũ phức đóng vai trò rất quan trọng trong phân tích tín hiệu và hệ thống. Tập các thành phần hài phức hoặc hình sin có các tần số cơ bản là bội số lần tần số đơn dương. I. Các hàm mũ liên tục theo thời gian Các thành phần hài số mũ phức: ; (1.28) Với mỗi giá trị k, sk(t) là tín hiệu có chu kỳ với chu kỳ cơ bản là 1/(kF0)=Tp/k. hoặc tần số cơ bản là kF0. Do tín hiệu có chu kỳ Tp/k cũng là các tín hiệu có chu kỳ k. (Tp/k)=Tp với mọi k dương nên tất cả các tín hiệu sk(t) đều có chu kỳ Tp. Khi k1¹k2 thì các tín hiệu sk1(t) ¹ sk2(t) Tín hiệu tương tự là tổ hợp tuyến tính của tất cả các thành phần hài: (1.29) Trong đó ck, với là các hằng số phức. Tín hiệu xa(t) là tín hiệu có chu kỳ với chu kỳ cơ bản là Tp=1/F0. Biểu diễn này gọi là khai triển Fourier của xa(t), các hằng số phức là các hệ số chuỗi Fourier và sk(t) là hài thứ k của xa(t). II. Các hàm mũ rời rạc theo thời gian Các hàm mũ phức rời rạc theo thời gian là tín hiệu có chu kỳ khi tần số tương đối của nó là số hữu tỷ. Nếu chọn f0=1/N thì tập các thành phần hài sẽ là: (1.30) và: (1.32) Nên tất cả các thành phần có chung chu kỳ N mẫu. Với N bất kỳ, nếu chọn liên tiếp các giá trị k từ n0 đến n0+N-1 được tập các thành phần hài có tần số cơ bản f0=1/N. Thường chọn tập có n0=0: (1.33) và như vậy tín hiệu là tổ hợp tuyến tính: (1.34) là các giá trị trong tín hiệu có chu kỳ với chu kỳ cơ bản là N. Biểu diễn này là khai triển Fourier của chuồi chu kỳ rời rạc theo thời gian với các hệ số Fourier là , chuỗi sk(n) gọi là hài thứ k của x(n). Ví dụ: lưu trữ trong bộ nhớ của DSP một chu kỳ tín hiệu hình sin: (1.35) trong đó q=2pq/N; q và N là số nguyên a/ Xác định các thành phần hài hình sin có pha như nhau b/Xác định các tín hiệu hình sin có cùng tần số nhưng khác pha Giải Đặt chuỗi tín hiệu hình sin: (1.36) Có các tần số fk=k/N , tín hiệu xk(n) có thể viết lại như sau: (1/37) Ta có xk(0)=x(0); xk(1)= x1(k); xk(2)=x(2k);…Chuỗi hình sin xk(n) có thể có được các giá trị của x(n) tại mọi k bắt đầu từ x(0). Và như vậy có thể tạo ra được tất cả các thành phần hài hình sin có các tần số fk=1/N với k=0,1,2,…,N-1 b/ Ta có thể điều khiển pha q của tín hiệu hình sin có các tần số fk=1/N bằng cách lấy các giá trị từ trong vị trí nhớ q=qN/2p trong đó q là một số nguyên, pha sẽ được điều chỉnh từ kn đến N. 1.4 Tín hiệu rời rạc theo thời gian 1.4.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc Ta đã biết tín hiệu rời rạc theo thời gian là hàm của một biến số nguyên độc lập (biến thời gian). 