Hệ thức lượng trong tam giác vuông

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. Định lý : Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. 2. Định lý Pitago : Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. Định lý đảo : Nếu một tam giác có một cạnh nào đó bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông thì góc đối diện với cạnh đó bằng 900. 3. Định lý trung tuyến : Trong một tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 4. Định lý hình chiếu : Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân giữa cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. 5. Định lý liên quan đường cao : Trong một tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân giữa hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Trong một tam giác vuông tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền. Trong một tam giác vuông nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. 6. Định lý liên quan tỷ số lượng giác : Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng : a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề; b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề. 7. Các hệ quả : Đường chéo hình vuông cạnh a : . Đường cao của tam giác đều cạnh a : . Ví dụ 1 : Cho Hãy viết các hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với DABC ? Bài giải Tam gác ABC vuông ở A ta có : 1) 2) , định lý Pitago. 3) . 4) . 5) . 6) . 7) . 8) ; . Ví dụ 2 : Tính , trong mỗi hình vẽ sau : a) b) c) d) e) f) Bài giải a) Vì , là độ dài các đoạn thẳng nên , . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÞÛ ÛÛ, (1). Mặt khác ta có : Þ Û . Nếu , thay vào (1) ta được : Û. Ta có hệ phương trình : Û . Nếu , thay vào (1) ta được : Û. Ta có hệ phương trình : Û , (loại). Vậy : . b) Vì , là độ dài các đoạn thẳng nên , . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÛÛ. ÛÛ. Vậy : . c) Vì , là độ dài các đoạn thẳng nên , . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÞÞÞ; ÞÞÞ. Vậy : , . d) Vì , là độ dài các đoạn thẳng nên , . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : Û ÛÛ; ÛÛ Û Vậy : . e) Vì , là độ dài các đoạn thẳng nên , . Ta có : ÞÞ; ÞÞÞ. Vậy : , . f) Vì , là độ dài các đoạn thẳng nên , . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÞÞ; ÞÞ ÞÞ. Vậy : . Ví dụ 3 : Trong tam giác vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Bài giải a) Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÛÛ Û . Ta có : Û Û. Tương tự : Û Û. Ví dụ 4 : Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. Bài giải Giải sử DABC vuông ở A thỏa mãn . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÛÛ Xét tam giác vuông AHB có : Û Û. Tương tự : Û Û. Ví dụ 5 : Cho một tam giác vuông biết tỷ số hai cạnh góc vuông là và cạnh huyền bằng . Hãy tính các cạnh góc vuông và hình chiếu của chúng trên cạnh huyền. Bài giải Giải sử DABC vuông ở A có tỷ số hai cạnh góc vuông là nếu cạnh AB có độ dài là 3a thì cạnh AC có độ dài 4a. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : ÛÛ Û. Suy ra hai cạnh góc vuông là : , . Mặt khác :ÛÛ. Tương tự : . Ví dụ 6 : Cho DABC vuông ở A biết và đường cao . Tính HB, HC. Bài giải Hai tam giác vuông DABH, DCAH đồng dạng nên : Û Û . Mặt khác ÛÛ. Ví dụ 7 : Cho DABC từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng . Bài giải Do MD vuông góc BC nên . Xét DBDM có nên . Tương tự ta có : , . Þ Û; Û . Định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn Cho tam giác ABC vuông ở A Ví dụ 8 : a) Dựng góc biết ; b) Dựng góc biết . Bài giải a) Dựng góc vuông , lấy một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị đo. Trên tia Oy lấy điểm