Kỷ yếu trại hè hùng vương môn Toán học - Lần thứ 6

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ 6 ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) KỶ YẾU TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG MÔN TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 02-04/08/ 2010 - Suu tam - Gioi thieu 2. - Suu tam - Gioi thieu Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Đề thi Olympic Toán Hùng vương 9 1.1 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 . . . . . . . . . 9 1.2 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 . . . . . . . . . 10 1.3 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 . . . . . . . . . 11 1.4 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 . . . . . . . . . 12 1.5 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5, năm 2009 . . . . . . . . . 14 1.6 Đáp án Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5-2009 . . . . . . . . 15 2 Đại cương về lịch sử môn giải tích toán học 20 2.1 Tóm lược lịch sử môn giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Hy Lạp và La mã cổ đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Trung cổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Cận đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Hiện đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Đại cương về lịch sử môn giải tích toán học thời Hy Lạp và La mã cổ đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Pythagoras (580-500 trước Công nguyên) . . . . . . . . . 23 2.2.2 Euclid (300 trước Công nguyên) . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Archimedes (287 - 212 trước Công nguyên) . . . . . . . 35 2.2.4 Papus (thế kỷ thứ 4 sau Công nguyên) . . . . . . . . . . 48 3 Các chuyên đề chuyên toán 50 3.1 Một số kĩ thuật đánh giá và ước lượng khi giải phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.1 Kĩ năng sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 50 3 - Suu tam - Gioi thieu 4 MỤC LỤC 3.1.2 Kĩ năng đánh giá dựa vào "giả thiết tạm" . . . . . . . . 53 3.1.3 Kĩ năng nhẩm nghiệm kết hợp đánh giá . . . . . . . . . 54 3.1.4 Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Áp dụng định lí Burnside-Frobenius vào bài toán tô màu trong tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 Một số kiến thức bổ trợ về nhóm và định lí Burnside- Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2 Áp dụng vào bài toán tô màu trong tổ hợp . . . . . . . . 60 3.2.3 Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Chuyên đề chọn lọc về bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.2 Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Một số nhận xét về giảng dạy chuyên đề ứng dụng nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4.1 Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4.2 Phần nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4.3 Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4.4 Hướng dẫn cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm giới hạn . . . . . . . . 104 3.5.1 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.5.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 Phương pháp lượng giác và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6.1 Các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.6.2 Áp dụng trong giải phương trình, hệ phương trình . . . . 114 3.6.3 Áp dụng trong chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . 116 3.6.4 Dãy số và giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.7 Ứng dụng phép khử và định lí Viét vào hình học phẳng . . . . . 124 - Suu tam - Gioi thieu MỤC LỤC 5 3.7.1 Phép khử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.7.2 Định lí Viét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.7.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.7.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.8 Dãy số và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.8.1 Một số phương pháp thường dùng . . . . . . . . . . . . . 131 3.8.2 Chứng minh tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . 140 3.8.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.8.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.9 Một số phương pháp giải hệ phương trình trong các bài thi học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.9.1 Dùng các phép biến đổi đại số . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.9.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . 184 3.9.3 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.10 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng của nó . . . 196 3.10.1 Phần lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.10.2 Phần bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.10.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 - Suu tam - Gioi thieu Lời nói đầu Toán học là một môn học đặc biệt quan trọng trong chương trình học ở bậc phổ thông. Trong những năm gần đây, các thầy giáo, cô giáo và học sinh các trường Trung học phổ thông chuyên và năng khiếu có điều kiện hội nhập với các chương trình, các chuyên đề toán quốc tế và khu vực thông qua các hoạt động hợp tác, tham dự các kỳ thi olympic và các phương tiện viễn thông quốc tế. Nhiều dạng toán mới đã hình thành, nhiều chuyên đề toán phổ thông đã được cập nhật với trình độ tiên tiến của các nước phát triển. Đặc biệt, nhiều chuyên đề toán học gắn với ứng dụng và các mô hình thực tiễn làm cho các nội dung giảng dạy và học tập môn Toán học trong trường phổ thông ngày càng phong phú và đa dạng. Toán học không những nhằm giúp trang bị cho học sinh những kiến thức cụ thể để áp dụng trong cuộc sống thường ngày mà điều quan trọng hơn là cung cấp, rèn luyện cho học sinh các kĩ năng, phương pháp tư duy chặt chẽ, logic. Đó là những điều mà các em sẽ cần thiết trong cả cuộc đời hoạt động thực tiễn sau này. Năm nay, Trại hè Hùng Vương đã bước sang năm thứ 6, được tổ chức tại 6 - Suu tam - Gioi thieu MỤC LỤC 7 trường THPT Chuyên Thái Nguyên. Các cuốn Kỷ yếu trại hè Hùng Vương lần thứ 2-5 ra đời đã đáp ứng được sự mong đợi, kì vọng của các thầy, các cô và các em học sinh trong khối các trường trung học phổ thông chuyên khu vực miền núi và trung du phía bắc. Ngoài các đề thi Olympic Toán Hùng Vương, Olympic Toán Hà Nội mở rộng và Olympic quốc tế Singapore mở rộng, cuốn Kỷ yếu còn giới thiệu các bài của các giáo sư, các nhà khoa học đã qua nhiều năm tâm huyết với chiến lược đào tạo tài năng trẻ của đất nước viết về một số phương pháp giải toán, các kỹ năng vận dụng logic Toán học trong cuộc sống. Một điều đáng ghi nhận: năm nay, khối các trường tham gia Trại hè Hùng Vương đã có bước tiến dài trên con đường hội nhập. Nhiều kiến thức cập nhật, các bài học kinh nghiệm và các trao đổi semina về học thuật thuộc nhiều lĩnh vực lý thú của toán học, các chuyên đề tự chọn đặc sắc theo chương trình dành cho các lớp chuyên Toán đã được