1.Biểu diễn bằng đồ thị Trên đồ thị biểu diễn, tín hiệu không tồn tại ở các thời điểm giữa các mẫu (hình 1-13), tín hiệu x(n) luôn bằng không khi biến độc lập n không phải là số nguyên. Các tín hiệu x(n) có được bằng cách lấy mẫu tín hiệu tương tự xa(t): với T là chu kỳ lấy mẫu (khoảng thời gian giữa các mẫu) Giá trị của x(n) chính là giá trị của xa(t) tại các thời điểm t=nT Hình 1-13 tín hiệu rời rạc theo thời gian 2.Biểu diễn bằng hàm số Tín hiệu cho dưới dạng hàm x(n) nhận các giá trị tương ứng với các giá trị biến n có dạng như ví dụ sau: Trong các trường hợp khác 3.Biểu diễn bằng bảng Tín hiệu x(n) cho dưới dạng bảng giá trị tương ứng với các giá trị biến n Ví dụ: 4.Biểu diễn bằng dãy - Dãy tín hiệu thời gian vô hạn, có gốc thời gian n=0 được chỉ ra bằng ký hiệu ­ Ví dụ: Dãy có các giá trị x(n)=0 khi n<0: - Dãy thời gian hữu hạn Ví dụ: Dãy thời gian hữu hạn có giá trị x(n)=0 khi n<0: 1.4.2 Một số dạng cơ bản của tín hiệu rời rạc theo thời gian 1.Dãy tín hiệu mẫu đơn vị (unit sample) Tín hiệu chỉ bằng 1 khi n=0, và luôn bằng 0 với mọi giá trị n. Tín hiệu này còn có tên gọi là xung đơn vị. khi khi Hình 1-14 tín hiệu mẫu đơn vị 2.Tín hiệu bước nhảy đơn vị (unit step) khi khi Hình 1-15 Tín hiệu bước nhảy đơn vị Trường hợp dãy hữu hạn: khi 0£ n £ N-1 trong các trường hợp khác Tín hiệu được gọi là dãy chữ nhật đơn vị chỉ nhận giá trị 1 khi n=0, 1,…N-1 và bằng 0 với mọi giá trị khác của n. Quan hệ giữa d(n) và u(n): (1.38) Và: (1.39) 3.Tín hiệu dốc đơn vị (unit ramp) khi khi Hình 1-16 Tín hiệu dốc đơn vị 4.Tín hiệu hàm mũ thực Hình 17 là các dạng tín hiệu hàm mũ thực ứng với các giá trị khác nhau của cơ số a. Như vậy các tín hiệu rời rạc x(n) luôn nhận các giá trị tín hiệu tương tự xa(t) tại các thời điểm rời rạc n vì vậy mà dạng đồ thị của tín hiệu rời rạc giống dạng tín hiệu tương tự ở các thời điểm rời rạc n. Hình 1-17 Tín hiệu hàm mũ thực 1.4.3 Phân loại tín hiệu rời rạc theo thời gian Các phương pháp toán học sử dụng trong phân tích các tín hiệu và hệ thống rời rạc phụ thuộc nhiều vào các đặc tính tín hiệu, phần này thực hiện phân loại tín hiệu theo đặc tính tín hiệu 1.Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất Năng lượng E của một tín hiệu x(n) được định nghĩa như sau (1.40) Biểu thức ứng dụng cho cả số phức và thực. Giá trị E có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Trường hợp hữu hạn 0< E< ¥, x(n) được gọi là tín hiệu năng lượng. Trong một số trường hợp thêm phụ chú cho E: Ex để biểu hiện là năng lượng của x(n). Khi E vô hạn, có công suất trung bình hữu hạn: (1.41) và năng lượng trong khoảng hữu hạn -N£ n £ +N: (1.42) Năng lượng của x(n): (1.43) Công suất trung bình của x(n) sẽ là: (1.44) Rõ ràng rằng: khi E hữu hạn thì P=0, còn E vô hạn thì P có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu P hữu hạn và khác 0 thì tín hiệu gọi là tín hiệu công suất. Ví dụ: xác định năng lượng và công suất của dãy bước nhảy đơn vị: Công suất trung bình của dãy bước nhảy đơn vị: Đây là tín hiệu công suất có năng lượng vô hạn. Tương