M sao cho , lấy M làm tâm vẽ đường tròn tâm M bán kính ; đường tròn này cắt trục Ox tại điểm N. Thế thì : ! b) Dựng góc vuông , lấy một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị đo. Trên tia Oy lấy điểm M sao cho , trên tia Ox lấy N sao cho . Thế thì : ! Ví dụ 9 : Cho DABC vuông ở A, và . Biết , hãy tính a) cạnh AC; b) cạnh BC. Bài giải Ta có : ; Theo Pitago ta có : . Ví dụ 10 : Tính các tỷ số lượng giác của góc , , . So sánh các kết quả tìm được có thể rút ra tính chất gì ? Bài giải Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn thì có ngay . Trên tia đối của tia AC lấy C’ đối xứng với C qua A. Thế thì DBCC’ là tam giác đều, cạnh a. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : . Tỷ số lượng giác góc B Tỷ số lượng giác góc C . . . . . . . . Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn thì có ngay . Thế thì DABC là tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh a thì cạnh huyền . . . Û; . Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia; và ngược lại. Ví dụ 11 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết , . Tính tỷ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc C. Bài giải a) Ta có : . ; ; ; . Vì hai góc B, C phụ nhau nên ; ; ... Ví dụ 12 : Cho tam giác ABC vuông ở A kẻ đường cao AH. Tính , trong mỗi trường hợp sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ): a) , . b) , . Bài giải a) Ta có . . Mà ÞÞ. . b) Ta có . . ;. ;. Ví dụ 13 : Hãy tìm , ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ); nếu biết : a) b) . Bài giải a) Giả sử DABC có , . Ta có . ;. b) Giả sử DABC có , . Ta có . ; . Việc tính tỷ số lượng giác của các góc đặc biệt (, , , , ) dựa vào tam giác vuông nói chung là tương đối dễ. Tính tỷ số lượng giác của một góc bất kỳ không đơn giản chút nào. Ngày nay với sự hỗ trợ của máy tính chúng ta có thể tính tỷ số lượng giác của một góc bất kỳ một cách nhanh và tương đối chính xác. GIÚP BẠN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Mở máy bằng cách nhấn phím : SHIFT + ON . Chọn chế độ hiển thị : MODE 3 + 1 . Chọn số (4) chữ số thập phân đứng sau dấu phẩy : MODE4 + 1 + 4 . Ví dụ 1 : Nhập vào máy một góc bằng 270 19’ 36’’ ta nhấn các phím sau : 2 + 7 + 0’’’ + 1 + 9 + 0’’’ + 3 + 6 + 0’’’ + = có kết quả . Ví dụ 2 : Tìm tỷ số lượng giác của một góc nhọn cho trước : a) Giả sử tìm sin170 18’ 25’’ ta nhấn các phím sau : sin + 1 + 7 + 0’’’ + 1 + 8 + 0’’’ + 2 + 5 + 0’’’ + = có kết quả . b) Giả sử tìm cotg320 18’ 25’’ trên máy không có phím cotang nên ta biến đối đưa về hàm tang như sau : và ta nhấn các phím sau : 1 + ¸ + ( + tan + 3 + 2 + 0’’’ + 1 + 8 + 0’’’ + 2 + 7 + 0’’’ + ) + = có kết quả. Ví dụ 3 : Tìm góc nhọn khi biết một tỷ số lượng giác của nó : a) Giả sử tìm góc nhọn biết ta nhấn các phím sau : SHIFT + cos-1 + 0 + . + 2 + 7 + 3 + 6 + = + 0’’’ có kết quả. b) Giả sử tìm góc nhọn biết ta nhấn các phím sau : SHIFT + tan-1 + 2 + . + 6 + 7 + 5 + 0 + = + 0’’’ có kết quả. Tắt máy bằng cách nhấn phím : SHIFT + AC . Ví dụ 14 : Giả sử có hai chiếc thuyền đang ở vị trí A, B chọn hai vị trí trên bờ A, D sao cho khoảng cách và A, B, C thẳng hàng, từ D đo được , . Tính khoảng cách giữa hai thuyền B và C. Bài giải Xét Þ ta nhấn các phím sau : 380 + x + tan + 5 + 0 + 0’’’ + = có kết quả 452,8664. Xét Þ ta nhấn các phím sau : 380 + x + tan + 6 + 5 + 0’’’ + = có kết quả 814,9126. . Ví dụ 15 : Tính cạnh trong các hình vẽ sau : (a) (b) Bài giải a) Giả sử DABC có , , . Ta có : ; dùng máy tính tìm . Suy ra : . b) Giả sử DABC có , , . Ta có Û. Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng tọa độ, các đỉnh tam giác ABC có tọa độ như sau : ; ; . Hãy tính : a) Giá trị của , ( làm tròn đến 4 chữ số thập phân ); b) Độ dài cạnh AC. Bài giải a) Ta có : ; . Nên . b) Vì . Ví dụ 17 : Trong hình vẽ sau hãy tính , ( làm tròn đến số thập phân thứ tư ). Bài giải Từ L kẻ đường cao MH với cạnh LN; ta có : Xét DHMN có , Þ. Xét DHML có Þ. Þ Þ. Ví dụ 18 : Trong hình vẽ sau biết , , ; , . Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) c) d) AD. Bài giải a) . b) Þ. c) Þ. d) Þ . Ví dụ 19 : Trong hình vẽ sau biết , . Hãy tính : a) AD, BE b) c) . Bài giải a) Xét DACD có , ; Nên . Tương tự : . b) Þ. c) Û; Mà . Þ. Ví dụ 20 : Trong hình vẽ sau biết , , , . Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR. Bài giải a) Xét DPTQ, kẻ đường cao TK , ta có . ; Þ ; Þ . b) Ta có ; Kẻ đường cao RH, ta có . Xét DPTQ, ta có : ; Þ . Diện tích tam giác PQR : . Ví dụ 21 : Trong hình vẽ sau biết tam giac BCD đều cạnh bằng 5cm và . Hãy tính : a) AD b) AB. Bài giải a) Kẻ đường cao DE của tam giác đều BCD cạnh 5cm : ; Xét DADE có , , nên : Û. b) Xét DADE có , , Nên :; Þ . CÁC BÀI TOÁN CÓ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 1. Dạng bài toán biết cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông Bài toán 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền và góc nhọn . Tính các cạnh góc vuông và góc nhọn còn lại. Bài giải Ta có : ; . . Bài 1 : Thang AB dài 6,7 m tựa vào tường làm thành góc 630 với mặt đất. Hỏi chiều cao của thang đạt được so với mặt đất ? Bài giải Xét DABH biết , : . Bài 2 : Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 210. a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu ? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu ? b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu 1000m ? Bài giải a) Xét DABH biết , : Khi đó tàu ở độ sâu :. Cách nơi xuất phát . b) Muốn ở độ sâu 1000m thì tàu phải chạy quãng đường là : . 2. Dạng bài toán biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn của tam giác vuông Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh góc vuông và góc nhọn . Tính cạnh huyền, cạnh góc vuông kia và góc nhọn còn lại. Bài giải Ta có : ; Û. . Bài 1 : Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bóng của cột cờ ( chiếu bởi ánh sáng mặt trời ) dài 11,6 m và góc nhìn mặt trời là 36050’. Bài giải Xét DABH biết , : . Sợi dây dùng để kéo cờ dài : . Bài 2 : Một máy bay đang ở độ cao 10km. Khi nó hạ cánh xuống đất đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. a) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 30 thì cách sân bay bao nhiêu km phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh ? b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu ? Bài giải a) Xét DABH biết , : . b) Xét DABH biết , : Þ. Bài 3 : Điểm hạ cánh của máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người 300m, góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 400 và tại vị trí B là 300. Hãy tìm độ cao của máy bay ? Bài giải Nếu thì ; Xét DABH biết , : . Xét DBCH biết , : ; Suy ra : Û. 3. Dạng bài toán biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông Bài toán 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền và cạnh góc vuông . Tính các góc nhọn và cạnh góc vuông còn lại. Bài giải Ta có : Þ Þ. . Bài 1: Một chú mèo ở độ cao 6,5m. Muốn cho mèo từ từ đi xuống thì người ta cần đặt một cái thang dài 6,7m từ độ cao đó xuống đất. Hỏi cái thang đó tạo với mặt đất một góc là bao nhiêu ? Bài giải Xét DABH biết , : Þ . 