Khám phá Maple 11 - Chương 6: Đa thức

Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 1 ĐA THỨC I. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN ĐA THỨC. Với các đa thức ta có thể thực hiện các phép toán như ‘cộng’, ‘trừ’, ‘nhân’, ‘chia’ các đa thức. Ví dụ : Cho hai đa thức ( ) ( )2 3 23 2; 4 3 2f x x x g x x x x= - + = + - - . > f:=x^2-3*x+2;g:=4*x^3+x^2-3*x-2; := f - + x2 3 x 2 := g + - - 4 x3 x2 3 x 2 Cộng hai đa thức trên ta được: > 'f+g'=f+g; = + f g - + 2 x2 6 x 4 x3 Trừ đa thức f cho đa thức g ta được: > 'f-g'=f-g; = - f g - 4 4 x3 Nhân hai đa thức trên ta được: > 'f.g'=f*g; = . f g ( ) - + x2 3 x 2 ( ) + - - 4 x3 x2 3 x 2 Để xem kết quả khai triển ta dùng hàm > expand(f.g); > 'f.g'=expand(f*g); = . f g - + + - 4 x5 11 x4 2 x3 9 x2 4 Chia đa thức f cho đa thức g ta được: > 'f/g'=f/g; = f g - + x2 3 x 2 + - - 4 x3 x2 3 x 2 Dễ nhận thấy f và g có chung nghiệm 1x = . Bây giờ để tối giản phân thức f g ta dùng lệnh > normal(f/g); > 'f/g'=normal(f/g); = f g - x 2 + + 4 x2 5 x 2 II. CÁC HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC. 1. Sắp xếp lại một đa thức, danh sách. Cú pháp: > sort(L) > sort(L, F) > sort(A) Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 2 > sort(A, V, opt1, opt2, ... ) Trong đó: - L : là một danh sách các giá trị cần sắp xếp. - A : là một biểu thức đại số. Ở đây, tôi chỉ giới thiệu việc sắp xếp đa thức. Ví dụ: Xét đa thức ( ) 2 3 42 5 7 4f x x x x x= - + - + . Ta sắp xếp đa thức trên như sau: > restart;f:=x-2*x^2+5*x^3-7+4*x^4; := f - + - + x 2 x2 5 x3 7 4 x4 > f:=sort(f,x); := f + - + - 4 x4 5 x3 2 x2 x 7 Để sắp xếp f theo chiều tăng dần (giảm dần) của bậc ta khai báo thêm argument “ ascending” (“descending”). > f:=sort(f,x,ascending); := f - + - + + 7 x 2 x2 5 x3 4 x4 Ví dụ: Xét đa thức ( ) 3 2 2 3p x y x y x= + + . +Sắp xếp đa thức trên theo chiều giảm dần bậc của biến x, ta được: > restart;p := y^3+y^2*x^2+x^3: sort(p,x,descending); + + x3 y2 x2 y3 +Sắp xếp đa thức trên theo chiều tăng dần bậc của biến y, ta được: > sort(p,y,ascending); + + x3 x2 y2 y3 +Sắp xếp đa thức trên theo chiều tăng dần bậc của đa thức, ta được: > sort(p,[x,y],ascending); + + y3 x3 x2 y2 +Sắp xếp đa thức trên theo chiều giảm dần bậc của đa thức, ta được: > sort(p,[x,y],descending); + + x2 y2 x3 y3 Ví dụ: Cho đa thức ( ) 23 2 3g x x xy yz x= + - + - . +Sắp xếp đa thức trên theo thứ tự biến x, y, z và bậc giảm dần, ta được: > sort(g,[x,y,z],descending); - + + - x2 2 x y 3 y z x 3 +Sắp xếp đa thức trên theo thứ tự biến x, z và bậc tăng dần, ta được: > sort(g,[x,z],ascending); - + - + + 3 3 y z 2 y x x x2 Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 3 2. Nhóm các hệ số của các luỹ thừa cùng bậc của một đa thức. Cú pháp: > collect(a, x, form, func) ; Trong đó: - a : là một đa thức (biểu thức); - x: là biến hoặc tập hợp các biến hoặc một hàm; - func: là thủ tục (thường là simplify hoặc factor ); - form: là tên (thường