Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7

A - Đặt vấn đề Lời mở đầu: ở trường phổ thông, dạy toán là một hoạt động toán học. Đối với học sinh, có thể xem giải toán là một hoạt động đóng vai trò chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập là các phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải bài tập là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với việc nâng cao chất lượng dạy và học Toán, đồng thời góp phần rèn luyện và phát triển trí tuệ cho học sinh. Thực trạng: Khi dạy môn Toán tôi nhận thấy việc phát hiện, tìm tòi, suy luận để tìm ra hướng giải cho một bài toán của các em còn rất yếu, nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa biết cách phân loại, hệ thống kiến thức cũng như mức độ khó của từng dạng bài tập và tìm ra cách giải phù hợp nên các em thường rất mông lung khi gặp một dạng mới, một dạng biến đổi của các bài toán đặc trưng. Đối với các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 là một ví dụ, đây là một trong những dạng toán mà các hầu hết các em đều cảm thấy bỡ ngỡ và mông lung khi gặp phải. Lớp 7 các em đã được học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức, các tính chất của các tỉ lệ thức tuy nhiên hầu hết các em chưa nắm vững kiến thức cơ bản, còn hiểu lơ mơ về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, chưa xây dựng được đường lối giải bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, phần đa các em chưa biết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau như thế nào cho đúng, hay cần phải biến đổi dãy tỉ số cho trước như thế nào để có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào bài toán cụ thể, vì vậy các em cho rằng đây là dạng toán khó, rắc rối và việc liên hệ giữa kiến thức cơ bản với phương pháp giải các bài tập chưa được hình thành, hơn nữa khả năng tư duy liên hệ lý thuyết của các em còn kém. Qua giảng dạy và lắng nghe thông tin phản hồi từ các em kết hợp với công tác dự giờ rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi đã phần nào rút ra được nguyên nhân và cách giải quyết vấn đề giúp các em dễ dàng phân loại dạng bài tập loại này để có hướng giải phù hợp với điều kiện bài cho. 3. Kết quả: Từ thực tế giảng dạy và qua khảo sát -kiểm tra đánh giá bước đầu tôi thu được kết quả kiển tra như sau: Kết quả khảo sát- kiểm tra chất lượng giữa học kỳ I toán 7 – năm học 2007 –2008 Trường THCS Nga Tân STT Lớp Sĩ Số Kết quả Giỏi Khá T. B Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 1 7C 33 0 0 4 12,1 10 30.3 6 18.2 13 39.4 2 7D 33 0 0 3 9.1 11 33.3 7 21,2 12 36.4 4. Giải pháp thực hiện: Vấn đề đặt ra đối với đa phần học sinh và mục đích chính trong sáng kiến này là hướng dẫn học sinh phân loại dạng bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài tập bằng cách áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay lập được các tỉ số mới từ các tỉ số đã cho trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán. Vì thế tôi đã phân loại các bài toán sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau như sau nhằm giúp các em có một cái nhìn sâu hơn về cách giải các bài tập dạng này. Từ thực trạng kết quả trên là tôi đã phân loại các bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ra các dạng cụ thể và cách giải của từng dạng để qua đó học sinh có thể đễ dàng tiếp thu và vận dụng vào các bài tập. Đó là: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập được các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng được dữ kiện bài toán. Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa. Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra được dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau giải. Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu. Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhưng học sinh hay nhầm lẫn. Từ việc phân lại như trên và giới thiệu cho các em tôi thấy qua các tiết học các em tiếp thu kiến thức và áp dụng vào các bài tập cụ thể tốt hơn, các em có thể thi đua nhau tìm cách giải cho một bài tập dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau làm cho không khí tiết học sôi nổi, vui vẻ hơn, không còn gò bó nặng nề, các em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng. * Với học sinh đại trà: Sau khi học xong phần này các em nắm chắc và biết cách giải các bài toán Dạng1, Dạng 2 , Dạng 4 và Dạng 6 * Với học sinh khá giỏi: Các em nắm được cả 6 dạng và có những cách giải khác nhau cho những bài toán dạng này. B – Giải quyết vấn đề: Về kiến thức: Yêu cầu các em cần nhớ: * Về tỉ lệ thức: + Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số hoặc (a,b,c,d là các số hạng của tỉ lệ thức, a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ ) + Các tính chất của tỉ lệ thức: + Nếu (tích các ngoại tỉ bằng tích các trung tỉ) + Nếu và thì ta có các tỉ lệ thức sau: (hoán vị các trung tỉ, các ngoại tỉ, cả trung tỉ và ngoại tỉ ta sẽ được một tỉ lệ thức mới) * Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau: + Từ dãy tỉ số hoặc Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: * * Lưu ý: Nếu đặt dấu “- ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “-” trước số hạng dưới của tỉ số đó. Về phương pháp giải bài tập: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng này tập trung chủ yếu vào đối tượng học sinh trung bình, yếu để các em củng cố và khắc sâu hơn kiến thức về tính chất dãy tỉ số bằng nhau. VD1: Tìm x,y biết: a) và ; b) và Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a) b) VD2: Tìm x,y,z biết: a) và ; b) và Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a) b) Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết và Với là các số cho trước và Phương pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sau khi đã lập được các tỉ số mới bằng các tỉ số đã cho để sử dụng được dữ kiện bài toán. VD1: Tìm x, y biết: a) và ; b) và ở đây học sinh sẽ băn khoăn vì không biết làm thế nào để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Gợi ý: Vì bài cho điều kiện câu a) như vậy muốn sử dụng dữ kiện này thì từ dãy tỉ số ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong đó các số hạng trên của nó có dạng và Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a) b) VD2: Tìm x, y,z biết: a) và ; b) và Cách giải: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a) b) Dạng này học sinh rất dễ nhầm lẫn( đôi khi không biết vậy thì khi nào thì đặt dấu “-” trước tử hay mẫu của tỉ số trong dãy tỉ số bằng nhau). Nhấn mạnh: Dấu “-” đặt trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt trước số hạng dưới của tỉ số đó. Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết và Với là các số cho trước và Phương pháp giải như sau: Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ sốta được Dạng 3: Dạng bài tập có sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà phần điều kiện cho thêm các biến có dạng luỹ thừa. VD1: Tìm x,y biết: a) và ; b) và Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến. Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên như thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau? Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên để suất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phương các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên. Cách giải: Ta có: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: kết hợp với (1) hoặc Ta có: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: kết hợp với (1) hoặc VD2: Tìm x, y,z biết: a) và b) và Cách giải: a) Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: kết hợp với (1) hoặc b) Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: kết hợp với (1) hoặc Tổng quát lên với bài tập dạng: Tìm x,y,z biết và Với là các số cho trước và Phương pháp giải như sau: Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số ta được: Dạng 4: Từ dữ kiện bài cho rút ra được dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau giải. VD1: Tìm x, y,z biết: a) và ; b) và ở dạng này học sinh sẽ thấy bài cho hoàn toàn chưa có dãy tỉ số bằng nhau, vậy làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau từ các tỉ lệ thức trên. Gợi ý: Vì ở cả hai tỉ lệ thức đều có y, vậy nên ta sẽ biến đổi hai tỉ lệ thức trên sao cho chúng sẽ có cùng một tỉ số chứa y bằng cách chia cả hai vế của hai tỉ lệ thức trên cho số nào đó để cả hai tỉ lệ thức thu được đều có tỉ số chứa y như nhau tức là các mẫu của các tỉ số chứa y sẽ là BCNN của các mẫu số ban đầu chứa y. Cụ thể: Biến đổi để các tỉ số chứa y ở câu a) có mẫu là BCNN(3;4) còn ở câu b) có mẫu là BCNN(3;2). Cách giải: Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: VD2: Tìm x, y,z biết: a) và ; b) và ở đây vì dãy tỉ số đã cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Vậy làm thế nào để sử dụng dãy tỉ số bằng nhau đã cho cho phù hợp. Gợi ý: Ta nên ta chia các tỉ số đó cho BCNN của các hệ số của tử số Cụ thể Câu a) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;3;4)=12 Câu b) ta chia các tỉ số đó cho BCNN(2;5;3)=30 Cách giải: a) Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: b) Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: VD3: Tìm x, y biết: a) và ; b) và Cách giải: Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: Từ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: Dạng 5: Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh sự tồn tại của các dãy tỉ số mới từ các tỉ số ban đầu. VD: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng: a) ; b) Cách giải: Từ . áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a) Từ Từ b) Từ Dạng 6: Dạng bài tập không sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhưng học sinh hay nhầm lẫn. VD: Tìm x,y,z biết: a) và ; b) và Dạng này học sinh rất hay nhầm lẫn vì các em thấy có xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau ở phần đầu, vì thế đa số các em áp dung luôn tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải. Ví như các em đã giải như sau: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: a) b) Tuy nhiên kết quả trên không được chấp nhận vì tính chất dãy tỉ số bằng nhau không đúng đối với phép nhân. Vì vậy với dạng này các em nên giải như sau: Cách giải: Đặt Thay vào ta được: -Với -Với Đặt Thay vào ta được: Vậy các giá trị x,y,z thoả mãn bài toán là: x=-2; y=-3; z=-4 Lưu ý: Cách giải này học sinh có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở trên, tuy nhiên trong quá trình giải bài tập cụ thể các em có thể chọn lựa phương pháp giải phù hợp nhất với bài. C- Kết luận: 1. Kết luận: Qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng sáng kiến trên vào công tác giảng dạy Toán ở trường THCS tôi nhận thấy từ chỗ các em còn bỡ ngỡ, mơ hồ, chưa hiểu, chưa định hướng được phương pháp giải các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì sau khi thể hiện sáng kiến trên học sinh đã nắm vững được tính chất dãy tỉ số bằng nhau và biết cách phân loại các bài tập loại này ra các dạng cụ thể để vận dụng đúng cách giải và bài. Trên cơ sở đó nhen nhóm dần cho học sinh lòng ham mê, niềm tin vào khả năng của bản thân mình trong việc học toán, tự tin vào việc tiếp thu kiến thức mới và Vậy các giá trị x, y thoả mãn bài toán là: và còn tự tìm được các phương pháp giải khác nữa. Qua kết quả kiểm tra cuối học kỳ tôi thấy rằng kết quả học tập của các em đã được năng lên rõ rệt. Kết quả kiểm tra cuối kì như sau: Kết quả khảo sát chất lượng môn toán 7 năm học 2007-2008 sau khi học xong phần này như sau: STT Lớp Sĩ Số Kết quả Giỏi Khá T. B Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 1 7C 33 1 3 8 24.2 14 42.4 6 18.2 4 12.1 2 7D 33 1 1 6 18.2 14 42.4 7 21.2 5 15.2 Đề xuất: Trên đây là một vài dạng toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7 mà tôi đã rút ra được trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy cũng có thể áp dụng được cho giảng dạy ở tất cả các lớp khối 7 khi học phần tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Trên đây chỉ là một vài kinh nghiệm nhỏ được rút ra trong quá trình giảng dạy toán 7 của bản thân, chắc rằng còn nhiều sai sót tồn tại nhưng tôi xin mạnh dạn trình bày. Rất mong được sự đóng góp ý kiến chân tình của các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.