Lý thuyết đại số đại cương

ÁNH XẠ Aùnh xạ f: X Y A Ì X , B Ì Y x f(x) f: ánh xạ Û f(A) = íyỴY ï $ aỴA : f(a) = yý (ảnh) f–1(B) = íxỴX ï f(x)ỴBý ( tạo ảnh) f: đơn ánh Û f: toàn ánh Û "yỴY, $ xỴX : f(x) = y f: song ánh Û "yỴY, $! xỴX : f(x) = y $f–1 Û f: song ánh QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢP Quan hệ tương đương "xỴX, x ~ x (phản xạ) "x,yỴX, x ~ y Þ y ~ x (đối xứng) "x,y,zỴX, x ~ y và y ~ z Þ x ~ z (bắc cầu) Quan hệ thứ tự "xỴX, x £ x (phản xạ) "x,yỴX, x £ y và y £ x Þ y = x (phản đối xứng) "x,y,zỴX, x £ y và y £ z Þ x ~ z (bắc cầu) Lớp tương đương: C(a) = [a] = íxỴX ï a ~ x ý NHÓM (X,) – nửa nhóm Û "x, y, z Ỵ X: (x.y).z = x.(y.z) (X,) – vị nhóm Û (X,) – nhóm Û Û Û (X,) – nhóm ebel Û Nhóm con A của nhóm X (A „ X) (A,+) ổn định Û "x,y Ỵ A Þ x + y Ỵ A A „ X Û Nhóm con sinh bởi A, nhóm con xyclic sinh bởi a Cho (X,) – nhóm, A ¹ E, A Ì X. Ta nói nhóm con của X sinh bởi A, k/h áAđ, nếu (Nhóm con sinh bởi A là nhóm con nhỏ nhất chứa A) Nếu A = {a} thì ta nói nhóm con xyclic của X sinh bởi a, k/h áađ, a đgl phần tử sinh của X. Nếu $ aỴX: áađ = X thì X đgl nhóm xyclic Nếu $AÌX: áAđ = X thì A đgl tập sinh của X. Lớp kề của A trong X A £ X, "x Ỵ X: (lớp kề trái) (lớp kề phải) Lưu ý: xA = yA Û x–1y Ỵ A Nhóm con chuẩn tắc A của nhóm X (A ⊲ X) A ⊲ X Û Û Lưu ý: Trong 1 nhóm abel, mọi nhóm con đều chuẩn tắc. Nhóm thương của X trên A Nếu A ⊲ X thì với xA.yA = xyA đgl nhóm thương của X trên A. Nhóm xyclic (X,) – nhóm xyclic Û $aỴX: x = am, "xỴX, mỴZ (a–phần tử sinh) Cấp của nhóm, phần tử của nhóm Cấp của nhóm X, kí hiệu , là số phần tử của X. Cấp của aỴX ĐL Lagrange: (X,) – nhóm hữu hạn, A £ X Þ Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó. Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp) Tâm của nhóm X ( Z(X) ) Z(X) = íaỴX ï ax = xa, "xỴXý Lưu ý: X abel Û X = Z(X) Z(X) là nhóm con abel của X ĐỒNG CẤU Đồng cấu nhóm X, Y là nhóm, f đgl đồng cấu nhóm Û f(ab) = f(a).f(b) "a,b ỴX Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm Tính chất của đồng cấu nhóm a) b) c) Định lí cơ bản của đồng cấu nhóm Cho Khi đó: 1) 2) Img = Imf Đặc biệt: Nếu thì g đẳng cấu. Khi đó: Nếu là toàn cấu thì Lưu ý: Để cm , ta cm các bước sau: B1: là ánh xạ B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Định lí đẳng cấu X – nhóm, A,B ⊲ X, A Ì B Þ VÀNH (X,+,) – vành Û Tính chất của vành Ox = xO = O , "xỴX (–x)y = x(–y) = –(xy) , "x,yỴX (–x)(–y) = xy , "x,yỴX x(y – z) = xy – xz , "x,yỴX (x – y)z = xz – yz , "x,yỴX (nx)y = x(ny) = n(xy) , "x,yỴX , "nỴZ (x1 + … + xm) (y1 + … + yn) = , "xi,yjỴX Nhóm các ước của đơn vị (nhóm các phần tử khả nghịch) Vành X có đơn vị là 1 và Khi đó: (X*,) đgl nhóm các ước của đơn vị. Ước của 0 X–vành, a,bỴX, a¹0, b¹0, có ab = 0 thì a–ước trái của 0, b–ước phải của 0 Miền nguyên Miền nguyên Û Một vành giao hoán X có đơn vị 1 ¹ 0 là một miền nguyên khi và chỉ khi trong X có luật giản ước: ab = ac, a ¹ 0 Þ b = c , "a,b,cỴX Tích trực tiếp Vành X1 ´ X2 ´ … ´ Xn đgl tích trực tiếp của các vành X1, …, Xn nếu tập tích được đ/n phép + và sau: (x1, … ,xn) + (y1, … ,yn) = (x1+y1, … ,xn+yn) (x1, … ,xn) (y1, … ,yn) = (x1y1, … ,xnyn) Vành con A của X (AX) AX Û Û Tâm của vành ( Z(X) ) Z(X) = íaỴX ï ax = xa, "xỴXý Lưu ý: Z(X) X Iđêan A của vành X (A X) A X Û Lưu ý: Để cm A là iđêan nhỏ nhất chứa a, giả sử B là iđêan của X mà chứa a rồi cm A Ì B Iđêan sinh bởi một tập, iđêan chính sinh bởi a Giả sử X–vành, A ¹ E, A Ì X. Khi đó, iđêan của X sinh bởi tập A (hay iđêan bé nhất của X chứa A), k/h: (A), nếu (A)= ÇXi , Xi X , A Ì Xi , "i Nếu A = íaý thì iđêan sinh bởi A đgl iđêan chính sinh bởi a. K/h: (a) Đặc biệt: Nếu X là vành giao hoán có đơn vị thì Mô tả: Iđêan trái chính của X sinh bởi a: Iđêan phải chính của X sinh bởi a: Iđêan chính sinh bởi a: Vành các iđêan chính. Miền chính Một vành giao hoán có đơn vị 1 ¹ 0 trong nó mọi iđêan đều là iđêan chính đgl vành các iđêan chính. Một vành các iđêan chính đồng thời là một miền nguyên đgl miền chính. Vành thương của vành X theo iđêan A Giả sử A X. Khi đó: A ⊲ (X,+). Ta có: với 2 phép toán: là vành thương của vành X trên iđêan A. ĐỒNG CẤU Đồng cấu vành X, Y là vành, f đgl đồng cấu vành Û Hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành Tính chất của đồng cấu vành a) Kerf X, Imf Y b) A X Þ f(A) Y B Y Þ f–1(B) X Định lí cơ bản của đồng cấu vành Cho Khi đó: 1) 2) Img = Imf Đặc biệt: Nếu thì g đẳng cấu. Khi đó: Nếu là toàn cấu thì Lưu ý: Để cm , ta cm các bước sau: B1: là ánh xạ B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Thể (X,+,) – thể Û Trường (X,+,) – trường Û thể giao hoán Û Û Trường con A – trường con của trường X Û