4. Dạng bài toán biết hai cạnh góc vuông của tam giác vuông Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết hai cạnh góc vuông và . Tính cạnh huyền và hai góc nhọn. Bài giải Ta có : Þ Þ ; . Bài 1: Khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm được chiếu một chùm tia Gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u trên mặt da 8,3cm. a) Hỏi góc tạo bởi chùm tia với mặt da bệnh nhân ? b) Chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u ? Bài giải a) Xét DABH biết , :Þ. b) . Bài 2: Đài quan sát ở Toronto, Ontario, Canada cao 533m. Ở một thời diểm nào đó vào ban ngày, mặt trời chiếu thành bóng dài 1100m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu ? Bài giải Xét DABH biết , : Þ. LUYỆN TẬP Bài tập 1 : Tính , trong mỗi hình vẽ sau : (a) (b) (c) (d) Bài tập 2 : Cho một tam giác vuông biết tỷ số giữa một cạnh góc vuông và cạnh huyền là , cạnh góc vuông kia bằng . Hãy tính cạnh huyền, cạnh góc vuông còn lại và hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. Bài tập 3 : Cho DABC vuông ở A biết và đường cao . Tính HB, HC. Bài tập 4 : Trong tam giác vuông có độ dài hai cạnh là 5 và 12, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Bài tập 5 : Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài là 5 và 9. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này. Bài tập 6 : a) Dựng góc biết ; b) Dựng góc biết . c) Dựng góc biết ; d) Dựng góc biết . Bài tập 7 : Cho DABC vuông ở A, và , biết , hãy tính AC; BC. Bài tập 8 : Cho tam giác ABC vuông ở A kẻ đường cao AH. Tính , trong mỗi trường hợp sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ): a) , . b) , . Bài tập 9 : Hãy tìm , ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ); nếu biết : a) b) . CÁC BÀI TOÁN CÓ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Bài tập 1 : Thang AB dài 9m tựa vào tường làm thành góc 720 với mặt đất. Hỏi chiều cao của thang đạt được so với mặt đất ? Bài tập 2 : Một máy bay đang ở độ cao 12000m. Khi nó hạ cánh xuống đất đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. a) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 2059’ thì cách sân bay bao nhiêu m phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh ? b) Nếu cách sân bay 9000m máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu ? Bài tập 3 : Tìm chiều dài của dây kéo cờ, biết bóng của cột cờ (chiếu bởi ánh sáng mặt trời) dài 12,6m và góc nhìn mặt trời là 27054’. Bài tập 4 : Tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 180. a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 360m thì nó ở độ sâu bao nhiêu ? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang so với nơi xuất phát là bao nhiêu ? b) Tàu phải chạy bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu 900m ? Bài tập 5 : Điểm hạ cánh của máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người 500m, góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 30045’ và tại vị trí B là 42009’. Hãy tìm độ cao của máy bay ? ÔN TẬP CHƯƠNG I 1) 2) , định lý Pitago. 3) . 4) . 5) . 6) . 7) . 8) ; . Hệ quả : 1. Đường chéo hình vuông cạnh a : . 2. Đường cao của tam giác đều cạnh a : . BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC VUÔNG Bài toán 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền và góc nhọn . Tính các cạnh góc vuông và góc nhọn còn lại. Bài giải Ta có : ; . . Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh góc vuông và góc nhọn . Tính cạnh huyền, cạnh góc vuông kia và góc nhọn còn lại. Bài giải Ta có : ; Û. . Bài toán 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền và cạnh góc vuông . Tính các góc nhọn và cạnh góc vuông còn lại. Bài giải Ta có : Þ Þ. . Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết hai cạnh góc vuông và . Tính cạnh huyền và hai góc nhọn. Bài giải Ta có : Þ Þ ; .