Kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2004 - 2005 môn: Toán (vòng 1)

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOáN (vòng 1) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ................................................................................................................................................. BàI 1: Tìm nghiệm của phương trình : 02sin1.2cossincos  xxxx thỏa điều kiện : 2004 < x < 2005 . BàI 2: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vuông ABC cố định có AB = AC. Tìm tập hợp những điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho : MCMBMCMBMA 4 BàI 3: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 22 2 )2( 2   x xxy . b) Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực a, b luôn có : a + b + ab  k(a2 + 2)(b2 + 2) . ------------- Hết --------------- UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 12 thPT năm học 2004 - 2005 Môn : TOán (vòng 2) Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ................................................................................................................................................ BàI 1: a) Cho hàm số  ln sin cos( ) sin 2 x x x g x x  có tập xác định là D. Tính đạo hàm của hàm số : ( )( ) 0 0 g x khi x Df x khi x    b) Giải bất phương trình : 3)1ln()( 23 xx exxxe  BàI 2: Xét hai độ dài khác nhau a, b. Tìm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện (T) có một cạnh bằng a và các cạnh còn lại đều bằng b. Với tứ diện (T) này, hãy xác định mặt phẳng ( ) sao cho thiết diện của mặt phẳng (  ) và tứ diện (T) là một hình vuông (V). Tính diện tích của hình vuông (V) theo a và b. BàI 3: Chứng minh rằng tồn tại một tập con E của tập các số tự nhiê n N thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau : a) E có 2005 phần tử . b) Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k, h của E thì tích k.h chia hết cho (k-h)2. ------------ Hết -------------- Đáp án - Thang điểm vòng 1 Bài Nội dung Điểm 1 ....... 2 02sin1.2cossincos  xxxx (*) + x2sin1 = xx sincos  cos2x = ( xcos - xsin ).( xcos + xsin ) + (*)  ( xcos - xsin ).{1 - ( xcos + xsin ) xx sincos  } = 0  xcos - xsin =0 (1) hoaởc ( xcos + xsin ) xx sincos  = 1 (2) + (1)  cos2x= 0 + (2)  (1+ x2sin ).(1+sin2x) = 1 sin2x=0 (vỡ sin2x >0 khoõng theồ xaỷy ra ) Tử ứ ủoự : (*) cos2x= 0 hoaởc sin2x= 0 sin4x= 0  x =k 4  ; k Z + Vụựi ủieàu kieọn 2004< x <2005 , choùn soỏ nguyeõn k=2552. Vaọy : x = 638  . ............................................................................................................................... ...... + MB +MC - MB-MC = 2 Min (MB; MC) 4MA  MB +MC - MB-MC  2MA MB vaứ 2MA MC + Chọn hệ trục Axy và đơn vị trê n trục sao cho : B(3;0) ,C(0;3) . Gọi M(x;y) 2MA MB  4MA2 –MB2 0  4(x2+y2) – (x-3) 2 –y2  0  (x+1) 2 +y2  4 Vậy : 2MA MB M ở trong hình tròn (T) tâm I( -1;0),bán kính 2. (kể cả biên) Tương tự : 2MA MC M ở trong hình tròn (S) tâm J(0; -1),bán kính 2. (kể cả biên) +Tập hợp những điển M thoả bài toán là phần giao của hai hình tròn (T) và (S) . (kể cả biên) 6 ......... 