Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Hạ Long Năm học 2006 - 2007

sở giáo dục và đào tạo quảng ninh -------ả-------- kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trường thpt chuyên hạ long năm học 2006 - 2007 đề thi chính thức môn : Toán. (Dành cho mọi thí sinh dự thi) Ngày thi : 23/6/2006 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Chữ ký GT 1 : ......................... Chữ ký GT 2 : .......................... (Đề thi này có 01 trang) Bài 1. (2 điểm) 1. Tính giá trị của biểu thức A = 2. Chứng minh rằng với > 0; ạ 1, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến : Bài 2. (2 điểm) 1. Giải phương trình : x(x+1)(x+2)(x+3) = 3 2. Giải hệ phương trình : Bài 3. (2 điểm) 1. Chứng minh rằng ba đường thẳng sau không đồng quy : y = 3x + 7 (d1) ; y = - 2x - 3 (d2) ; y = 2x - 7 (d3) 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (m + 1)x - y - m - 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. Bài 4. (3 điểm) Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng d không cắt đường tròn. Lấy điểm M trên d, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn (O ; R) với A, B là hai tiếp điểm. OM cắt AB tại H. 1. Chứng minh OH.OM = R2. 2. Gọi góc AMB bằng a, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác AMB theo R và a. 3. Chứng minh rằng khi M chạy trên d thì H chạy trên một đường tròn cố định. Bài 5. (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm : x2 + (m - 1)x + 2m2 = 0 và x2 + 4mx - m + 2 = 0 ------------------------- Hết --------------------------- Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: ....................... sở giáo dục và đào tạo quảng ninh hướng dẫn chấm môn Toán chung (đề chính thức) thi tuyển sinh thpt chuyên hạ long năm học 2006-2007. Bài Sơ lược cách giải Cho điểm Bài 1.1 1,0 đ Biến đổi được A = Cuối cùng được giá trị biểu thức A = 2. 0,75 đ 0,25 đ Bài 1.2 1,0 đ Biến đổi được BT = BT = BT = => giá trị BT = - 2, không phụ thuộc biến x (đpcm !) 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Bài 2.1 1,0 đ Biến đổi (1) thành : (x2+3x)(x2+3x+2) = 3 Đặt x2+3x = t, (1) trở thành: t2+2t-3 = 0 (2) Giải (2) được 2 nghiệm t = 1 và t = -3 Với t = 1, giải và tìm được x1 = (-3+)/2 và x2 = (-3-)/2. Với t = -3, giải và đi đến không có nghiệm x. Vậy ph/tr (1) có hai nghiệm là x1 = (-3+)/2 và x2 = (-3-)/2. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 2.2 1,0 đ Biến đổi hệ đã cho về : Đặt x-2 = u; y+1 = v, được hệ : (*) Giải hệ (*), tìm được : (u;v) = (0;0) hoặc (u;v) = (5/7;5/3) Từ đó tìm được (x:y) = (2;-1) hoặc (x:y) = (19/7;2/3) Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x:y) = (2;-1) hoặc (x:y) = (19/7;2/3) . 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 3.1 1,0 đ Tìm được giao điểm của (d2) và (d3) là A(1;-5) Thay toạ độ của A vào ph/tr (d1) thấy không thoả mãn => A ẽ (d1) Từ đó suy ra ba đường thẳng đó không đồng quy. (đpcm !) Chú ý: Có thể giải bằng cách vẽ đúng các đồ thị (d1), (d2), (d3) trên cùng 1 mp tọa độ, từ đó suy ra (d1), (d2), (d3) không đồng quy. 0,5 đ 0,5 đ Bài 3.2 1,0 đ Cho m = 0, được đường thẳng (D1) : x - y - 3 = 0 Cho m = -1, được đường thẳng (D2) : - y - 2 = 0 Tìm được (D1) cắt (D2) tại điểm B(1;-2). Nhận xét B(1;-2) là điểm cốđịnh. Thử và thấy điểm B(1;-2) thuộc (Dm) với mọi m => (Dm) luôn đi qua điểm cố định B(1;-2). (đpcm !) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài Sơ lược cách giải Cho điểm Hình vẽ: Bài 4.1 1,0 đ Nêu được DOAM vuông tại A Chứng minh được AH vuông góc với OM Chứng minh được OH.OM = OA2 => OH.OM = R2 (đpcm !) 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Bài 4.2 1,0 đ Gọi I là giao của OM với cung nhỏ AB. Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB. => bán kính cần tính là r = IH Tính được OH = R.sin(a/2) => r = IH = R - R.sin(a/2) = R(1-sin(a/2)) 0,5 đ 0,5 đ Bài 4.3 1,0 đ Kẻ OK ^ d và chứng minh được OK cố định. Gọi P = OKxAB. Chứng minh được DOHP đồng dạng với DOKM => OP = R2/OK => điểm P cố định. Vậy H thuộc đường tròn cố định với đường kính OP (đpcm !) 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 5 1,0 đ Tính được D1= -7m2-2m+1 và D'2=4m2+m-2 => D1+ D'2 = -3m2-m-1 Chứng minh được D1+ D'2 < 0 với mọi m => ít nhất một trong hai biểu thức D1 hoặc D'2 < 0 Suy ra ít nhất một trong hai phương trình đã cho vô nghiệm (đpcm !) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Các chú ý khi chấm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. Trong các phần có liên quan với nhau, nếu học sinh làm sai phần trước thì phần sau liên quan với nó dù làm đúng cũng không cho điểm. Trường hợp sai sót nhỏ có thể cho điểm nhưng phải trừ điểm chỗ sai đó. 2. Không cho điểm lời giải bài hình nếu học sinh không vẽ hình. 3. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó. 4. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. 5. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn điểm.