Hình học không gian - Trường THPT Hoài Đức C

Hình học không gian Chương 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng I.Các dạng toán thường gặp: #Vấn đề1:Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng (P),(Q) *Phương pháp: P Q M a b Tìm trong (P) đường thẳng a. Tìm trong (Q) đường thẳng b sao cho a, b đồng phẳng khi đó nếu ab =M M là điểm chung của (P)và (Q). #Vấn đề2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P), (Q). P Q N M *Phương pháp: Tìm 2 điểm chung của (P), (Q) là M, N(P)(Q)=MN #Vấn đề3:Tìm giao điểm của đường a và (P). *Phương pháp: M P Q a b Dựng mặt phẳng phụ (Q) a, (Q) (P)=b, ab=M M là điểm chung của (P)và a. #Vấn đề4: Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(P). b/ Thiết diện của hình chóp : Cho hình chóp S.A1A2A3....An và (P) D c A E I B K Mặt phẳng (P) có thể cắt các mặt của chóp theo các đoạn giao tuyến tạo đa giác phẳng gọi là thiết diện *(P) cắt chóp A.BCD theo thiết diện là tam giác IKE *Phương pháp:Tìm các đoạn giao tuyến của (P) với các mặt của chóp (nếu có ) thiết diện là đa giác có các cạnh là các đoạn giao tuyến. *Phương pháp vẽ hình trong không gian: Sự song song được bảo toàn trong không gian Đường thẳng // vẽ thành đường thẳng // Hai đoạn thẳng // và bằng nhau vẽ thành hai đoạn thẳng // và bằng nhau Tỉ số được bảo toàn trong không gian Trung điểm của đoạn thẳng vẽ thành trung điểm của đoạn M chia đoạn thẳng theo tỉ số k vẽ thành điểm M chia đoạn thẳng theo tỉ số k Dùng nét liền để biểu diễn những đường thẳng nhìn thấy, dùng nét đứt đoạn (.......) để biểu diễn những đường không nhìn thấy (bị khuất) Hai góc bằng nhau không nhất thiết phải vẽ thành hai góc bằng nhau: Ví dụ một góc vuông có thể biểu diễn thành một góc nhọn hoặc một góc tù miễn sao tạo hình vẽ dễ hình dung Một số hình vẽ thông dụng: II.Một số bài toán áp dụng. Bài tập số 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M là điểm ở bên trong tam giác SCD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC) Bài tập số 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh AB và M là một điểm di động trên cạnh CD ; P là một điểm xác định bởi đẳng thức : . Chứng minh rằng IM và AP mỗi đường luôn nằm trong mặt cố định khi M di động trên CD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cố định trên. *Bài 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi G1 là trọng tâm của tam giác BCD. Điểm G chia đoạn AG1 theo tỷ số -3 a/ Tìm giao điểm I của AB và (CDG) và có nhận xét gì về vị trí của I ? b/ Giả sử G2 là trọng tâm của tam giác ABC. CMR: G1G2// AD c/ K là trung điểm của AD. Tìm thiết diện của chóp bị cắt bởi (IKG)? Thiết diện là hình gì ? *Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình thoi, SAD =SAD, điểm M, N lần lượt nằm trên SB, SD sao cho SM=SN a/Tìm giao tuyến của (AMN) và (ABCD) b/Tìm giao điểm của (AMN) và SC c/Dựng thiết diện của chóp bị cắt bởi (AMN) và nhận xét tính chất của thiết diện *Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BD. Điểm K chia đoạn BD theo tỷ số -2 a/ Tìm giao điểm E của CD và (IJK). CMR: DE=DC b/Tìm giao điểm F của AD và (IJK). CMR: FA= 2FD c/CMR: FK//IJ d/M, N là hai điểm bất kỳ trên AB, CD. Tìm giao điểm của MN với (IJK) *Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy tính IK? M di động trên BC nhưng không trùng với trung điểm của BC.Tìm thiết diện của tứ diện bị cắt bởi (MIK). *Bài 7. Cho chóp S.ABCD. Gọi M, N lầnlượt trên BC, SD a.Tìm giao điểm I của BN và (SAC), giao điểm K của MN và (SAC). b.Tìm t/d của hình chóp với (BCN). *Bài 8. Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với AB là cạnh đáy lớn .I là trung điểm của SC. () quay quanh AI cắt SB, SD lần lượt tại M, N. a.CMR: MN luôn đi qua một điểm cố định . b.IM cắt BC tại P, IN cắt CD tại Q. CMR: PQ luôn đi qua một điểm cố định. c.Khi M di động trên SB thì giao điểm của IM và AN chạy trên đường nào. *Bài 9. Cho chóp S.ABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Lấy M trên SC sao cho = a.Xác định t/d của chóp và (KMN). b.