6 y 3 a ....... 3 b -5 5 10 6 4 2 -2 -4 -6 y I J M A C B 22 2 )2( 2   x xxy + Taọp xaực ủũnh : R + y’ = 32 23 )2( )223(2   x xxx = 2 2 3 2( 1)( 4 2) ( 2) x x x x      + y’= 0  x=1 ; x= 22  ; y(1)= 3 1 ; y( 22  )= 16 12  ; y( 22  )= 16 12  ; 0lim yx x - -2- 2 -2+ 2 1 +  y ' + 0 - 0 + 0 - y 16 12  3 1 0 16 12  0 + Vaọy : 1 3R Ma x y  ; Miny= 2 116RMin y  ........................................................................................................................................ + Giả sử k là số thoả bài toán. Lúc đó : k ba abba   )2)(2( 22 đúng với mọi a,b Với a=b=1 ,ta có k 3 1 . 4 .......... 4 x +Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b : a+b+ab  3 1 (a2+2)(b2+2). Ta có : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab = (ab -1) 2+ 2 1 (a-b) 2+ 2 3 [(a-1) 2+(b-1) 2]  0 +Từ đó số k nhỏ nhất thoả bài toán là : 3 1 . ĐáP áN - THANG ĐIểM (Vòng 2 ) Bài Nội dung Điểm 1.a) ........ 1.b) ....... 2 + Khi 0x D x   và , 4 x k k    và *, 2 x k k  : 2 ln(1 sin 2 ) (sin 2 2 cos 2 ) ln(1 sin 2 ) cot 2( ) '( ) 2sin 2 2sin 2 1 sin 2 x x x x x x x g xf x f x x x x        + Khi x = 0 :   0 0 ln 1 sin 2( ) (0) 1lim lim '(0) 2( sin 2 ) 2x x xf x f f x x        . ............................................................................................................... ....................... 3)1ln()( 23 xx exxxe  (*) + Biĩu thức ln(x2+1) luôn xác định . + x=0 ; x=1 ; x=-1 là các giá trị thoả bất phương trình . 3x -x= ( 3 xx  ). )( 3 232 xxxx  +Khi x{0;1;-1} thì x  3 x .Theo định lí Lagrange ,tồn tại số c ở giữa x và 3 x sao cho: xe - 3 xe = ( 3 xx  ) ce Vậy: (*) ( 3 xx  ).[ ce + )( 3 232 xxxx  ln(x2+1)]0  3 xx  0 ( Vì [ ce + )( 3 232 xxxx  ln(x2+1)]> 0 )  3x -x  0 . + Nghiưm cđa bất phương trình đã cho là : x ]1;0[]1;(  . ....................................................................................................................................... Điịu kiưn cđa a,b : +Giả sư tứ diưn (T) tồn tại .Gọi AB là cạnh bằng a, các cạnh : AC,AD,BC,BD CD địu cùng bằng b . Gọi I là trung điĩm cạnh CD.Tam giác AIB là tam giác cân : AB=a ;AI=BI= 2 3b . Từ AB<AI+BI suy ra : 30 ba  +Ngưỵc lại víi : 30 ba  .Dựng tam giác địu BCD cạnh b víiự chiịu cao BI. Dựng tam giác cân AIB có AB=a ,nằm trong mỉt phẳng chứa BI và vuông góc vói 3 ......... 4 ......... 7 ........ 