là recursive (đệ quy) hoặc distributed (phân phối)) Ví dụ: Đơn gian biểu thức sau bằng cách nhóm các số hạng ( ) 2 23 5p x x mx mx x= + - + - +Đơn giản biểu thức trên bằng cách nhóm các số hạng theo luỹ thừa của x: > p:=x^2+3*m*x-5+m*x^2-x; := p + - + - x2 3 m x 5 m x2 x > p:=collect(p,x); := p - + + 5 ( ) + m 1 x2 ( )- + 1 3 m x +Sắp xếp biểu thức trên theo ẩn số x , ta được: > p:=sort(p,x); := p + - ( ) + m 1 x2 ( )- + 1 3 m x 5 +Đơn giản biểu thức trên bằng cách nhóm các số hạng theo luỹ thừa của m: > p:=collect(p,m); := p + - - ( ) + x2 3 x m x2 x 5 +Ta có thể dùng thêm hàm factor để phân tích các hệ số thành tích: > p:=collect(p,m,factor); := p + - - x ( ) + x 3 m x2 x 5 Ví dụ: Cho biểu thức ( ) 2 2p x xy axy yx ayx x ax= + + - + + . +Sắp xếp (đệ quy) biểu thức trên theo biến x, các hệ số chứa y và được sắp xếp theo biến y: > restart;p := x*y+a*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x+a*x; := p + + - + + x y a x y y x2 a y x2 x a x > p1:=collect(p,[x,y],recursive); := p1 + ( ) - 1 a y x2 ( ) + + ( ) + 1 a y 1 a x +Sắp xếp (đệ quy) biểu thức trên theo biến y , các hệ số chứa x và được sắp xếp theo biến x: > p2:=collect(p,[y,x],recursive); := p2 + ( ) + ( ) - 1 a x2 ( ) + 1 a x y ( ) + 1 a x 3. Phân tích một đa thức thành tích của các biểu thức đơn giản nhất. Cú pháp: > factor(a, K) ; Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 4 Trong đó: - a: là một biểu thức (biểu thức hữu tỉ). - K: là từ khoá real hoặc complex; hoặc một số chứa căn; hoặc RootOf. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành tích ( ) 3 23 5 3f x x x x= - + - . > restart;f:=x^3-3*x^2+5*x-3; := f - + - x3 3 x2 5 x 3 > f1:=factor(f); := f1 ( ) - x 1 ( ) - + x2 2 x 3 Tam thức 2 2 3x x- + không có nghiệm thực, nhưng có 2 ngiệm phức. Vậy nếu phân tích đa thức f trên trường số phức ta sẻ được kết quả: > f2:=factor(f,complex); f2 ( ) - x + 1.000000000 1.414213562 I ( ) - x 1.000000000 := ( ) - x - 1.000000000 1.414213562 I Bằng cách tìm nghiệm của tam thức 2 2 3x x- + ta có: > solve(x^2-2*x+3,{x}); ,{ } = x + 1 2 I { } = x - 1 2 I +Trên cơ sở đó, ta có thể phân tích f theo 2 và số phức i: > f3:=factor(f,{sqrt(2),I}); := f3 ( ) - + x 1 2 I ( ) - - x 1 2 I ( ) - x 1 Ta chú ý có sự khác biệt khi ta nhập ( ) 3 23 5 3.0f x x x x= - + - , kết quả phân tích sẽ là: > f:=x^3-3*x^2+5*x-3.0; := f - + - x3 3 x2 5 x 3.0 > factor(f); ( ) - x 1.000000000 ( ) - + x2 2.000000000 x 2.999999999 Ví dụ: Xét đa thức ( ) 3 5g x x= + . Nếu chỉ dùng lệnh >factor(g); ta được kết quả: > g:=x^3+5; := g + x3 5 > factor(g); + x3 5 Nhưng nếu phân tích trên trường số phức (complex) ta được kết quả: > factor(g,complex); ( ) + x 1.709975947 ( ) - x + 0.8549879733 1.480882610 I ( ) - x - 0.8549879733 1.480882610 I Nếu nhập ( ) 3 5.0g x x= + , thì khi dùng lệnh >factor(g); ta sẻ được kết quả khác: Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 5 > g:=x^3+5.0; := g + x3 5.0 > factor(g); ( ) + x 1.709975947 ( ) - + x2 1.709975947 x 2.924017740 Nếu phân tích ( ) 3 5g x x= + theo 3 5 hay 1 35 ta được kết quả: > factor(g,5^(1/3)); ( ) - + x2 x 5 ( )/1 3 5 ( )/2 3 ( ) + x 5 ( )/1 3 Ví dụ: Xét đa thức ( ) 4 2p x x= - . Nếu chỉ dùng lệnh >factor(g); ta được kết quả: > p:=x^4-2; := p - x4 2 > factor(p); - x4 2 Nhưng nếu phân tích trên trường số phức (complex) ta được kết quả: > factor(p,complex); ( ) + x 1.189207115 ( ) + x 1.189207115 I ( ) - x 1.189207115 I ( ) - x 1.189207115 Nếu phân tích p theo 2 , ta được: > factor(p,sqrt(2)); ( ) + x2 2 ( ) - x2 2 Nếu phân tích p theo 4 2 (hay 142 ) và số phức i, ta được: > factor(p,{root(2,4),I}); #{root(2,4) là 4 2 } ( ) + x 2 ( )/1 4 I ( ) - x 2 ( )/1 4 I ( ) - x 2 ( )/1 4 ( ) + x 2 ( )/1 4 Cũng có thể nhập như sau: > factor(p,{2^(1/4),I}); ( ) + x 2 ( )/1 4 I ( ) - x 2 ( )/1 4 I ( ) - x 2 ( )/1 4 ( ) + x 2 ( )/1 4 ··· Ngoài hàm factor ta còn có thể dùng hàm split trong gói lệnh with(polytools) để phân tích một biểu thức (đa thức) thành tích các biểu thức đơn giản: Cú pháp: > with(polytools): > split(a,x,b); Trong đó: - a: là biểu thức (đa thức); - x : là biến. - b: là biến được gán cho kết quả thu được. Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 6 Ví dụ: Phân tích biểu thức 2 1x x+ + thành tích. Dùng gói lệnh trên và hàm split, ta có kết quả: > with(polytools): > split(x^2+x+1,x); ( ) - x ( )RootOf + + _Z2 _Z 1 ( ) + + x 1 ( )RootOf + + _Z2 _Z 1 Để thấy kết quả cụ thể hơn ta làm tiếp: > allvalues({%}); ,{ }æ è çç ö ø ÷÷ + - x 1 2 1 2 I 3 æ è çç ö ø ÷÷ + + x 1 2 1 2 I 3 { }æ è çç ö ø ÷÷ + - x 1 2 1 2 I 3 æ è çç ö ø ÷÷ + + x 1 2 1 2 I 3 Hoặc: > evalf(%); ( ) + x - 0.5000000000 0.8660254040 I ( ) + x + 0.5000000000 0.8660254040 I , ( ) + x - 0.5000000000 0.8660254040 I ( ) + x + 0.5000000000 0.8660254040 I Nhận xét: Với gói lệnh này, kết quả thu được rất chi tiết, đầy đủ hơn so với dùng hàm factor sau khi dùng thêm hàm allvalues({%}); 4. Khai triển một đa thức. Cú pháp: > expand(expr, expr1, expr2, ..., exprn); Trong đó: - expr: là đa biểu thức đại số bất kì (dạng tích, luỹ thừa, lượng giác,) muốn khai triển. Ví dụ: Khai triển đa thức: ( ) ( )( ) 21 3 2p x x x x x= - + + - > p := (x-1)*(3*x+2)+x^2-x; := p + - ( ) - x 1 ( ) + 3 x 2 x2 x > p:=expand(p); := p - - 4 x2 2 x 2 Phân tích kết quả trên thành tích: > factor(p); 2 ( ) + 2 x 1 ( ) - x 1 Sau đó khai triển kết quả thu được theo 1x - , ta được: > expand(%,x-1); + - 4 ( ) - x 1 x 2 x 2 Ví dụ: Giải phương trình 2 1 3 3x x- + + = . Theo phương pháp thông thường, ta giải phương trình này bằng cách bình phương hai vế sau khi đã tìm tập xác định (điều kiện xác định) cho phương trình . Điều kiện: 12 1 0 12 3 0 23 xx x x x ì ³- ³ì ïÛ Û ³í í+ ³î ³ -ïî . Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 7 Bây giờ nhập phương trình vào Maple cùng các bước giải phương trình trên như sau: > restart;eq:=sqrt(2*x-1)+sqrt(x+3)=3:eq; = + - 2 x 1 + x 3 3 > `Binh phuong hai ve cua PT:`;a:=(lhs(eq))^2:b:=(rhs(eq))^2:a=b; Binh phuong hai ve cua PT: = ( ) + - 2 x 1 + x 3 2 9 > `Khai trien ta duoc:`;a:=expand(a):a=b; Khai trien ta duoc: = + + 3 x 2 2 - 2 x 1 + x 3 9 > `PT tuong duong voi:`;c:=a-(op(1,a)+op(2,a)): b:=expand(b- (op(1,a)+op(2,a))):c=b; PT tuong duong voi: = 2 - 2 x 1 + x 3 - 7 3 x > `Binh phuong hai ve ta duoc:`;c:=c^2:b:=b^2:c=b; Binh phuong hai ve ta duoc: = 4 ( ) - 2 x 1 ( ) + x 3 ( ) - 7 3 x 2 > `Khai trien va rut gon, ta duoc PT tuong duong:`;eq:=sort(expand(c-b),x):eq=0; Khai trien va rut gon, ta duoc PT tuong duong: = - + - x2 62 x 61 0 > `Tap nghiem cua PT nay la:`;T:={solve(eq, {x})}; Tap nghiem cua PT nay la: := T { },{ } = x 1 { } = x 61 Với đoạn lệnh trên, ta có thể giải các phương trình có dạng tương tự bằng cách nhập lại phương trình trong dòng lệnh đầu tiên (khai báo eq:=). Quý bạn đọc có thể giải các phương trình : 1) 3 1 3 1x x+ + = - 2) 1 5 1 3 2x x x- - - = - 5. Rút gọn hệ số, trích hệ số rút gọn của một đa thức. a) Rút gọn hệ số của đa thức poly: Cú pháp: > primpact(poly,x,’co’); Trong đó: - poly: là đa thức Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 8 - x : là biến hoặc tập hợp các biến. - co: là tên của hệ số cần làm gọn. Ví dụ 1: Rút gọn hệ số của đa thức ( ) 4 3 2 33 1 5 2 x x p x x x= - + - + ta được: > restart;p:=x^4/5-3*x^3+x^2-3*x/2+1; := p - + - + 1 5 x4 3 x3 x2 3 2 x 1 > primpart(p,x,'co'):`Da thuc rut gon`=%; = Da thuc rut gon - + - + 2 x4 30 x3 10 x2 15 x 10 Nếu muốn biết “hệ số đã rút gọn” ta khai báo argumen ‘co’ trong câu lệnh: > primpart(p,x,'co'):`Da thuc rut gon`=%; = Da thuc rut gon - + - + 2 x4 30 x3 10 x2 15 x 10 > `He so rut gon`=co; = He so rut gon 1 10 Ví dụ 2: Cho đa thức (nhiều biến) 2 2( , ) 3 6 12p x y xy x y y= + - . Làm gọn đa thức trên theo biến x, ta được: > restart;p:=3*x*y+6*x^2*y-12*y^2; := p + - 3 x y 6 x2 y 12 y2 >> primpart(p,x,'co'):`Da thuc rut gon`=%;`He so rut gon`=co; = Da thuc rut gon - + + 4 y x 2 x2 = He so rut gon 3 y Làm gọn đa thức trên theo biến y, ta được: > restart;p:=3*x*y+6*x^2*y-12*y^2; := p + - 3 x y 6 x2 y 12 y2 > primpart(p,y,'co'):`Da thuc rut gon`=%;`He so rut gon`=co; = Da thuc rut gon + - x y 2 x2 y 4 y2 = He so rut gon 3 Làm gọn đa thức trên theo biến x và y, ta được: > restart;p:=3*x*y+6*x^2*y-12*y^2; := p + - 3 x y 6 x2 y 12 y2 > > primpart(p,[x,y],'co'):`Da thuc rut gon`=%;`He so rut gon`=co; = Da thuc rut gon + - x y 2 x2 y 4 y2 Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 9 = He so rut gon 3 b) Trích hệ số rút gọn: Cú pháp: > content(poly,x,’pp’); Trong đó: - poly: là đa thức - x : là biến hoặc tập hợp các biến. - pp: là tên của đa thức thu được sau khi trích hệ số rút gọn. Ví dụ: Cho đa thức 3 6p xy x= - . Trích hệ số rút gọn của đa thức trên theo biến x và tìm đa thức thu được sau khi rút gọn: > restart;p:=3*x*y-2*x; := p - 3 x y 2 x > content(p,x,'pp'):`He so rut gon`=%;`Da