(KMN) cắt AB tại L. Tính tỉ số *Bài 10. Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, AD. Đường BN cắt CD tại I. G là trọng tâm của tam giác SAD. CMR: M, I, G thẳng hàng.Tìm t/d của chóp cắt bởi (CGM). CMR: Trung điểm của SA thuộc t/d này. Tìm t/d của chóp cắt bởi (AGM). *bài 11. Cho 5 điểm A, B, C, D ; trong đó không có ba điểm nào cùng thuộc một mặt phẳng . Gọi I là trung điểm của hai trong ba điểm và G là trọng tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại Có bao nhiêu đoạn IG như vậy? Chứng minh rằng tất cả các đoạn thẳng như thế là đồng qui? *Bài 12. Cho hai đường thẳng cố định Ox và Oy trong mặt phẳng (P) và M, N là hai điểm cố định ở ngoài (P). Gọi (Q) là mặt phẳng lưu động chứa M, N và cắt Ox, Oy lần lượt tại E, F . Chứng minh rằng đường thẳng EF thường thường đi qua một điểm cố định. Dựng mặt phẳng (Q) sao cho tam giác OEF cân. *Bài 13. Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy bằng (0<<) xác định bởi hai nửa đường thẳng Ox và Oy. A và A’ là hai điểm cố định ở cùng phía so với mặt phẳng (P) và AA’cắt (P) tại I. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AA’ và cắt ox tại B và cắt Oy tại B’. AB cắt A’B’ tại M và AB’ cắt A’B tại N. Xác định (Q) sao cho diện tích tam giác OBB’ có giá trị nhỏ nhất. Chứng minh MN luôn luôn đi qua một điểm cố định *Bài 14. Cho hình bình hành ABCD, Gọi S là điểm ở ngoài (ABCD). M và N là trung điểm của AB và SC. Tìm giao điểm I, K của AN và MN với mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số Chứng minh rằng B, I, K thẳng hàng và tính tỉ số *Bài 15. Cho tứ diện SABC, I là trung điểm của SA, J là trung điểm của BC. Gọi M là một điểm di động trên IJ, N là điểm di động trên SC. Xác định giao điểm P của MC và (SAB) Tìm giao tuyến của (SMP) và (ABC). Xác định giao điểm E của MN và (ABC). Gọi F là giao điểm của IN và AC. Chứng minh rằng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi MN di động *Bài 16. Cho hình tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau. Gọi I là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi E là trung điểm của AI. Hạ EK vuông góc với AD ( K thuộc AD) Chứng minh rằng EK đi qua trọng tâm H của tam giác ABC, từ đó suy ra rằng EH=EK. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (BCE) và hình tứ diện. Gọi L là giao điểm của mặt phẳng (BCE) và AD. Tính tỉ số *Bài 17. Cho tứ diện ABCD và hai điểm M, N lần lượt ở trên các cạnh AD; CD? Hãy dựng thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng (BMN) Hãy tính diện tích thiết diện nếu tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng a và M, N lần lượt là trung điểm của AD; CD *Bài 18. Dựng thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi mặt phẳng đi qua cạnh CD và điểm M ở miền trong tam giác ABC Tính diện tích thiết diện, nếu tất cả các cạnh của tứ diện đều bằng a và đường thẳng CM đi qua trung điểm cạnh AB Chương 2 Quan hệ song song I.Các dạng toán thường gặp: *Vấn đề 1: Chứng minh (a//b) #Phương pháp: (Dùng một trong các cách sau) a//b {a, b đồng phẳng, ab=} a//b {a//c, b//c} Ap dụng các định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng *Vấn đề 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng # Phương pháp: b1: Tìm 1 điểm chung của hai mặt phẳng b2: áp dụng các định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến đi qua điểm chung của hai mặt phẳng và // với một đường thẳng đã có *Vấn đề 3: Chứng minh a//(P) # Phương pháp: Tìm trong (P) một đường b sau đó chứng minh a//ba//(P) *Vấn đề 4:Chứng minh (P)//(Q) # Phương pháp:Tìm trong (P) hai đường thẳng cắt nhau avà b sau đó chứng minh a//(P), b//(Q) (P)//(Q) *Vấn đề 5: Tìm thiết diện của (P) với khối đa diện biết (P)//(Q) # Phương pháp: AD: {(P)//(Q), (P) (R)=a}(P) (Q)=b, b//a Chú ý: (R) là một trong