các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy ở các trường THPT Chuyên các tỉnh thành Bắc Giang, Điện Biên, Sơn La, Phú Thọ, Vĩnh Phúc, Lạng Sơn, Hòa Bình, Hà Giang, Tuyên Quang, Lào Cai, Quảng Ninh, Yên Bái, Cao Bằng, Bắc Ninh, Bắc cạn và Thái Nguyên viết thành các chuyên đề. Ngoài ra, cuốn Kỷ yếu lần này còn bổ sung các đề thi đề thi Olympic Toán Hùng Vương năm 2009, Olympic Toán Hà Nội mở rộng và Olympic quốc tế Singapore mở rộng của năm 2010 và các đề toán dự tuyển do chính các trường đề nghị. Cuốn sách còn trình bày hai phụ lục được viết bằng tiếng Anh để các em có điều kiện làm quen với các thuật ngữ cơ bản, để tiếp cận và tìm hiểu sâu thêm các kiến thức cập nhật qua mạng internet và các sách chuyên đề của các nước. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn Kỷ yếu này sẽ cung cấp thêm cho các em học - Suu tam - Gioi thieu 8 MỤC LỤC sinh một số kiến thức bổ sung, giúp các em hiểu sâu hơn Sách giáo khoa và chuẩn bị tốt cho các kì thi học sinh giỏi, Olympic, các kì thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào đại học. Thay mặt Hội đồng Cố vấn Khoa học, xin chân thành cám ơn các thành viên seminar của Trại hè Hùng Vương, các đồng nghiệp, các thầy giáo, cô giáo đã đọc và có những đóng góp cho bản thảo Kỷ yếu được hoàn chỉnh. Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về Ban Tổ Chức Trại hè Hùng Vương lần thứ V, Trường THPT Chuyên Hùng Vương Việt trì, Phú Thọ. Hà Nội-Thái Nguyên, ngày 1-3 tháng 8 năm 2010 Thay mặt Hội đồng Cố vấn Khoa học GS Nguyễn Văn Mậu - Suu tam - Gioi thieu Chương 1 Đề thi Olympic Toán Hùng vương 1.1 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 Câu 1. Các số nguyên dương a1, a2, a3, a4, a5 lập thành một cấp số cộng tăng. Hỏi lập được bao nhiêu cấp số cộng thoả mãn điều kiện a1 > 50 và a5 < 100? Câu 2. Các số nguyên dương a1, a2, a3, a4, a5 lập thành một cấp số nhân tăng. Hỏi lập được bao nhiêu cấp số nhân thoả mãn điều kiện a5 < 100? Câu 3. Các số dương a1, a2, a3, a4, a5 thoả mãn các điều kiện (i) 2a1, 2a2, 2a3, 2a4, 2a5 là các số nguyên dương, (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a1a2a3a4a5. Câu 4. Giả sử tam thức bậc hai f(x) luôn luôn dương với mọi x. Chứng minh rằng f(x) viết được dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất. Câu 5. Giả sử hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn luôn dương với mọi x. Chứng minh rằng g(x) viết được dưới dạng tổng bình phương của hai tam thức bậc hai. 9 - Suu tam - Gioi thieu 10 Chương 1. Đề thi Olympic Toán Hùng vương Câu 6. Cho hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích các điểm M thuộc hình vuông (phần bên trong và biên của hình vuông) sao cho diện tích các tam giác MAB và MAC bằng nhau. Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một điểm ở bên trong hình vuông. Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh AB sao cho ÂQE = B̂QF . 1.2 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 Câu 1. Số đo các góc trong của một ngũ giác lồi có tỷ lệ 2 : 3 : 3 : 5 : 5. Số đo của góc nhỏ nhất bằng [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900. Câu 2. Cho a 6= 0. Giải hệ phương trìnhx 2005 + y2005 + z2005 = a2005 x2006 + y2006 + z2006 = a2006 x2007 + y2007 + z2007 = a2007. Câu 3. Xác định bộ số dương a, b, c sao cho ax9y12 + by9z9 + cz11x8 > 15x4y8z7, ∀x > 0, y > 0, z > 0. Câu 4. Cho tam giác ABC và điểmM thuộc BC. Xét hình bình hành APMN , trong đó P thuộc AB vàN thuộc AC và hình bình hành ABDC với đường chéo AD và BC. O là giao điểm của BN và CP . Chứng minh rằng P̂MO = N̂MO khi và chỉ khi B̂DM = ĈDM . Câu 5. Cho số dương M . Xét các tam thức bậc hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm thực x1, x2 và các hệ số thoả mãn điều kiện max{|a|, |b|, 1} = M. - Suu tam - Gioi thieu 1.3. Olympic Toán Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (1 + |x1|)(1 + |x2|). 