thuc thu duoc`=pp; = He so rut gon - 3 y 2 = Da thuc thu duoc x Trích hệ số rút gọn của đa thức trên theo biến y và tìm đa thức thu được sau khi rút gọn: > content(p,y,'pp'):`He so rut gon`=%;`Da thuc thu duoc`=pp; = He so rut gon x = Da thuc thu duoc - 3 y 2 6.Xác định bậc của một đa thức,biểu thức. Cú pháp: > degree(a,x); _xác định bậc cao nhất của đa thức a. > ldegree(a,x); _xác định bậc thấp nhất của đa thức a. Trong đó: - a: là một đa thức; - x: là biến hoặc tập hợp các biến. Ví dụ: Xác định bậc của đa thức ( ) ( )( )( )2 3 21 3 2 2 1p x x x x x= + - + + > p:=(x^2+1)*(3*x^3-3*x^2+2)*(2*x+1); := p ( ) + x2 1 ( ) - + 3 x3 3 x2 2 ( ) + 2 x 1 > `Bac cua da thuc p:`=degree(p,x); = Bac cua da thuc p: 6 Ví dụ: Xác định bậc cao nhất và thấp nhất của biểu thức: ( ) 2 73 1 3 9p x x x x = - + - . > restart; > p:=1/x^3-3*x^2+x^7-9; := p - + - 1 x3 3 x2 x7 9 Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 10 > `Bac cao nhat cua bieu thuc p`=degree(p,x); `Bac thap nhat cua bieu thuc p`=ldegree(p,x); = Bac cao nhat cua bieu thuc p 7 = Bac thap nhat cua bieu thuc p -3 Với đa thức nhiều biến ta dùng cú pháp: > degree(p(x,y,z,),{x,y,z,}); Chú ý: Trong Maple 9.5 ta phải khai báo {x,y,z,} cho tập hợp các biến chứ không phải [x,y,z,] ! Nhưng trong Mple 10, Maple 11 thì cả 2 cách khai báo trên đều được. Ví dụ: Xác định bậc của đa thức: ( ) 2 3 2 3, 3 4 12p x y xy x y x y= - + + + > restart;p:=3*x*y^2-x^3*y+4*x^2+y^2+12; := p - + + + 3 x y2 x3 y 4 x2 y2 12 > `Bac cao nhat theo bien x`=degree(p,x); `Bac cao nhat theo bien y`=degree(p,y); = Bac cao nhat theo bien x 3 = Bac cao nhat theo bien y 2 > `Bac cao nhat theo bien x va y`=degree(p,{x,y}); = Bac cao nhat theo bien x va y 4 > `Bac thap nhat theo bien x va y`=ldegree(p,{x,y}); = Bac thap nhat theo bien x va y 0 Ví dụ: Cho biểu thức ( ) 22 3 , 2 5p x y xy x y xy = + - . > restart;p:=3/(x*y^2)-2*x*y-5*x^2*y; := p - - 3 x y2 2 x y 5 x2 y > `Bac cao nhat theo bien x`=degree(p,x); `Bac thap nhat theo bien x`=ldegree(p,x); `Bac cao nhat theo bien y`=degree(p,y); `Bac thap nhat theo bien y`=ldegree(p,y); = Bac cao nhat theo bien x 2 = Bac thap nhat theo bien x -1 = Bac cao nhat theo bien y 1 = Bac thap nhat theo bien y -2 > `Bac cao nhat theo bien x va y`=degree(p,{x,y}); = Bac cao nhat theo bien x va y 3 Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 11 > `Bac thap nhat theo bien x va y`=ldegree(p,{x,y}); = Bac thap nhat theo bien x va y -3 7.Trích hệ số của một đa thức . Cú pháp: > coeff(p,x); > coeff(p,x,n); > coeff(p,x^n); Trong đó: - p: là đa thức một biến; - x: là biến; - n: là bậc của luỹ thừa của biến x. Trường hợp muốn trích hệ số tự do (hệ số của 0x ) ta dùng lệnh > coeff(p,x,0);_không dùng coeff(p,x^0);. Ví dụ: Cho đa thức ( ) ( ) ( )( ) ( )2 23 1 1 3 2 1f x x y x x y y= + - + - + - > restart;f:=3*x^2*(y+1)-(x+1)*(3*x-2)+(y^2-1)*y; := f - + 3 x2 ( ) + y 1 ( ) + x 1 ( ) - 3 x 2 ( ) - y2 1 y > `He so