Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2008 - 2009 môn: Toán

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2008 - 2009 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: Giải phương trình: Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình ( là tham số). Biến đổi phương trình (1) về dạng phương trình tích. Với giá trị nào của thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm âm. Bài 3: (4,0 điểm) Chứng minh rằng với hai số thực bất kì ta luôn có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Cho ba số thực không âm sao cho . Chứng minh: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lượt tại D, E và F. Đặt . Tìm hệ thức giữa và . Chứng minh rằng: . Cho tam giác ABC cân tại A, . Hai điểm M và N lần lượt trên AC và AB sao cho: và hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo . Bài 5: (3,0 điểm) Một đoàn học sinh đi cắm trại bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 người thì còn thừa một người. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều tất cả các học sinh lên các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi cắm trại và có bao nhiêu ô tô ? Biết rằng mỗi ô tô chỉ chở không quá 30 người. Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước . Hãy cắt tấm bìa thành các mảnh để ráp lại thành một hình vuông. Giải thích. Hết UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2008 - 2009 Môn : toán Đáp án và thang điểm: Bài Cõu Nội dung Điểm 1 (4 điểm) 1.1 (2 đ) 0,5 0,5 1,0 1.2 (2 đ) . Điều kiện để phương trình có nghĩa: Đặt Khi đó phương trình đã cho trở thành: loại) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2 (3 điểm) 2.1 0,5 0,5 0,25 2.2 Ta có: 0,5 Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (b) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tương đương với: (*) Với điều kiện (*), phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x = 1 > 0 và hai nghiệm còn lại x1 và x2 (x1 < x2 ) là nghiệm của (b). Do đó để (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm âm thì x1 < x2 <0, tương đương với: (**). Kết hợp (*) và (**) ta có: Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm thì cần và đủ là: 0,25 0,50 0,25 0,25 3 (4,0 điểm) 3.1 Ta có: Vậy: Dấu đẳng thức xảy ra khi 0,25 0,25 0,25 0,25 Theo kết quả câu 3.1, ta có: mà (giả thiết) nên: (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhưng: (không âm) Suy ra: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 3.2 Ta có: áp dụng kết quả câu 3.1, ta có: Suy ra: Do đó: khi và chỉ khi: (vì là góc nhọn) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 4 (6,0 điểm) 4.1.a + Ta có: BD = BF, CD = CE và AE = AF (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó: Theo định lí Pytago: (a) 0,5 0,5 0,5 4.1.b Gọi là bán kính, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: (b) Tứ giác AEIF có 3 góc vuông, nên là hình chữ nhật. Nhưng AE = AF (cm trên), nên AEIF là hình vuông, Do đó: (c) Từ (a), (b), (c) suy ra: 0,5 0,5 0,5 4.2 + Theo giả thiết: và Suy ra: . + Gọi E là giao điểm của BM và CN, theo định lí Ta-lét, ta có: . Gọi BK là đường cao hạ từ B của tam giác ABC, ta có: 0,5 0,5 1,0 Vậy: 0,5 0,5 5 (3,0 điểm) 5.1 + Gọi số ô tô lúc đầu là ( x nguyên và x ³ 2) Số học sinh đi cắm trại là: 22x + 1. + Theo giả thiết: Nếu số xe là thì số học sinh phân phối đều cho tất cả các xe, mỗi xe chở số học sinh là y (y là số nguyên và 0 < y Ê 30). + Do đó ta có phương trình: 0,25 0,25 0,5 + Vì x và y đều là số nguyên dương, nên phải là ước số của 23. Mà 23 nguyên tố, nên: hoặc Nếu thì (trái giả thiết) Nếu thì < 30 (thỏa điều kiện bài toán). + Vậy số ô tô là: 24 và tổng số học sinh đi cắm trại là: học sinh. 0,25 0,25 0,25 0,25 5.2 + Tấm bìa hình chữ nhật có diện tích là 5 (đvdt). Để cắt hình chữ nhật thành các mảnh ráp thành hình vuông, thì cạnh của hình vuông bằng , bằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có kích thước là 1 và 2 có diện tích bằng 1 (đvdt). + Do đó nếu cắt hình chữ nhật theo đường chéo của 2 hình chữ nhật AEFD và GBCH, và cắt theo 2 đường EF và GH xong ráp lại thì được hình vuông MNPQ như hình bên. 1,0