Hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thường dùng + Cung liên kết + Các công thức biến đổi. *Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ: + . 4 . 2 2 2 A B C SinA SinB SinC Cos Cos Cos   + . 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C CosA CosB CosC    + tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC + 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot C g B g A g C g B g A g  + 1 222 . 22 . 2  A tg C tg C tg B tg B tg A tg + cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 + sCCosACosBCoCSinBSinASin 22. 222  + CBACCosBCosACos sinsinsin21. 222  + Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC + Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC Các ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR . . 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg   Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b) 33 tgCtgBtgA dấu “=” xảy ra khi nào? HD: áp dụng BĐT côsi 3 ..3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA  lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta được đpcm. Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có : HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP. VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC =Cos(B-C).cosA + Cos2A + Cos(C-A).cosB +Cos2B + Cos(A-B).cosC + cos2C. thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos2A, cos2B, cos2C suy ra đpcm. Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có  2 2 21 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC    Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi 2. 222  CSinBSinASin Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 2tgA = tgB + tgC CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA HD: xuất phát:     tgCtgB tgCtgB CBtg .1 )( đpcm Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*) Mà cos(B - C) =2.cos[ )( CB  ] khai triển suy ra đẳng thức (*). Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:       2 cot 2 cot 2 cot 2222 1 sin 1 sin 1 sin 1 A g A g A g C tg B tg A tg CBA HD: thay 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot. 2 cot. 2 cot C g B g A g C g B g A g  áp dụng công thức nhân đôi. Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có CBABACCCosAB CSinBSinASin cossinsin2cossinsinsinsin2 . 222   Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR: cba 111  và 4 5 . 222  CCosBCosACos Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có: CBA R r coscoscos1  Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: bc aA Sin 22  , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk 22 . B tg A tgtgBtgA  CMR tam giác ABC cân Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có a cb CB   coscos thì tam giác vuông Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi 2 CB tg cb cb     Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk: 3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15 CMR tam giác vuông Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk 2 1 2 sin. 2 sin. 2 sin 2 cos. 2 cos. 2 cos  CBACBA CMR tam giác ABC vuông. Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk              2 4 2 sin cos1 1)( 22 3332 ba ba C C acbacba CMR tam giác ABC đều. Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk: gCgB CA cotcot3 sin 1 sin 1 2        CMR tam giác ABC là tam giác đều Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk 2 sin 2 sin 2 sin. CA CosCCosBCosA  B CMR tam giác ABC là tam giác đều Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: 9 22 . 2 222  C Cotg B Cotg A Cotg Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có 2 cos 2 cos 2 cossinsinsin CBA CBA  thì tam giác đều Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 8(p-a)(p-b)(p-c)=abc CMR tam giác đều Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk gCgBgA CBA C g B g A g cotcotcot 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 2 cot. 2 cot. 2 cot             Bài 23: CtgBtgtgACtgBtgAtg 22888 ..9 Bài 24: 81666  CtgBtgAtg Bài 25: Tìm GTNN biểu thức CBA M 2cos2 1 2cos2 1 2cos2 1       Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của: P= cosA+ cosB +cosC Bài 27: Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu thức )cos(cos3cos3 CABP  Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: 4 17 )coscos(sin3sin.sin.cos2  CBACBB Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?