cua x^2 trong f`=coeff(f,x,2); = He so cua x^2 trong f 3 y > `He so tu do theo bien x`=coeff(f,x,0); = He so tu do theo bien x + 2 ( ) - y2 1 y > `He so cua y trong f`= coeff(f,y,1); = He so cua y trong f - 3 x2 1 > `He so tu do theo bien y`=coeff(f,y,0);factor(%); = He so tu do theo bien y - 3 x2 ( ) + x 1 ( ) - 3 x 2 = He so tu do theo bien y - + x 2 Chú ý: Tuy nhiên việc trích hệ số của tích 2x y không thực hiện được. 8.Liệt kê các số hạng của một đa thức, biểu thức, danh sách, Cú pháp: > op(f); - liệt kê các số hạng > nops(f); - đếm tổng các số hạng. Trong đó: - f: là một danh sách, biểu thức, Ví dụ: Xét đa thức ( ) 3 3 2f x x x= - + . ·Các số hạng của đa thức là: > f:=x^3-3*x+2; `Cac so hang cau thanh f:`=[op(f)]; := f - + x3 3 x 2 Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 12 = Cac so hang cau thanh f: [ ], ,x3 -3 x 2 > `So hang thu nhat:`=op(1,f); `So hang thu hai:`=op(2,f); = So hang thu nhat: x3 = So hang thu hai: -3 x ·Tổng số các số hạng của đa thức: > `So so hang cua f:`=nops(f); = So so hang cua f: 3 Ví dụ: Xét biểu thức ( ) ( )( )2 2 1 2f x x x y= - + . Các số hạng cấu thành f là: > restart;f:=x^2*(2*x-1)*(y+1); `Cac so hang cau thanh f:`=[op(f)]; := f x2 ( ) - 2 x 1 ( ) + y 1 = Cac so hang cau thanh f: [ ], ,x2 - 2 x 1 + y 1 Ví dụ: Cho danh sách: [ ], , ,I a b c d= . Các phần tử cấu thành I là: > L:=[a,b,c,d]; `Cac phan tu cau thanh L`=op(L); := L [ ], , ,a b c d = Cac phan tu cau thanh L ( ), , ,a b c d > `Tong so cac phan tu:`=nops(L); = Tong so cac phan tu: 4 9.Hàm đồng nhất hệ số tương ứng của hai đa thức, biểu thức. Cú pháp: > match(expr=pattern,var,’s’); - liệt kê các số hạng Trong đó: - expr: là đa thức, biểu thức; - pattern: là mẫu(biểu thức chứa tham số)cần đồng nhất hệ số với các hệ số tương ứng đồng bậc của expr; - var : là tên của biến trong expr và pattern; - `s`: là kết quả thu được nếu hàm đồng nhất cho kết quả true. Ví dụ: Tìm các số a, b, c sao cho hai đa thức sau là bằng nhau: ( ) ( ) ( )( )3 23 2; 1f x x x g x ax x bx c= - + = - + + . > f:=x^3-3*x+2;g:=(a*x-1)*(x^2+b*x+c); := f - + x3 3 x 2 := g ( ) - a x 1 ( ) + + x2 b x c Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 13 > match(f=g,x,'s'); true > s; { }, , = a 1 = c -2 = b 1 Ví dụ: Khi tính nguyên hàm 3sin cos sin 2cos x x I dx x x - = +ò . Ta cần biến đổi tử thức ( ) 3sin cosf x x x= - về dạng ( ) ( ) ( ). .f x A g x B g x¢= + hay ( ) ( ) ( )sin 2cos cos 2sinf x A x x B x x= + + - với ( ) sin 2cosg x x x= + . Và ta phải tìm các hệ số A, B. Ta làm như sau: > restart;f:=3*sin(x)- cos(x);g:=A*(sin(x)+2*cos(x))+B*(cos(x)-2*sin(x)); := f - 3 ( )sin x ( )cos x := g + A ( ) + ( )sin x 2 ( )cos x B ( ) - ( )cos x 2 ( )sin x > match(f=g,x,'s'); true > s; { }, = A 1 5 = B -7 5 Suy ra: ( ) ( ) ( )1 sin 2cos 7 cos 2sin 5 f x x x x x= + - -é ùë û Vậy: ( ) ( )7 cos 2sin sin 2cos1 11 7 5 sin 2cos 5 sin 2cos x x d x x I dx x x x x x - +æ ö é ù = - = -ç ÷ ê ú+ +è