3 mp(BCD) .Ta có :A mp(BCD) .Tứ diưn ABCD thoả điịu kiưn bài toán . Q P M N a I D C B A Xác định mỉt phẳng ( ): + Giả sư thiết diưn là hình vuông MNPQ. Các mỉt cđa tứ diưn (T) lần lưỵt chứa các đoạn giao tuyến MN,NP,PQ,QM đưỵc gọi tên là mỉt I, mỉt II, mỉt III, mỉt IV. Do MN//PQ;MQ//NP nên cạnh chung cđa mỉt I và mỉt III; cạnh chung cđa mỉt IIvà mỉt IV ,nằm trên hai đường thẳng song song víi mp(  ). Ngoài ra, hai đường thẳng này vuông góc nhau,vì MN vuông góc MQ. + Do a khác b nên tứ diưn (T) chỉ có một cỉp cạnh đối vuông góc,đó là AB và CD . Vì vậy mp( ) phải song song víi AB và CD. + Gọi giao điĩm cđa mp( ) víi AC,BC,BD,AD,lần lưỵt là M,N,P,Q. Đỉt k = MC MA . Ta có :MN= k a 1 ;MQ= k kb 1 . Từ MN=MQ ta có : k = b a . + Diưõn tích cđa hình vuông MNPQ là : 2)( ba ab  ........................................................................................................................................ + Ta xây dựng các tập En có n phần tử thỏa tính chất : “Với bất kì cặp số nguyên phân biệt k ,h của En thì tích k.h chia hết cho (k -h)2 “ bằng phương pháp qui nạp theo n (n > 1) + Chọn : E2 ={1;2} + Giả sử tập En ={a1 ; a2 ;.......;an } với n >1 , thỏa tính chất trên . Xét tập : En+1= F {m} với m= a1.a2 ......an và F = {ai+ m/ i=1,2,....,n } En+1 có n+1 phần tử . Ta chứng minh En +1 thoả tính chất trên . Với k ,h là hai phần tử phân biệt của En +1 ,thì có hai khả năng : i/Chỉ một phần tử thuộc F ii/Cả hai đều thuộc F Trường hợp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 ......an Ta có : h chia hết cho ai ; k chia hết cho ai ; k.h chia hết cho :ai .ai còn (k -h)2 = ai2 Trường hợp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai và aj thuộc En và khác nhau. Ta có :k chia hết cho ai ;h chia hết cho aj ;k.h chia hết cho :ai.aj còn (k-h)2 =(ai -aj)2 Nhưng ai và aj thuộc En nên tích ai.aj chia hết cho (ai -aj)2 . Từ đó tích k.h chia hết cho (k-h)2 . ......... 6 1 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 1) Thụứi gian laứm baứi : 150 phuựt, khoõng keồ thụứi gian phaựt ủeà ........... ........................................................................................................................................... BAỉI 1: Goùi (C) laứ ủoà thũ haứm soỏ :y = x 3 – 2005x. M1 laứ ủieồm treõn (C) coự hoaứnh ủoọ x 1=1. Tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm M 1 caột (C) theõm moọt ủieồm M2 khaực M1. Tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm M 2 caột (C) theõm moọt ủieồm M3 khaực M2, Tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm Mn-1 caột (C) theõm moọt ủieồm Mn khaực Mn-1.(n =3,4,...) Goùi (xn;yn) laứ toùa ủoọ cuỷa ủieồm Mn . Tỡm n ủeồ ủaỳng thử ực sau ủuựng : 2005x n + yn + 22007 = 0 BAỉI 2: Cho hỡnh vuoõng EFGH .Goùi (T) laứ ủử ụứng troứn qua caực trung ủieồm caực caùnh cuỷa tam giaực EFG. Nhaọn xeựt: ẹieồm H thoaỷ maừn ủoàng thụứi hai tớnh chaỏt sau : a/ Caực hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa noự laàn lử ụùt leõn caực ủử ụứng thaỳng : EF ,FG, GE naốm treõn moọt ủử ụứng thaỳng d. b/ ẹử ụứng thaỳng d tieỏp xuực vụựi ủử ụứng troứn (T) . Haừy tỡm taọp hụùp taỏt caỷ caực ủieồm N cuỷa maởt phaỳng chử ựa hỡnh vuoõng EFGH sao cho N thoaỷ maừn ủoàng thụứi hai tớnh chaỏt a/ vaứ b/ ụỷ treõn . BAỉI 3: Goùi R laứ baựn kớnh cuỷa ủử ụứng troứn ngoùai tieỏp cuỷa tam giaực ABC Chử ựng minh raống neỏu