1.3 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 Câu 1. Một đa giác lồi có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Câu 2. Một đa giác lồi có nhiều nhất là bao nhiêu góc không tù? (A) 2; (B) 3; (C) 4; (D) 5; (E) 6. Câu 3. Xác định hai chữ số tận cùng của số sau M = 23 + 202006 + 2002007 + 20062008? (A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp số đã nêu. Câu 4. Có n viên bi trong hộp được gắn nhãn lần lượt là 1, 2, . . . , n. Người ta lấy ra một viên bi thì tổng các nhãn của số bi còn lại là 5048. Hỏi viên bi đó được gắn nhãn là số nào? (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) 5. Câu 5. Cho số tự nhiên abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng các số bca và cab cũng chia hết cho 37. Câu 6. Cho 0 < a 6 2. Giải hệ phương trình sau x+ 1 x = ay y + 1 y = az z + 1 z = ax. - Suu tam - Gioi thieu 12 Chương 1. Đề thi Olympic Toán Hùng vương Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có AB < BC. Đường phân giác BP của góc ∠ABC cắt AD ở P . Biết rằng ∆PBC là tam giác cân, PB = PC = 6cm và PD = 5cm. Tính độ dài các cạnh của hình bình hành. Câu 8. Chứng minh rằng tam thức bậc hai g(x) = 3x2 − 2ax + b có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại bộ số α, β, γ sao cho{ a = α + β + γ b = αβ + βγ + γα. Câu 9. Cho ba số dương a1, a2, a3. Các số nguyên α1, α2, α3 và β1, β2, β3 cho trước thoả mãn các điều kiện{ a1α1 + a2α2 + a3α3 = 0 a1β1 + a2β2 + a3β3 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a1x α1yβ1 + a2x α2yβ2 + a3x α3yβ3 , x > 0, y > 0. Câu 10. Tính M = 1 cos pi 5 + 1 cos 3pi 5 . 1.4 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 Câu 1. Hai chữ số tận cùng của số M = 22008 là (A) 16, (B) 36, (C) 56, (D) 76, (E) không phải là các đáp số trên Câu 2. Cho m,n là các số nguyên dương sao cho số A = m2 + 5mn+ 9n2 có chữ số tận cùng bằng 0. Khi đó hai chữ số tận cùng của A là (A) 00, (B) 20, (C) 40, (D) 60, (E) không phải là các đáp số trên Câu 3. Hỏi có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 2008 đồng thời không chia hết cho 2, 3 và 5? - Suu tam - Gioi thieu 1.4. Olympic Toán Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 13 Câu 4. Giải hệ phương trình saux+ xy + y = 5y + yz + z = 11 z + zx+ x = 7 Câu 5. Có thể tìm được hay không năm số nguyên sao cho các tổng của từng cặp trong năm số đó lập thành mười số nguyên liên tiếp? Câu 6. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên A có 4 chữ số tận cùng là 2008 và chia hết cho 2009. Câu 7. Xét hình thoi ABCD cạnh bằng a. Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD,ABC. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức ( a r1 )2 + ( a r2 )2 luôn luôn không đổi. Câu 8. Giải phương trình sau 4x2 + 2 = 3 3 √ 4x3 + x Câu 9. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x2 + 3y2 + 9z2. - Suu tam - Gioi thieu 14 Chương 1. Đề thi Olympic Toán Hùng vương 1.5 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5, năm 2009 Câu 1. Chứng minh rằng từ 2009 số tự nhiên tùy ý đều có thể chọn được một hoặc một số số mà tổng của nó chia hết cho 2009. Câu 2. Tìm bộ ba số nguyên tố liên tiếp (liền kề) sao cho tổng bình phương của chúng cũng là một số nguyên tố. Câu 3. Trong 100 học sinh hệ chuyên có 29 em giỏi toán, 30 em giỏi văn, 42 em giỏi nhạc. Trong số đó có 8 em vừa giỏi toán, vừa giỏi văn, 10 em vừa giỏi nhạc vừa giỏi toán, 5 em vừa giỏi nhạc vừa giỏi văn, có ba em giỏi cả ba môn. Hỏi có bao nhiêu em chỉ giỏi toán, chỉ giỏi văn, chỉ giỏi nhạc và bao nhiêu em không giỏi môn nào? Câu 4. Cho f, g xác định và thỏa mãn hệ thức f(x+ 6) + 2g(2x+ 15) = 1 2 (x+ 2) f (x+ 2 2 ) + g(x+ 5) = x+ 4. Hãy xác định f(x) và g(x). Câu 5. Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn đẳng thức 2(x2 + 1)(y2 + 1) = (xy + 1)(x+ 1)(y + 1). Câu 6. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm, M là một điểm di động trên mặt phẳng chứa hình vuông sao cho MA2 +MB2 = MC2. Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M tới điểm D. Câu 7. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Tìm quỹ tích những điểm M trong tam giác ABC sao cho MA MA′ + MB MB′ + MC MC ′ = 3, - Suu tam - Gioi thieu 1.6. Đáp án Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5-2009 15 trong đó A′, B′, C ′ lần lượt là giao của MA,MB,MC với đường tròn đã cho. Câu 8. Tổng của một số các số nguyên dương là 2009. Tìm giá trị lớn nhất của tích các số nguyên dương đã cho. Câu 9. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số là các số nguyên không âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn điều kiện f(8) = 2009. 1.6 Đáp án Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5-2009 Câu 1. Gọi 2009 số đã cho là a1; a2; a3; . . . ; a2009. Xét 2009 tổng sau: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 . . . . . . S2009 = a1 + a2 + a3 + cdots+ a2009 Nếu tồn tai một trong các tổng trên chia hết cho 2009 luôn thì ta có luôn điều phải chứng minh. Nếu trong các tổng trên không tồn tại tổng nào chia hết cho 2009. Ta xét đồng dư của các tổng trên khi chia cho 2009. Lúc này tâp số dư khi chia 2009 của tổng này là: S = {1; 2; 3; ...; 2008} . Theo nguyên lí Drichlet ta có ít nhất 2 trong số các tổng trên có cùng số dư khi chia cho 2009. Giả sử 2 tổng đó là Si và Sj. ⇒ |Si − Sj|...2009. Ta có điều phải chứng minh. Câu 2. Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp là p, q, r với 2 ≤ p < q < s. Bộ ba số nguyên tố liên tiếp đầu tiên là 2,3,5 có 22 + 32 + 52 = 38 không là số nguyên tố nên không thỏa mãn. - Suu tam - Gioi thieu 16 Chương 1. Đề thi Olympic Toán Hùng vương Bộ ba số nguyên tố liên tiếp tiếp theo là 3,5,7 có 32 + 52 + 72 = 83 là số nguyên tố nên là bộ ba thỏa mãn đề bài. Xét p > 3, thì hiển nhiên q, r > 3. Nhận xét rằng các số nguyên tố này đều có dạng ±1( mod 6) vì không chia hết cho 2 và 3. Vì thế nên tổng bình phương của chúng luôn chia hết cho 3, không phải là số nguyên tố. Vậy bộ ba số nguyên tố liên tiếp tiếp (3,5,7) là bộ ba số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài. Câu 3. Dùng sơ đồ Ven ta thu được: - Số em chỉ giỏi Toán là 14. - Số em chỉ giỏi Văn là 20. - Số em chỉ giỏi Nhạc là 30. - Số em không giỏi môn nào là 19. Câu 4. Ta có  f(x+ 6) + 2g(2x+ 15) = 1 2 (x+ 2) (1) f( x+ 2 2 ) + g(x+ 5) = x+ 4. (2) Trong (2) thay x bởi 2x+ 10 ta có f(x+ 6) + g(2x+ 15) = 2x+ 14. Từ đó ta có hệ { f(x+ 6) + 2g(2x+ 15) = 1 2 (x+ 2) f(x+ 6) + g(2x+ 5) = 2x+ 14. Giải hệ này ta tìm được f(x+ 6) = 7x+ 54 2 (x+ 2) (3) g(2x+ 15) = −3x− 26 2 . (4) Trong (3) thay x bởi x− 6 ta tìm được f(x) = 7x+ 12 2 , trong (4) thay x bởi x− 15 2 ta tìm được g(x) = −3x− 7 4 . - Suu tam - Gioi thieu 1.6. Đáp án Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5-2009 17 Câu 5. Theo bất đẳng thức Cauchy (Bunhiacopski), ta có 2(x2 + 1) ≥ (x+ 1)2, 2(y2 + 1) ≥ (y + 1)2, (x2 + 1)(y2 + 1) ≥ (xy + 1)2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Suy ra [2(x2 + 1)(y2 + 1)]2 ≥ [(x+ 1)(y + 1)(xy + 1)]2, hay 2(x2 + 1)(y2 + 1) ≥ |(x+ 1)(y + 1)(xy + 1)| ≥ (x+ 1)(y + 1)(xy + 1). Vậy để có đẳng thức, ta phải có (x, y) = (1, 1). Câu 6. Không giảm tính tổng quát ta giả thiết hình vuông ABCD có các đỉnh A,B,C,D theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Lập hệ trục tọa độ Oxy có đỉnh O(0; 0), A(2; 0), C(0; 2), B(2; 2), gọi M(x; y). Theo giả thiết ta có MA2 +MB2 = MC2 ⇔(x− 2)2 + y2 + (x− 2)2 + (y − 2)2 = x2 + (y − 2)2 ⇔x2 − 8x+ 8 + y2 = 0 ⇔(x− 4)2 + y2 = 8. Phương trình (1) là phương trình của đường tròn có tâm I(4; 0) thuộc trục Ox bán kính R = 2 √ 2. Suy ra khoảng cách lớn nhất từ M tới D là d = MI+R = 4 + 2 √ 2. Câu 7. Ta có MA.MA = MB.MB = MC.MC = R2 −MO2. Suy ra µ = MA MA + MB MB + MC MC = MA2 MA.MA + MB2 MB.MB + MC2 MC.MC = MA2 +MB2 +MC2 R2 −MO2 . Mà MA2 +MB2 +MC2 = 3MG2 +GA2 +GB2 +GC2 - Suu tam - Gioi thieu 18 Chương 1. Đề thi Olympic Toán Hùng vương = 3MG2 +OA2 +OB2 +OC2 − 3GO2 = 3MG2 + 3R2 − 3GO2. Do vậy µ = 3 và MG2 + MO2 = OG2, tức quỹ tích M là đường tròn đường kính OM . Câu 8. Ta có một số nhận xét sau: - Nhận xét 1: với x1, x2, · · · , xk là các số nguyên dương thì x1+x2+· · ·+xk+1 = x1+x2+· · ·+(xk+1) và x1.x2 · · ·xk.1 < x1.x2 · · · (xk+1). Do đó tích của các số nguyên có tổng bằng 2009 là lớn nhất khi các số nguyên đó lớn hơn hoặc bằng 2. - Nhận xét 2: với số n > 4, ta có 2(n− 2) > n, do đó trong các số phải tìm không thể có số lớn hơn 4, vì nếu có số n như thế thì ta tách thành hai số 2 và n− 2 thì tổng của chúng vẫn là 2009, trong khi tích của chúng lớn hơn, mâu thuẫn với điều kiện lớn nhất của tích. - Nhận xét 3: Do 23 < 32, nên trong các số cần tìm không thể có nhiều hơn hai số 2, vì khi đó ta thay ba số 2 bởi hai số 3 để được một tích lớn hơn. - Nhận xét 4: Trong các số cần tìm không thể vừa có số 2 vừa có số 4, vì khi đó ta có thể thay số 2 và số 4 bởi hai số 3 để thu được một tích lớn hơn. Từ các nhận xét trên ta suy ra các số cần tìm sẽ gồm các chữ số 3 và một hoặc hai số 2 hoặc một số 4. Nhưng ta có 2009 = 669.3 + 2, do đó các số cần tìm có một số 2 và 669 số 3, khi đó tích của chúng đạt giá trị lớn nhất là 2.3669. Câu 9. Ta có MA.MA′ = MB.MB′ = MC.MC ′ = R2MO2. - Suu tam - Gioi thieu 1.6. Đáp án Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5-2009 19 Suy ra MA MA′ + MB MB′ + MC MC ′ = MA2 MA′.MA + MB2 MB′.MB + MC2 MC ′.MC MA2 +MB2 +MC2 R2 −MO2 mà Do vậy quỹ tích của M là đường tròn đường kính OM . Câu 10. Xét đa thức f(x) = a0x n + a1x n−1 + · · ·+ an, trong đó a0, a1, . . . , an là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8. Do f(8) = 2009 nên a08 n + a18 n−1 + · · · + an = 2009. Thực hiện phép chia 2009 cho 8 được dư a0 = 1. Lại lấy thương của phép chia này cho 8 ta được a1 = 3, liên tiếp thực hiện phép chia như thế ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 3x+ 1. —————————— - Suu tam - Gioi thieu Chương 2 Đại cương về lịch sử môn giải tích toán học 2.1 Tóm lược lịch sử môn giải tích 2.1.1 Hy Lạp và La mã