ø ë û ò ò +C ( )1 7ln sin 2cos 5 I x x x C= - + + 10.Hàm trích các vế (trái/ phải) của một phương trình có dạng: f(x) = g(x). Đặt tên cho phương trình trên là “eq”. Khi đó: - vế trái phương trình được gọi bằng hàm: > lhs(eq); - vế phải phương trình được gọi bằng hàm: > rhs(eq); Ví dụ: Cho phương trình 1 2 5x x- + - = > eq:=sqrt(x-1)+sqrt(2-x)=5:eq; = + - x 1 - 2 x 5 Gọi vế trái, vế phải của phương trình như sau: > `Ve trai`=lhs(eq); = Ve trai + - x 1 - 2 x Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 14 > `Ve phai`=rhs(eq); = Ve phai 5 Nhận xét: Ứng dụng Hàm này khi muốn thao tác, biến đổi(khai căn, bình phương,) trên các vế của một phương trình . Ví dụ: Giải phương trình 22 2 2x x x+ - = - > restart;eq:=sqrt(2*x^2+x-2)=2-x:eq; = + - 2 x2 x 2 - 2 x > dk:=[solve(rhs(eq)>=0,x)]: `Dieu kien`=dk; = Dieu kien [ ]( )RealRange ,-¥ 2 > l:=(lhs(eq))^2: r:=(rhs(eq))^2: `Binh phuong hai ve duoc:`; eq1:=l=r: eq1; Binh phuong hai ve duoc: = + - 2 x2 x 2 ( ) - 2 x 2 > `Giai Pt nay thu duoc tap nghiem:`; T:=solve(eq1, {x}); Giai Pt nay thu duoc tap nghiem: := T ,{ } = x 1 { } = x -6 11. Hàm tính giá trị của một biểu thức (một hoặc nhiều biến). Cú pháp: > eval(f,x=a,y=b,); Trong đó: - f: là biểu thức, đa thức; - x= a; y=b;: giá trị các biến. Ví dụ: Cho biểu thức ( ) 2 2, , 3 2 2f x y z xy xy x z= + - . > f:=3*x*y+2*x*y^2-2*x^2*z; := f + - 3 x y 2 x y2 2 x2 z > `f(2,-1,z)`=eval(f,[x=2,y=-1]); = f(2,-1,z) - - 2 8 z > `f(2a,-2,3)`=eval(f,[x=2*a,y=-2,z=3]); = f(2a,-2,3) - 4 a 24 a2 12. Phép chia đa thức. a) Kiểm tra xem đa thức a có chia hết cho đa thức b hay không. Cú pháp: > divide(a,b,’q’); Trong đó: - a, b: là các đa thức với hệ số hữu tỉ; Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 15 - q: là thương số của phép chia a cho b, nếu kết quả của hàm trên là true. Ví dụ: Kiểm tra xem đa thức 4 4x y- có chia hết cho đa thức x y+ không? Nếu chia hết ta tìm thương số của phép chia đó . > divide(x^4-y^4,x+y,'q'); true > `Thuong cua phep chia`;q; q:=factor(q):`Hay`;q; Thuong cua phep chia - + - + y3 x y2 x2 y x3 Hay -( )- + x y ( ) + y2 x2 ·Nếu chỉ muốn kiểm tra xem a có chia hết cho b hay không thì ta dùng lệnh: > divide(a,b); b) Tìm thương và dư của phép chia đa thức a cho đa thức b. Giả sử: .a b q r= + · Tìm thương: Cú pháp: > quo(a,b,x); > quo(a,b,x,’r’); Trong đó: - a, b: là các đa thức một biến x; - `r`: là đa thức dư. · Tìm dư: Cú pháp: > rem(a,b,x); > rem(a,b,x,’q’); Trong đó: - a, b: là các đa thức một biến x; - `q`: là đa thức thương. Ví dụ: Cho hai đa thức: ( ) ( )3 2 22 3 1; 2f x x x x g x x x= + - + = + + . Tìm thương và đa thức dư khi chia f cho g: > f:=x^3+2*x^2-3*x+1;g:=x^2+x+2; := f + - + x3 2 x2 3 x 1 := g + + x2 x 2 > `Thuong (cua f chia g):`=quo(f,g,x,'r'); `Da thuc du:`=r; = Thuong (cua f chia g): + x 1 = Da thuc du: - - 1 6 x Nếu chỉ muốn tìm thương ta chỉ cần khai báo >quo(f,g,x); cho đỡ tốn bộ nhớ. Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 16 > quo(f,g,x): `Thuong (cua f chia g):`=%; = Thuong (cua f chia g): + x 1 Để tìm đa thức dư của phép chia f cho g, ta dùng lệnh: > rem(f,g,x); > rem(f,g,x): `Du (cua f chia g):`=%; = Du (cua f chia g): - - 1 6 x 13. Một số gói lệnh tạo sẵn liên quan đến đa thức. 13.a. Gói lệnh: > with(PolynomialTools): · Hàm : > Translate(f,x,x0); ; Công dụng: tính f(x+x0), với f(x) là đa thức một ẩn cho trước. Ví dụ: Cho đa thức ( ) 2 3f x x x= + - Thay 3x x= - ta được: > with(PolynomialTools): f:=x^2+x-3;f1:=Translate(f,x,-3):`f(x-3)`=f1; := f + - x2 x 3 = f(x-3) - + 3 5 x x2 Xét một ví dụ áp dụng về phép biến đổi đồ thị (Chương trình Toán lớp 10_Đại số nâng cao): Cho hàm số ( ) 3 2y f x x x= = - + . Hỏi phải tịnh tiến đồ thị hàm số đã cho sang trái/phải và lên/xuống bao nhiêu để được đồ thị hàm số ( ) 3 26 11 6y g x x x x= = + + + ? Hướng dẫn giải: + Đầu tiên ta giả sử đồ thị hàm số ( )g x được được biến đổi từ đồ thị hàm số f(x) bằng cách tịnh tiến liên tiếp dọc theo trục Ox một đoạn bằng p và theo trục Oy một đoạn bằng q. Khi đó: ( ) ( )g x f x p q= + + . (*) Nhập vào Maple: > restart; > with(PolynomialTools): f:=x^3-x+2; g:=x^3+6*x^2+11*x+6;`----------`; f1:=Translate(f,x,p)+q:`f(x+p)+q`=f1; f2:=collect(f1,x,factor):`f(x+p)+q`=f2; := f - + x3 x 2 := g + + + x3 6 x2 11 x 6 Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 17 ---------- = f(x+p)+q + + + + - + x3 3 p x2 ( )- + p 3 p3 x p p3 2 p q = f(x+p)+q + + + - + + x3 3 p x2 ( )- + 1 3 p2 x 2 p q p3 {Ở trên ta đã giả sử tịnh tiến sang trái/phải một đoạn bằng p và tịnh tiến lên/xuống một đoạn bằng q}. Để tìm các số thực p, q ta đồng nhất các hệ số tương ứng ở hai vế trong (*): > match(g=f2,x,'s'); true > s; { }, = p 2 = q -2 Vậy, đồ thị hàm số g(x) có được bằng cách tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số f(x) sang trái dọc theo trục Ox 2 đơn vị và xuống dưới dọc theo trục Oy 2 đơn vị. 14. Một số hàm liên quan đến phân thức hữu tỉ ( ) ( )( ) p x f x q x æ ö =ç ÷ç ÷ è ø . 14.a) Hàm trích tử thức và trích mẫu thức: Cú pháp: > numer(f); - trích tử thức của phân thức f; > denom(f); - trích mẫu thức của phân thức f; Ví dụ: Cho phân thức ( ) 2 3 2 3 2 2 2 x x f x x x x - + = - + - +Trích tử thức và tử thức của f ta được: > f:=(x^2-3*x+2)/(2*x^3-x^2+x-2); := f - + x2 3 x 2 - + - 2 x3 x2 x 2 > `Tu thuc la:`;numer(f); Tu thuc la: - + x2 3 x 2 > `Mau thuc la:`; denom(f); Mau thuc la: - + - 2 x3 x2 x 2 14.b) Hàm đơn giản phân thức hữu tỉ về dạng chuẩn. Cú pháp: > normal(f); Ví dụ: Với hàm f ở Ví dụ trên, ta có thể làm gọn như sau: > f:=normal(f); Khám phá Maple 11. Đỗ Cao Long. THPT Nam Đông 18 := f - x 2 + + 2 x2 x 2 Nhận xét, với hàm phân thức thì lệnh > simplify(f); cho kết quả gần với lệnh > normal(f);. Ta xem: > simplify(f); - x 2 + + 2 x2 x 2 14c.Phân tích phân thức hữu tỉ thành tổng của các phân thức đơn giản . Các cú pháp: > convert(f,parfrac); > convert(f,parfrac,K); > conve