tam giaực ABC khoõng coự caùnh naứo ngaộn hụn baựn kớnh R vaứ coự dieọn tớch nhoỷ hụn hoaởc baống 2 32R thỡ : sinA + sinB + sinC  2 33  . ------------- Heỏt --------------- 2 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 2) Thụứi gian laứm baứi : 150 phuựt, khoõng keồ thụứi gian phaựt ủeà ........... ......................................................................................................................................... .. BAỉI 1: Vụựi moói soỏ thử ùc a, kớ hieọu [a] chổ soỏ nguyeõn k lụựn nhaỏt maứ k a . Giaỷi phử ụng trỡnh : [lg x ] + x + [ 6 x ] = [ 2 x ] + [ 3 2x ] BAỉI 2: Cho hỡnh choựp tử ự giaực S.ABCD,coự ủaựy ABCD laứ moọt hỡnh bỡnh haứnh . Goùi G laứ troùng taõm cuỷa tam giaực SAC. M laứ moọt ủieồm thay ủoồi trong mieàn hỡnh bỡnh haứnh ABCD .Tia MG caột maởt beõn cuỷa hỡnh choựp S.ABCD taùi ủieồm N . ẹaởt : Q = MG NG NG MG  1/ Tỡm taỏt caỷ caực vũ trớ cuỷa ủieồm M sao cho Q ủaùt giaự trũ nhoỷ nhaỏt . 2/ Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa Q . BAỉI 3: Vụựi moói soỏ nguyeõn dử ụng n ,haừy tỡm taỏt caỷ caực ủa thử ực P(x) thoaỷ maừn ủoàng thụứi hai ủieàu kieọn sau : a/ Caực heọ soỏ cuỷa P(x) khaực nhau ủoõi moọt vaứ ủeàu thuoọc taọp {0;1;.....;n}. b/ P(x) coự n nghieọm thử ùc phaõn bieọt . 3 ------------ Heỏt -------------- Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 1) ẹAÙP AÙN - THANG ẹIEÅM Baứi Noọi dung ẹieồm ( 6ủ) + Phử ụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi M k (xk;yk): y - yk = y’(xk)(x- xk) y = (3x 2k -2005)(x- xk)+ x 3 k -2005xk 1,0 + Xeựt phử ụng trỡnh : x3 – 2005x = (3x 2k -2005)(x- xk)+ x 3 k -2005xk  (x- xk) (x2+ xk.x-2 x 2k ) = 0  x= xk ; x = - 2xk + Vaọy xk+1 = - 2xk 1,0 1,0 1 + x1 =1 , x2 = -2 , x3 = 4 ........ , xn = (-2) n-1 n= 1,2,.......... + yn = x 3n -2005xn , 2005xn + yn + 2 2007 = 0  x 3n = - 2 2007  (-2) 3n-3 = - 2 2007  3n-3 leỷ vaứ 3n -3 = 2007  n= 670 1,0 2,0 7,0 + ẹieồm N thoaỷ tớnh chaỏt a/ khi vaứ chổ khi N ụỷ treõn ủử ụứng troứn qua E,F,G. 1 2 + Chử ựng minh: Choùn heọ truùc Oxy vụựi O laứ taõm hỡnh vuoõng EFGH vaứ vec tụ ủụn vũ treõn truùc : OGi  ; OFj  . Ta coự E(-1;0) , F(0;1) , G(1;0) . Phử ụng trỡnh cuỷa EF : x – y + 1 = 0 ; FG : x + y -1 = 0 ,ủử ụứng troứn(EFG): x 2 +y 2 =1 Goùi N(X;Y). Toaù ủoọ caực hỡnh chieỏu cuỷa N leõn EG, EF, FG laàn lử ụùt laứ: N1 (X;0) , N2 ( 2 1 (X+Y-1); 2 1 (X+Y+1)) , N3 ( 2 1 (X-Y+1); 2 1 (-X+Y+1)) ))1( 2 1);1( 2 1(21  YXYXNN );1(32 XYNN  N1, N2 , N3 thaỳng haứng khi vaứ chổ khi:(-X+Y-1)(-X)-(1-Y)(X+Y+1)=0 X2+Y2=1(1) 2,0 4 + Tỡm theõm ủieàu kieọn ủeồ N thoaỷ tớnh chaỏt b/. Chổ caàn xeựt N(X;Y) khaực F(0;1). Vụựi ủieàu kieọn (1) ,dử ụứng thaỳng d coự phử ụng trỡnh : X(x -X) +(1-Y)(y-0)=0 Taõm cuỷa (T) laứ I(0; 2 1 ) . Baựn kớnh cuỷa (T) : 2 1 + d tieỏp xuực (T) khi vaứ chổ khi : 2 1 )1( ) 2 1)(1()0( 22    YX YXX  12)12( 2222  YYXYX (2) 2,0 + Giaỷi heọ (1) vaứ(2). Ruựt X 2 tử ứ (1) thay vaứo (2): (2Y 2 -Y-1) 2 =2(1-Y) (Y-1)2(2Y+1) 2 =2(1-Y).