cổ đại Pythagoras (580-500 trước công nguyên) Định lí Pythagoras về tam giác vuông; số vô tỷ √ 2. Euclid (300 trước Công nguyên) Có quyền lực nhất trong các nhà toán học cùng thời với ông. Định lý Euclid về số hoàn hảo và vô hạn các số nguyên tố. Arcgimedes (287-212 trước Công nguyên) Xác định được tiếp tuyến, diện tích và thể tích chủ yếu bằng phép tính vi phân; tìm thể tích và diện tích mặt của một hình cầu; trọng tâm đối với trọng lực; đường xoắn ốc Arcgimedes; tính được sốpi. Pappus (Thế kỷ thứ tư sau Công nguyên) Trọng tâm của trọng lực đối với các vật thể và mặt cong tròn xoay. 2.1.2 Trung cổ Descartes (1596-1650) 20 - Suu tam - Gioi thieu 2.1. Tóm lược lịch sử môn giải tích 21 Được coi là ông tổ của hình học giải tích; đưa ra một vài khái niêm tuyệt vời. Mersenne (1588-1648) Chứng minh lại các ý tưởng; đường cycloid; số nguyên tố Mersenne. Fermat (1601-1665) Thực sự tìm ra hình học giải tích; tính toán và sử dụng đạo hàm và tích phân; sáng lập ra giải tích số hiện đại; xác suất. Pascal (1623-1662) Phép quy nạp toán học; hệ số nhị thức; cycloid; Định lý Pascal trong hình học; xác suất; được ảnh hưởng từ Leibnitz. Huygens (1629-1695) Dãy số, cycloid; sự vận động vòng tròn; Dạy học toán của Leibnitz (ai là giáo viên; ai là học sinh). 2.1.3 Cận đại Newton (1642-1727) Ông sáng tạo ra phép tính vi phân; tìm ra Định lý cơ bản; sử dụng chuỗi số; gần như là người sáng tạo ra thiên văn học và vật lý như là một ngành khoa học Toán. Leibnitz Các sáng tạo của ông là các dạng tốt nhất của phép tính vi phân; tìm ra định lý cơ bản; sáng tạo ra một vài khái niệm quý; dạy anh em nhà Bernoulli. Anh em nhà Bernoulli (James 1654-1705, John 1667-1748) Học được phép tính vi phân từ Leibnitz và phát triển áp dụng nó một cách tổng quát; chuỗi số; John là thầy giáo của Euler - Suu tam - Gioi thieu 22 Chương 2. Đại cương về lịch sử môn giải tích toán học Euler (1707-1783) Làm việc trên phép tính vi phân và phát triển nó rất tổng quát; hệ thống hoá hình học giải tích và lượng giác; đưa ra các ký hiệu e, pi, i, f(x), sinx, cosx; chuỗi và các tính chất; phép tính vi phân đối với sự biến thiên. Lagrange (1736-1813) Phép tính vi phân đối với sự biến thiên; cơ học giải tích. Laplace (1749-1827) Cơ học vũ trụ, lý thuyết xác suất và sự tiến bộ của con người. Fourier (1768-1830) Chuỗi Fourier; phương trình truyền nhiệt. 2.1.4 Hiện đại Gauss (1777-1855) Khởi xướng toán học chính xác với chứng minh hội tụ của chuỗi; lý thuyết số; số phức trong giải tích; đại số và lý thuyết số; hình học vi phân; hình học phi Euclid; v.v. . . Cauchy (1789-1857) Xử lý một cách kỹ lưỡng về giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân, chuỗi, giải tích phức. Abel (1802-1829) Chuỗi nhị thức, phương trình bậc năm; phép tính tích phân; hàm elliptic. Dirichlet (1805-1859) Một người có rất nhiều đóng góp trong việc xây dựng những giá trị bền vững cho giải tích và lý thuyết số. Liouville (1809-1882) Tích phân của những hàm cơ bản, số siêu việt. - Suu tam - Gioi thieu 2.2. Đại cương về lịch sử môn giải tích toán học thời Hy Lạp và La mã cổ đại 23 Riemann (1826-1866) Tích phân Rimann; định lý hoán vị Riemann; hình học Riemann; hàm zeta Riemann; giải tích phức. 2.2 Đại cương về lịch sử môn giải tích toán học thời Hy Lạp và La mã cổ đại 2.2.1 Pythagoras (580-500 trước Công nguyên) Ba phần năm thiên tài và hai phần năm là những điều vớ vẩn J.R.Lowell Nền văn minh phương Tây như một dòng sông lớn