tự như vậy: có công suất trung bình bằng A2 là tín hiệu công suất. Dãy hàm dốc đơn vị có E và P vô hạn nên không thuộc hai loại tín hiệu này 2.Tín hiệu có chu kỳ và không chu kỳ Ta đã định nghĩa x(n) là tín hiệu có chu kỳ N (N>0) nếu và chỉ nếu: với mọi n và giá trị nhỏ nhất của N là chu kỳ cơ bản. Trường hợp không thoả mãn điều kiện này, tín hiệu là không có chu kỳ. Đối với tín hiệu có chu kỳ, năng lượng là vô hạn, công suất trung bình của nó là công suất trung bình trong một chu kỳ: (1.45) Thường giá trị này là hữu hạn nên tín hiệu có chu kỳ là tín hiệu công suất. 3.Tín hiệu đối xứng (chẵn lẻ) Tín hiệu có giá trị thực x(n) gọi là chẵn nếu: x(-n) = x(n) (1.46) Tín hiệu có giá trị thực x(n) gọi là lẻ: x(-n) = -x(n) (1.47) Ví dụ về các tín hiệu chẵn và lẻ trên hình 1-18 Hình 1-18 Tín hiệu chẵn (a) và lẻ (b) Một tín hiệu bất kỳ x(n) đều có thể biểu diễn được bằng tổng của hai thành phần chẵn xe(n) và lẻ xo(n): x(n) = xe(n)+xo(n) (1.48) Có thể xác định được thành phần chẵn và lẻ trong tín hiệu x(n): (1.49) 1.4.4 Một số phép tính đơn giản cho các tín hiệu rời rạc theo thời gian I.Biến đổi biến độc lập (thời gian) Phép dịch tín hiệu Tín hiệu x(n) có thể dịch theo thời gian bằng cách thay biến độc lập n bằng n-k (k, n là các số nguyên). Khi k>0, kết quả dịch làm trễ tín hiệu x(n) đi k đơn vị thời gian. Khi k<0 thì ngược lại quả dịch làm sớm tín hiệu x(n) lên |k| đơn vị thời gian. Ví dụ hình 1-19 là tín hiệu x(n) Tín hiệu x(n-3) là x(n) trễ đi 3 đơn vị thời gian, tín hiệu dịch phải Tín hiệu x(n+2) là x(n) sớm lên 2 đơn vị thời gian, tín hiệu dịch trái Hình 1-19 ví dụ (a) tín hiệu x(n), (b) trễ và (c) sớm Những phép dịch này có ý nghĩa quan trọng khi xử lý tín hiệu. Đối với các tín hiệu lưu trữ (off line) có thể thực hiện xử lý cả trễ và sớm, nhưng với tín hiệu thời gian thực (real time) thì khó có thể thực hiện làm sớm. ứng dụng phép dịch, có thể biểu diễn dãy x(n) bất kỳ dưới dạng tổng: (1.50) Là dãy tín hiệu có biên độ x(k) tại các thời điểm n=k và bằng 0 với các giá trị khác của n. Phép phản xạ (phép gấp hay đảo) Thay biến độc lập n của x(n) bằng –n, kết quả được ảnh phản xạ của tín hiệu qua gốc thời gian n=0: Ví dụ hình 1-20 là tín hiệu x(n) và ảnh phản xạ x(-n), x(-n+2): Hình 1-20 Ví dụ tín hiệu x(n) và các ảnh phản xạ Với tín hiệu y(n) = x(-n): y(0)=x(0) y(1)=x(-1) y(2)=x(-2),... y(-1)=x(1) y(-2)=x(2),... Với tín hiệu y(n)= x(-n+2): y(0)=x(2) y(1)=x(1) y(2)=x(0),... y(-1)=x(3) y(-2)=x(4),... Kết quả tín hiệu x(-n+2) là x(-n) dịch phải 2 đơn vị Chú ý: các tín hiệu x(n-k) và x(-n+k) có ký hiệu khác nhau nhưng đều là các tín hiệu x(n) và x(-n) dịch phải k đơn vị thời gian. Phép lấy tỷ lệ theo thời gian Thay thế biến độc lập n bằng mn với m là số nguyên dương Ví dụ hình 1-21 là tín hiệu x(n)