ẹang xeựt Y  1 neõn :(Y-1)(2Y+1)2= -2  4Y3-3Y+1= 0 (Y+1)(4Y2-4Y+1) = 0  Y= -1 ; Y= 2 1 . 1,0 + Vụựi Y=-1 ta coự ủieồm N(0;-1), ủoự laứ H . Vụựi Y= 2 1 , ta coự theõm hai ủieồm N : ( 2 3 ; 2 1 ) vaứ (- 2 3 ; 2 1 ) . Taọp hụùp phaỷi tỡm laứ ba ủổnh cuỷa tam giaực ủeàu noọi tieỏp trong ủử ụứng troứn (EFGH) maứ moọt ủổnh laứ H 1,0 7,0 + Tam giaực coự : A = 900, B=600, C=300 thỡ coự daỏu ủaỳng thử ực . + Coự theồ giaỷ sử ỷ : sinA  sinB sinC . Ta chử ựng minh : sinA+sinB+sinC  u+v+w vụựi u =1 , v = 2 3 , w = 2 1 . 1,0 1,0 + S= R abc 4 =2R2sinAsinBsinC + S 2 32R  sinAsinBsinC  4 3  sinAsinBsinC uvw .(1) 1,0 1,0 + sinC= R R R c 22  = 2 1 vaứ sinAsinB  4 3 Csin 1  sinAsinB  2 3  sinAsinB uv.(2) sinA1 sinA u .(3) 1,0 3 + Ta coự : u+v+w = sinC( A u sin + B v sin + C w sin )+(sinB-sinC)( A u sin + B v sin )+(sinA-sinB) A u sin Suy ra: u+v+w  sinC(3 3 sinsinsin CBA uvw ) +(sinB-sinC)(2 BA uv sinsin ) + (sinA-sinB) A u sin Do (1) ,(2) ,(3) neõn : u+v+w  3sinC +2(sinB-sinC)+ (sinA-sinB) = sinA+sinB+sinC. Daỏu ủaỳng thử ực xaỷy ra trong trử ụứng hụùp tam giaực ABC laứ nử ỷa tam giaực ủeàu . 2,0 5 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2005-2006 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 2) ẹAÙP AÙN - THANG ẹIEÅM Baứi Noọi dung ẹieồm 6,0 + Bieồu thử ực lgx xaực ủũnh khi x > 0. + Neỏu x laứ nghieọm thỡ : x = [ 2 x ] + [ 3 2x ]- [ 6 x ] - [lg x ] neõn x laứ soỏ nguyeõn dử ụng. 1,0 1,0 + ẹaởt x = 6q + r ,vụựi q vaứ r laứ caực soỏ tử ù nhieõn , 0  r5 . [ 2 x ] + [ 3 2x ] - [ 6 x ] = [ 3q + 2 r ]+ [4q+ 3 2r ] – [q+ 6 r ]= 6q + [ 2 r ]+ [ 3 2r ]- [ 6 r ] Phử ụng trỡnh trụỷ thaứnh : 6q + r = 6q +[ 2 r ]+[ 3 2r ]-[ 6 r ] -[lg x ]  [lg x ]= [ 2 r ]+ [ 3 2r ]- [ 6 r ] - r vụựi r{0;1;2;3;4;5} 2,0 1 + Ta coự : [ 2 r ]+[ 3 2r ]-[ 6 r ]-r =     5;4;3;2;00 11 rkhi rkhi +Do x 1 neõn [lgx] 0 .Khoõng xeựt trử ụứng hụùp r=1 Vụựi r  1,ta coự : [lgx]= 0 0 lgx < 1  1 x < 10 . Ta choùn caực soỏ nguyeõn x thoaỷ 1  x < 10 vaứ x chia cho 6 coự dử soỏ khaực 1. Nghieọm cuỷa phử ụng trỡnh : x{2;3;4;5;6;8;9} . 1,0 1,0 7,02 Caõu 1/ (Hỡnh vẽ ở trang cuối) + Q = MG NG NG MG   2 .Daỏu baống khi vaứ chổ khi : NG MG = MG NG = 1 . + SG caột mp(ABCD) taùi taõm O cuỷa hỡnh bỡnh haứnh ABCD. Goùi K laứ trung ủieồm cuỷa SG . Tử ứ K dử ùng maởt phaỳng song song vụựi mp(ABCD) caột S A,SB,SC,SD laàn lử ụùt taùi A1 ,B1 ,C1 ,D1 .Tử ứ N dử ùng maởt phaỳng song song vụựi mp(ABCD) caột SG taùi N’. Ta coự: MG NG = OG GN ' ; MG NG =1 N’truứng K N thuoọc caùnh hỡnh bỡnh haứnh A 1B1C1D1 Noỏi NK caột caùnh hỡnh bỡnh haứnh A1B1C1D1 taùi P, ta coự : PM // SG . + Tử ứ ủoự : Q=2 khi vaứ chổ khi M thuoọc caùnh hỡnh bỡnh haứnh ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 DCBA ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 DCBA laứ hỡnh chieỏu song song cuỷahỡnh bỡnh haứnh A 1B1C1D1 leõn mp(ABCD) theo phử ụng SG . 