Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hạ Long Năm học 2005-2006 Môn Toán

sở giáo dục - đào tạo quảng ninh -------ả-------- kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên hạ long năm học 2005-2006 đề thi chính thức môn : Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, Toán-Tin) Số BD : ........................ Ngày thi : 12/7/2005 Chữ ký GT 1: Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: 1. Cho a = và b = với m ³ 0 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa a và b không phụ thuộc vào m 2. Cho x, y thỏa mãn : . Chứng minh : x + y = 1 Bài 2: 1. Tìm các số nguyên dương n để số p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố. 2. Giải hệ phương trình : Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x) = với x ẻ R. Bài 4: Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') (với R > R' ) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm C và AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( A thuộc (O;R); B thuộc (O';R')). Tia BC cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai E, tia AC cắt đường tròn (O';R') tại điểm thứ hai K. 1. Chứng minh rằng AE là đường kính của đường tròn (O;R). 2. Tính tổng : AK2 + BE2 theo R và R'. 3. Một đường thẳng (d) đi qua C cắt đường tròn (O;R) tại P, cắt đường tròn (O';R') tại Q (P và Q khác C). Gọi M là trung điểm PQ. Chứng minh rằng khi đường thẳng (d) quay quanh C, điểm M luôn thuộc một đường tròn cố định. --------------------------- Hết ----------------------------- sở giáo dục - đào tạo quảng ninh -------ả-------- kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên hạ long năm học 2005-2006 đề thi chính thức môn : Toán (Dành cho mọi thí sinh dự thi) Số BD : ......................... Ngày thi : 11/7/2005 Chữ ký GT 1: Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Cho biểu thức P = a) Tìm x để P có nghĩa và rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0. Bài 2: Xét phương trình : mx2 + (2m - 1)x + m - 2 = 0 với m là tham số. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + x22 - x1x2 = 4 b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỷ. Bài 3: Hai xe máy đi từ A đến B. Xe thứ nhất đi trước xe thứ hai nửa giờ, với vận tốc nhỏ hơn vận tốc xe thứ hai 5km một giờ. Biết hai xe đến B cùng một lúc và quãng đường AB dài 140km. Tính vận tốc mỗi xe. Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, lấy C là trung điểm AO. Kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB và ở cùng một phía với nửa đường tròn. Điểm M di động trên nửa đường tròn (M khác A, B). Một đường thẳng vuông góc với CM tại M, cắt Ax ở P, cắt By ở Q; AM cắt CP ở E và BM cắt CQ ở F. 1. Chứng minh bốn điểm M, E, C, F nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh EF // AB. 3. Tìm vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để tứ giác APQB có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị diện tích nhỏ nhất đó. --------------------------- Hết ----------------------------- Hướng dẫn chấm môn toán ( đề toán chung) thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên hạ long Năm học 2005-2006 Bài Lời