các mặt của khối đa diện , (Q) là mặt phẳnp có sẵn III.Bài tập áp dụng : 1. Cho tứ diện ABCD. I, J là các trung điểm của AB, CD, M thuộc AC a/ Dựng giao điểm N của BD với (IJM) b/ Dựng giao điểm E của (BCD) với đường thẳng đi qua M và // với IJ c/ Gọi K là trung điểm của BC. CMR: (KIJ)//(MCE) d/ CMR: S IMJ = SINJ 2. Cho hình chóp SABCD có đáy là HV cạnh a. Trên AB lấy M với AM=x. Gọi () là mp qua M và // (SAD) , cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P, Q. a/ Tứ giác MNPQ là hình gì b/ Tịm quĩ tích I=MNPQ khi M di động trên đoạn AB c/ Cho góc SAD =1v và SA=a. Tính SMNPQ theo a, x. Tính x để A=3a2/8 3. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. a/ CMR: AC’A’C=M; BD’B’D=N b/ CMR: Độ dài k/c giữa các giao điểm M, N của hai cặp đường chéo nói trên bằng độ dài đoạn nối trung điểm của hai đường chéo đáy. c/ Tìm thiết diện của lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng chứa M, N và // với 2 đáy của lăng trụ. 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’. CMR: (IKG)//(BB’C’C), (A’KG)//(AIB’). 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O a/ Từ một điểm M di động trên đoạn SA dựng đường thẳng song song với AD cắt SD tại N, NB cắt SO tại P. Chứng minh rằng MP đi qua một điểm cố định. b/ Trên cạnh CD lấy điểm Q sao cho . Chứng minh rằng MQ luôn song song với một mặt phẳng cố định. c/ Tìm vị trí của M trên SA để tam giác MNQ có diện tích lớn nhất. 6. Cho tứ diện ABCD. M thuộc đoạn BC a/ Dựng thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi mặt phẳng đi qua M và song song với AB và CD. Thiết diện là hình gì tại sao? b/ G là trọng tâm tam giác BCD. Dựng giao điểm của thiết diện với AG c/ Tìm vị trí của M trên BC để thiết diện là hình thoi. d/ M di động trên đoạn BC. Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của thiết diện trong câu a/ nằm trên một đường thẳng cố định. 7. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tâm hình bình hành A A1C1C, BB1C1C. a/ Tìm giao điểm K của (MNP) và B1C1, giao điểm L của (MNP) và CC1 b/ Tính các tỉ số: 8. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. M, N, P thuộc các cạnh tương ứng A A1, CC1, C1D1 sao cho =k a/ Tìm thiết diện của hộp bị cắt bởi (MNP) b/ Thiết diện cắt BC tại Q Tìm vị trí Q trên đoạn BC c/ Với và hình hộp là hình lập phương cạnh a tính diện tích thiết diện. 9. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thang cân với AD =DC=CB =. Cho điểm M và N trên BB’ và CC’ sao cho a/ Dựng thiết diện của lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng (AMN). b/ Chứng minh rằng thiết diện là hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy bé: AM=2NP c/ Tìm tập hợp giao điểm hai cạnh bên của thiết diện khi M và N di chuyển sao cho d/ Chứng minh rằng : BM+2DP=2CN 10. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và các điểm P, Q, R lần lượt chia trong các cạnh AB, BC, A’B’ theo tỷ số . Dựng thiết diện của hình hộp bởi mặt phẳng qua R song song với A’P và C’Q. Thiết diện chia C’D’ và CC’ theo tỷ số nào? Cho thêm điều kiện hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương có cạnh bằng a. Tính chu vi thiết diện dựng được. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với K trên cạnh AB. Một mặt phẳng qua K song song với mặt (ADD’A’) cắt các cạnh DC, D’C’ , A’B’ theo thứ tự ở M, N, I. i) Khi K di chuyển trên AB tìm tập hợp giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNIK ii) Cho E là trung điểm của BC, mặt phẳng (MNIK) cắt AB’, A’C, D’E ở F, G, H. Dựng các điểm này. iii) Khi K di chuyển trên AB tìm tập hợp trọng tâm tam giác FGH. 11. Cho hình chóp SABCD . Đáy ABCD là hình bình hành, điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SD Dựng thiết diện của chóp bị cắt bởi mặt phẳng (MNP). Giả sử đáy ABCD là hình vuông cạnh a, điểm I là trung điểm của SA, hãy dựng thiết diện của chóp bị cắt bởi mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (ABCD)? Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện? 12. Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cắt (P) tại A, B.là một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với (P) cắt d1 tại M và d2 tại N. Đường thẳng d3 qua N song song với d1 cắt (P) tại N’. Tứ giác AMNN’ là hình gì? Chứng minh đường thẳng NN’ nằm trong một mặt phẳng cố định. Tìm tập hợp điểm N’ . Xác định vị trí của đường thẳng để độ dài MN nhỏ nhất. 13. Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau trên Ax lấy một điểm M, trên By lấy một điểm N sao cho AM=BN. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax. Nêu cách xác định mặt phẳng (Q) Đường thẳng qua M song song với AB cắt (Q) tại P. CMR: NP luôn song song với một đường thẳng cố định khi M thay đổi. Từ đó hãy chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng cố định c. Gọi O, I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, MP, NP, MN. CMR: Mặt phẳng (OIK) song song với (Q). Khi M chạy trên Ax tìm tập hợp các điểm I, J, K *Bài tập áp dụng. 1.Cho chóp tứ giác đều S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a a.Tính k/c từ tâm đáy O đến mặt bên b.Tính k/c giữa AC và SD c.Tính k/c giữa AB và (SDC), SD và AB d.Tính góc giữa cạnh bên và đáy e. Xác định và tính góc phẳng nhị diện [A,SB,C] f.Dựng và tính diện tích t/d tạo bởi chóp và (P) qua AB và(P)(SDC) g. Giả sử S’O = a/2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD, BC. CMR : (S’AC) (S’BD); BCS’I; (S’AD) (S’BC) 2.Cho chóp S.ABCD, SA= a, SA(ABCD), ABCD là hình thang vuông ở Avà B, AD = 2BC = 2AB = 2a. a. CMR:Các mặt bên chóp là các tam giác vuông. b. Xác định và tính khoảng cách từ A đến (SBC) c. Xác định và tính góc giữa SD và (SAC). d. Xác định và tính k/c giữa SB và CD. e. E là trung điểm SA. Xác định và tính diện tích t/d của chóp và (EBC). 3.Cho tam giác ABC vuông tại C nằm trong (P). Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A ta lấy một điểm S. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. a. CMR: Các mặt của tứ diện SABC đều là tam giác vuông . b. Tìm tập hợp các điểm D và E khi S di động trên d. c. CMR: AE vuông góc với (SBC), DE vuông góc với SB và AE. 4.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh BC, DC sao cho BM = a/2, DN=3a/4. a. CMR: Hình chóp S.AMN có các mặt đều là tam giác vuông b. CMR: (ASM) vuông góc (SMN) 5.Cho tứ diện ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. a. CMR: AO vuông góc với (BCD) và tính AO. b. Gọi I là trung điểm AO. Tính độ dài IB, IC, ID và CMR: Chúng vuông góc với nhau từng đôi một 6.Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. a. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC và DC’. b. CMR: A’C vuông góc với(BDC’). d.Gọi G là trọng tâm của tam giác A’C’D’. (GAC) cắt hình lập phương theo t/d là hình gì. Tính diện tích t/d đó. 1.Cho chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng a, một mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng. Xác định tâm và tính bán kính m/c ngoại tiếp. 2.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài là a, b, c. Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện. 3.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a với góc BAD=600. Hình chiếu B’ trên (ABCD) trùng với O; cạnh bên BB’= a. a.Tính chiều cao và thể tích hộp ; Tính Stp b.CMR:5 điểm A, B, C, B’, D’ cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính 4.Cho hai đường thẳng chéo nhau Ax, A’y có AA’ là đoạn vuông góc chung. Mặt phẳng (P) chứa AA’ và vuông góc với Ax. Đặt AA’=a. Một đường thẳng thay đổi luôn // (P) lần lượt cắt Ax, Ay tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên (P) là M1 a.Xác định tâm O của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’, M, M’, M1. Tính diện tích m/c theo a, x=A’M’ và góc =(Ax,Ay) b.CMR:Khi x thay đổi m/c trên luôn chứa một đường tròn cố định.