1,0 1,0 1,0 6 Caõu 2/ +Mieàn hỡnh bỡnh haứnh ABCD hụùp bụỷi caực mieàn tam giaực OAB,OBC,OCD,ODA M thuoọc mieàn hỡnh bỡnh haứnh ABCD neõn M thuoọc moọt trong boỏn mieàn tam giaực naứy. Chaỳng haùn M thuoọc mieàn  OAB. M AN C’; M B N D’; M O N S. Do ủoự N thuoọc mieàn  SC’D’ vaứ N’ thuoọc ủoaùn SH ,vụựi C’,D’ vaứ H laàn lử ụùt laứ trung ủieồm cuỷa SC,SD vaứ SO. Do ủoự : HG  N’G  SG. Vỡ vaọy : OG HG  OG GN '  OG SG hay 2 1  MG NG 2. 2,0 + ẹaởt x = MG NG Ta coự : Q = x 1 + x vụựi x [ 2 1 ;2]. Q’= 0 vaứx ( 2 1 ;2)  x = 1 . MaxQ = Max{Q( 2 1 );Q(2);Q(1)}= 2 5 . + Giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa Q laứ : 2 5 . ẹaùt khi M truứng vụựi O hoaởc caực ủổnh A,B,C,D. 1,0 1,0 7,0 + ẹieàu kieọn a/ cho thaỏy baọc cuỷa P(x)  n ,ủieàu kieọn b/ cho thaỏy baọc cuỷa P(x) n. Vaọy baọc cuỷa P(x) laứ n. P(x) = a nxn + an-1xn-1 + ...........+ a1x + a0 . vụựi (a0, a1, ......, an) laứ moọt hoaựn vũ cuỷa {0,1,...,n} va ứ an  0 . + Ta coự : x > 0 P(x) > 0 .Do ủoự moùi nghieọm x i cuỷa P(x) ủeàu khoõng dử ụng . + Vụựi n=1 ,ta coự ủa thử ực duy nhaỏt thoaỷ baứi toaựn : P(x) = 1.x + 0 . 1,0 1,0 1,0 3 + Vụựi n=2 ,neỏu P(x) = a2x2 +a1x + a0 thoaỷ baứi toaựn thỡ theo ủũnh lớ Vớet : x1 + x2 = - 2 1 a a ; x1.x2 = 2 0 a a trong ủoự :{ a0, a1, a2}={0,1,2}, a2 0 Do x1 0 , x2 0 , x1  x2 neõn , a1  0 .Suy ra : a0= 0 . Caực ủa thử ực : P(x) = 1.x2 + 2.x + 0 , P(x) = 2.x2 + 1.x + 0 thoaỷ baứi toaựn . + Vụựi n=3 ,neỏu P(x) = a3x3 +a2x2 +a1x + a0 thoaỷ baứi toaựn thỡ theo ủũnh lớ Vớet : x1 + x2 + x3 = - 3 2 a a ; x1x2 +x2x3 + x3x1 = 3 1 a a ; x1x2x2 = - 3 0 a a trong ủoự : { a0, a1, a2 ,a3}={0,1,2, 3}, a3 0 Do x1 0 , x2 0 ,x3 0, x1 x2 x1  x3 x2 x3 neõn a1  0 vaứ a2 0 . Suy ra: a0= 0 . Ta coự :P(x)= a3x3 +a2x2 +a1x= x(a3x2 +a2x +a1) ;{ a1, a2 ,a3}={1,2, 3}, 04 13 2 2  aaa Caực ủa thử ực : P(x)=1.x3+3.x2+2.x+0 , P(x)=2x3+3x2+1.x+0 thoaỷ baứi toaựn . 1,0 1,0 7 + Vụựi n>3,neỏu P(x) = anxn + an-1xn-1 + ...........+ a1x + a0 thoaỷ baứi toaựn thỡ theo ủũnh lớ Vớet :              n n n n n nnnn n n n a a xxx a a xxxxxxxxx a a xxx 0 21 11 2132121 1 21 )1(...... )1(..................... ............................. ... vụựi (a0, a1, ......,an) laứ moọt hoaựn vũ cuỷa {0,1,...,n} vaứ a n  0 Do caực xi khoõng dử ụng vaứ khaực nhau ủoõi moọt neõn phaỷi coự a 0= 0 . Vaọy P(x) coự moọt nghieọm baống 0 vaứ n -1 nghieọm coứn laùi khaực nhau ủoõi moọt vaứ ủeàu aõm. Coự theồ giaỷ sử ỷ xn= 0 .Luực ủoự x1 , x2 ,...., xn-1 laứ caực nghieọm aõm cuỷa : Q(x)= anxn-1+ an-1xn-2 +...+ a2x +a1 vụựi (a1,a2,..., an) laứ moọt hoaựn vũ cuỷa{1,2,...,n},a n 0 ẹaởt ui = - xi (i=1,2,.....,n-1) .Ta coự ui > 0 vaứ : u1+ u2+....+ un-1= n n a a 1 (1) ; u1u2...un-2+ u2u3... un-1+ ......+ un-1u1... un-3 = na a2 (2) u1u2....un-1 = na a1 (3) . Tử ứ (2) vaứ (3) cho : 1 1 u + 2 1 u +.....+ 1 1 nu = 1 2 a a (4) Theo baỏt ủaỳng thử ực Coõsi : (u 1+ u2+.........+ un-1)( 1 1 u + 2 1 u +.....+ 1 1 nu ) (n-1) 2 Duứng (1) vaứ (4) suy ra : n n a a 1 . 