giải sơ lược Cho điểm Bài 1 a) Nêu được điều kiện: x-5+6 ạ0 ; -2ạ0 ; -3ạ0 ; x ³0 0,25 1,25 điểm Giải các điều kiện => x ³0 ; xạ4 ; x ạ 9 0,25 Rút gọn đến P = (3-8 - + 3 - + 2)/(-2)(-3) 0,5 Cuối cùng đi tới kết quả P = 1/(-2) 0,25 Bài 1 b) Vì 1 > 0 nên P > 0 -2 > 0 0,25 0,75 điểm Giải ra được x > 4 0,25 Kết hợp với điều kiện, suy ra P > 0 x > 4 và x ạ 9 0,25 Bài 2 a) 1,5 điểm Phương trình đã cho (*) có 2 nghiệm m ạ 0, D ³ 0 ....... m ạ 0 , m ³ -1/4 0,25 0,25 Theo định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = (1-2m)/m ; x1.x2 = (m-2)/m Khi đó x12 + x22 - x1.x2 = 4 ... -3m2+2m+1 = 0 m = 1, m= - 1/3 0,75 Kết hợp với điều kiện, loại nghiệm m = -1/3 Kết luận giá trị cần tìm của m là m = 1 0,25 Bài 2 b) 1,5 điểm Nếu m là tích 2 số tự nhiên liên tiếp thì m có dạng m = n(n+1); n ẻ N Nếu n = 0=> m =0 thì (*) ... x = -2 ẻ Q, thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25 0,5 Nếu n ạ 0, ph/trình (*) có hai nghiệm là x1,2 = ((1-2m) ± )/2m Khi đó = (2n+1) => x1 = (-n2+1)/n.(n+1) ; x2 = (-n-2)/(n+1) Suy ra x1,2 là các số hữu tỷ (đpcm !) 0,25 0,5 Bài 3 2 điểm Gọi vận tốc xe thứ nhất là x km/h (x>0) => vận tốc xe thứ hai là (x+5) km/h 0,25 Thời gian xe thứ nhất đi là 140/x giờ ; xe thứ hai đi là 140/(x+5) giờ Đi đến phương trình: 140/(x+5) + 1/2 = 140/x x2 + 5x - 1400 = 0 0,25 0,25 0,25 Giải phương trình, tìm được x1 = - 40 ; x2 = 35 0,5 Thử với điều kiện, loại nghiệm x = - 40 Kết luận: vận tốc xe thứ nhất là 35 km/h ; vận tốc xe thứ hai là 40km/h 0,25 0,25 Bài 4 a) Chứng minh được các tứ giác: ACMP và BCMQ nội tiếp 0,25 1 điểm Chứng minh được éCPM + éCQM = 900 => éPCQ = 900 0,5 Suy ra tứ giác MECF nội tiếp => (đpcm!) 0,25 Bài 4 b) 1 điểm Chứng minh được: éMEF = éMCF ; éMCQ = éMBQ ; éMAB = éMBQ => éMAB = éMEF 0,25 0,5 Suy ra EF // AB (đpcm!) 0,25 Hình vẽ : x y P M Q E F A B C O Bài 4 c) 1 điểm Chứng minh được DAPC đồng dạng với DBCQ => AP.BQ = AC.BC = 3R2/4 0,25 Chứng minh được tứ giác APQB là hình thang vuông => SAPQB = (1/2).(AP+BQ).AB 0,25 áp dụng bđt Côsi => S ³ (1/2).2.AB => S ³ R2 0,25 Dấu bằng xảy ra AP = BQ CM ^ AB Vậy Snhỏ nhất = R2, đạt khi CM ^ AB . Có duy nhất vị trí M thỏa mãn . 0,25 Chú ý chung: - Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày một lời giải sơ lược. Bài làm của học sinh phải đầy đủ, chi tiết, có lập luận chặt chẽ và tính toán chính xác mới cho điểm tối đa. - Trong một bài hoặc câu có các phần liên quan đến nhau, nếu ở một bước biến đổi hoặc lập luận nào đó bị sai thì không chấm phần sau liên quan đến bước đó. Nếu là sai sót nhỏ thì có thể châm chước nhưng phải trừ điểm và phải thống nhất trong tổ chấm. - Không chấm bài hình nếu không có hình vẽ. Nếu vẽ hình sai thì tuỳ từng trường hợp mà trừ điểm theo sự thống nhất của tổ chấm. - Các cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm được, không làm tròn số. sở giáo dục - đào tạo quảng ninh Hướng dẫn chấm môn toán ( đề toán chuyên) thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên hạ long Năm học 2005-2006 Bài Lời giải sơ lược Cho điểm Bài 1.1) Rút gọn được a = 1/() 1,0 1,5 điểm Suy ra a + b = 0,5 Bài 1.2) Từ đẳng thức thứ hai (2) => x4(x3-1) + y4(y3-1) = 0 0,25 1,5 điểm Kết hợp với đẳng thức thứ nhất (1) => x4y3 + y4x3 = 0 => x3y3(x+y) = 0 => hoặc x = 0 hoặc y = 0 hoặc x + y = 0 0,25 0,25 Nếu x = 0 thì cùng với (1) => x = 0 ; y = 1 => x + y = 1 (đpcm!) Nếu y = 0, tương tự => x + y = 1 (đpcm!) Chứng minh được không xảy ra khả năng x + y = 0 Tóm lại ta luôn có x + y = 1 (đpcm!) 0,25 0,25 0,25 Bài 2.1 Phân tích được p = (n-1)(n2+1) 0,25 1,0 điểm Nếu n = 1 thì p = 0, không phải là số nguyên tố. Nếu n = 2 thì p = 5, là số nguyên tố. 0,25 Với mọi số tự nhiên n ³ 3 thì n -1 ³ 2; n2+1 ³ 10 => p có 2 ước > 1 Suy ra p là hợp số 0,25 Vậy n = 2 là giá trị phải tìm. 0,25 Bài 2.2) 2,0 điểm Điều kiện : x; y ạ 0. Đặt : x+(1/x) = u ; y + (1/y) = v, hệ đã cho trở thành : u+v = 5 ; u2 + v2 = 13 0,5 Giải hệ với u ; v được : u =2, v = 3 hoặc u = 3, v = 2 0,5 Với u =2, v = 3 , giải và tìm được x = 1; y = (3±)/2 => hai nghiệm c ủa hệ là : (x;y) = (1; (3+)/2 ) và (x;y) = (1; (3-)/2 ) 0,5 Với u =3, v = 2 , giải và tìm được x = (3±)/2 ; y = 1 => hai nghiệm của hệ là : (x;y) = ((3+)/2 ; 1) và (x;y) = ((3-)/2) ; 1) Cả 4 nghiệm đều thỏa mãn đ/kiện. Hệ đã cho có 4 nghiệm (như trên). 0,5 Bài 3 Vì x2 + x + 1 = (x+1/2)2 + 3/4 > 0 với "x ẻ R nên P(x) có nghĩa với "x ẻ R 0,25 1 điểm áp dụng BĐT Cô-si, ta có x2 + x + 2 = (x2 + x + 1) + 1 ³ 2 => P(x) ³ 2 với "x ẻ R 0,5 P(x) = 2 x2 + x + 1 = 1 x = 0 hoặc x = -1. Vậy P(x) nhỏ nhất = 2, đạt khi x = 0 hoặc x = -1. Chú ý: Có thể đặt = t, sau đó đưa về việc tìm điều kiện để phương trình bậc hai : t2 -Pt + 1 = 0 có nghiệm => P ³ 2 ... 0,25 Hình vẽ : A H B Q O O N C P K E Bài 4.1) 1 điểm Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại C, cắt AB tại H Ta có HA = HC; HB = HC => HA = HB = HC => DACB vuông tại C 0,75 Suy ra éACE = 900 =>AE là đường kính của đường tròn (O;R) (đpcm!) 0,25 Chú ý: Có thể chứng minh AC ^ C B bằng cách so sánh và tính góc. Bài 4.2) 1 điểm Chứng minh tương tự trên, ta được BK là đường kính của đường tròn (O';R'). Tính được AB2 = 4RR' 0,5 Từ đó tính được AK2 = 4R2 + 4RR' và BE2 = 4R'2 + 4RR' 0,25 Suy ra AK2 + BE2 = 4(R + R')2. 0,25 Bài 4.3) 1 điểm Chứng minh được OP // O'Q Gọi I, N lần lượt là trung điểm của OO', PO'. Chứng minh được M ẻ IN 0,25 0,25 Tính được IN, MN theo R và R' rồi suy ra IM = (1/2).(R - R'). 0,25 Có I cố định, IM = (1/2).(R - R') = số dương không đổi nên M thuộc đuờng tròn cố định (I ; r) với r = (1/2).(R - R'). (đpcm!) 0,25 Chú ý chung: - Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày một lời giải sơ lược. Bài làm của học sinh phải đầy đủ, chi tiết, có lập luận chặt chẽ và tính toán chính xác mới cho điểm tối đa. - Trong một bài hoặc câu có các phần liên quan đến nhau, nếu ở một bước biến đổi hoặc lập luận nào đó bị sai thì không chấm phần sau liên quan đến bước đó. Nếu là sai sót nhỏ thì có thể châm chước nhưng phải trừ điểm và phải thống nhất trong tổ chấm. - Không chấm bài hình nếu không có hình vẽ. Nếu vẽ hình sai thì tuỳ từng trường hợp mà trừ điểm theo sự thống nhất của tổ chấm. - Các cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm được, không làm tròn số. sở giáo dục - đào tạo quảng ninh