1 2 a a  (n-1) 2 .Nhử ng n n a a 1 . 1 2 a a  2.1 )1( nn neõn : (n-1) 2  2.1 )1( nn  n  2 , maõu thuaồn vụựi n > 3 . Caực ủa thử ực thoaỷ baứi toaựn : P(x) = x , P(x) = x2 + 2x , P(x) = 2x2 + x , P(x) = x3+3x2+2x , P(x) = 2x3+3x2+x . 2,0 D' C' H G N'N M O D C B A s Hỡnh vẽ baứi 2 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2006-2007 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 1) Thụứi gian laứm baứi : 150 phuựt BAỉI 1:(5 ủieồm) Vụựi caực tham soỏ thửùc m, p (m ≠ 0), xeựt caực ủoà thũ : (Hm ) : y = x mx 22 − vaứ (Cp) : . 3 (2 1)y x p x= − − a/ Tỡm ủieàu kieọn cuỷa m vaứ p ủeồ caực ủoà thũ (Hm ) vaứ(Cp) tieỏp xuực nhau . b/ Chửựng toỷ raống khi caực ủoà thũ (Hm ) vaứ(Cp) tieỏp xuực nhau thỡ tieỏp ủieồm cuỷa chuựng naốm treõn ủoà thũ : y = x - x3 BAỉI 2:(3 ủieồm) Chửựng minh raống tam giaực ABC coự ớt nhaỏt moọt goực baống 450 khi vaứ chổ khi : 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 . BAỉI 3 :(6 ủieồm) Treõn maởt phaỳng, xeựt moọt hỡnh vuoõng ABCD vaứ moọt tam giaực ủeàu EFG caột nhau taùo thaứnh moọt thaỏt giaực loài MBNPQRS ụỷ hỡnh dửụựi S G Q R E D CP N F BMA a/ Chửựng minh raống : “ Neỏu SM = NP = QR thỡ MB = PQ vaứ BN = RS ”. b/ Chửựng minh raống : “ Neỏu MB = PQ vaứ BN = RS thỡ SM = NP = QR ” . BAỉI 4:(6 ủieồm) Xeựt caực soỏ thửùc thay ủoồi x,y thoỷa ủieàu kieọn : x2 - xy + y2 = 3 . a/ Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa T = x2y - xy2 . b/ Tỡm taỏt caỷ caực caởp (x; y) ủeồ T ủaùt giaự trũ nhoỷ nhaỏt . ------------- Heỏt --------------- Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2006-2007 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 1) ẹAÙP AÙN - THANG ẹIEÅM BAỉI 1 NOÄI DUNG ẹIEÅM (Hm ) vaứ(Cp) tieỏp xuực nhau khi vaứ chổ khi heọ sau coự nghieọm:    −−=+ −−=− )12(31 )12( 2 2 2 3 22 px x m xpx x mx 1 ⇔ ( x   −−=+ −−=− 2422 2422 )12(3 )12( xpxmx xpxmx ≠ 0 ) 0,5 ⇔   = = 22 24 pxm mx . Vụựi m≠ 0 thỡ x≠ 0 . 0,5 ⇔   = = mpm mx 2 2 (m≠ 0 ) 0,5 Caõu a (3ủ) ẹieàu kieọn ủeồ (Hm ) vaứ(Cp) tieỏp xuực nhau : p = m (m≠ 0 ) . 0,5 Toùa ủoọ cuỷa tieỏp ủieồm thoỷa : x4 = m2 vaứ y = x mx 22 − (m 0 ) ≠ 1 Caõu b (2ủ) Do ủoự : y = x xx 42 − = x - x3. Tieỏp ủieồm ụỷ treõn ủoà thũ: y = x - x3 1 BAỉI 2 NOÄI DUNG ẹIEÅM Cho tam giaực ABC coự goực baống450 chửựng toỷ: 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 (1) Chaỳng haùn A= 450,veỏ traựi cuỷa (1) baống : 2 (sinB.sinC-cosB.cosC)= - 2 cos(B+C)= 2 cosA=1 1 Giaỷ sửỷ (1) ủuựng .Ta co:ự (1) sinA[cos(B-C) -cos(B+C)] -cosA[cos(B-C) +cos(B+C)] = 1 ⇔ ⇔ cos(B-C)[sinA-cosA]+sinAcosA +cos2A = 1 ⇔ (sinA-cosA)[cos(B-C) -sinA] = 0 ⇔ 2 sin(A-450)[cos(B-C) -cos(900-(B+C))] = 0 ⇔ sin(A-450)sin(B-450)sin(C-450) = 0 (2) 1,5 (3ủ) Do A,B,C laứ goực tam giaực neõn tửứ (2) suy ra tam giaực ABC coự goực baống 450 0,5 BAỉI 3 NOÄI DUNG ẹIEÅM Choùn heọ truùc Axy nhử hỡnh veừ : Goùi a laứ caùnh hỡnh vuoõng ABCD . A(0,0) , B(a,0), C(a,a), D(0,a) M(m,0), N(a,n) ,P(p,a),Q(q,a),R(0,r), S(0,s). MB= a-m; PQ= p-q; BN= n ; RS= r-s 1 Neỏu SM = NP = QR keỏt hụùp vụựi EF = FG = GE ,ta coự: SM = k EF ; NP = k FG ;QR = kGE vụựi k = EF SM . Nhửng : EF + FG +GE =O neõn : SM + NP +QR =O 1 Caõu a (3ủ) Do SM + NP +QR = (m+p-a-q; -s -n +r ) neõn: m+p-a-q = 0 ; -s -n +r = 0. Hay a-m = p-q vaứ n = r-s ,tửực laứ :MB = PQ vaứ BN = RS. 1 Neỏu MB = PQ vaứ BN = RS thỡ MB + PQ=O , BN + RS =O 0,5 Keỏt hụùp vụựi SM +MB + BN + NP + PQ+QR + RS =O , ta coự: SM + NP +QR =O . 0,5 Nhửng : SM = x EF ; NP = y FG ;QR = zGE vụựi x = EF SM ; y = FG NP ; z = GE QR neõn : x EF + y FG +zGE = O 1 (x-z)⇔ EF = (z-y) FG ⇔ x-z = 0 vaứ z-y = 0 (vỡ EF vaứ FG khoõng cuứng phửụng ). 0,5 Caõu b (3ủ) Tửứ x = y = z vaứ EF = FG = GE suy ra : SM = NP = QR. 0,5 BAỉI 4 NOÄI DUNG ẹIEÅM x2 - xy + y2 = 3 ⇒ x2 + y2 = xy+ 3. T = x2y - xy2 = xy(x-y) ⇒ T2 = (xy)2(x2 + y2 - 2xy) = t2(t+3-2t) = 3t2 - t3 vụựi t = xy. 1 Do x2 + y2 = xy+ 3 vaứ x2 + y2 ≥ 2 xy neõn t+3 2≥ t . Vỡ vaọy t ∈[ -1 ; 3] 0,5 Caõu a (3,5ủ) Giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa f(t) = 3t2 -t3 treõn ủoùan [ -1 ; 3] laứ Max{f(-1); f(3), f(0), f(2)} = 4 (do : f’(t) = 6t-3t2 = 3t(2-t); f(-1) = 4 = f(2); f(3) = 0 = f(0) ) . Vaọy: T2 4 . ≤ 1 x y A M B F N P CD E R Q G S T2 4 -2 T≤ 2. Vụựi x = -1, y=1 thỡ x≤ ⇔ ≤ 2 - xy + y2 = 3 vaứ T=2. Vaọy giaự trũ lụựn nhaỏt cuỷa T laứ 2 . 1 T ≥ -2 ; T = -2 trong caực trửứụng hụùp sau : (I) (II)    =+− −= −=− 3 1 2 22 22 yxyx xy xyyx    =+− = −=− 3 2 2 22 22 yxyx xy xyyx 1 Giaỷi heọ (I) : x =1; y= -1 . 0,5 Giaỷi heọ (II) : x = -2; y= -1 hay x = 1; y= 2 . 0,5 Caõu b (2,5ủ) T ủaùt giaự trũ nhoỷ nhaỏt trong trửụứng hụùp : (x,y) ∈ (1; -1) , (1; 2) , (-2; -1) { } 0,5 Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế Khối 12 THPT - Năm học 2006-2007 Đề thi chính thức Moõn : TOAÙN ( Voứng 2) Thụứi gian laứm baứi : 150 phuựt BAỉI 1: (3 ủieồm) Giaỷi heọ phửụng trỡnh :   +−+=− =++−−+ )2ln()2ln( 3 023756 22 yxyx yxxyyx BAỉI 2: (6 ủieồm) Cho laờng truù tửự giaực (L) tuứy y. Giaỷ sửỷ raống beõn trong (L) coự moọt hỡnh caàu (S) baựn kớnh R tieỏp xuực vụựi taỏt caỷ caực maởt cuỷa (L) . a/ Goùi Sủ laứ dieọn tớch moọt maởt ủaựy cuỷa (L), Sxq laứ toồng caực dieọn tớch maởt beõn cuỷa (L). Chửựng toỷ raống : Sxq = 4Sủ . b/ Chửựng minh raống toồng taỏt caỷ dieọn tớch caực maởt cuỷa (L) lụựn hụn hoaởc baống 24R2 . BAỉI 3:(5 ủieồm) Cho daừy soỏ (un) xaực ủũnh bụỷi : vaứ vụựi : 1 22; 3u u= = 3n ≥ 1 2( 2) 2n n nu nu n u n− − 4= − − − + a/ Tỡm ủeồ n 2007nu − coự giaự trũ nhoỷ nhaỏt . b/ Tỡm soỏ dử khi chia cho 2006 . 2007u BAỉI 4:(6 ủieồm) Xeựt phửụng trỡnh haứm : [ ]( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 1f xy f x f y f x y xy− ⋅ = + − − vụựi moùi soỏ thửùc ,x y . a/ Tỡm haứm soỏ chaỹn thoỷa maừn phửụng trỡnh haứm treõn . b/ Tỡm taỏt caỷ caực haứm soỏ thoỷa maừn phửụng trỡnh haứm treõn . ------------- Heỏt --------------- Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh