Một số dạng toán về luỹ thừa trong chương trình Toán 6

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LUỸ THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 6 ------- I- LÝ THUYẾT: Dựa vào một số kiến thức sau: 1) Định nghĩa luỹ thừa. 2) Các phép tính về luỹ thừa 3) Chữ số tận cùng của một luỹ thừa. 4) Khi nào thì hai luỹ thừa bằng nhau ? 5) Tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức. 6) Tính chất chia hết. 7) Tính chất của những dãy toán có quy luật. 8) Hệ thống ghi số. II- BÀI TẬP: 1. Viết biểu thức dưới dạng một luỹ thừa: a) Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố. Bài 1: Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa ( bằng nhiều cách nếu có). a) 410 . 815 b) 82 . 253 Bài giải: a) 410. 815 = (22)10 . (23)15 = 220 . 245 = 265 Ta thấy 265 = (25)13 = 3213 265 = (213)5 = 81925 Vậy ta có 3 cách viết là: 410 . 815 = 265 410 . 815 = 3213 410 . 815 = 81925 b) 82 . 253 = (23)2 . (52)3 = 26. 56 = 106 Ta thấy 106 = (102)3 = 1003 106 = (103)2 = 10002 Vậy ta có 3 cách viết là: 82 . 253 = 106 82 . 253 = 1003 82 . 253 = 10002 b) Nhóm các thừa số một cách thích hợp. Bài 2 Viết biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa. ( 2a3x2y) . ( 8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) Bài giải: ( 2a3.x3y ) . (8a2x3y4) . ( 16a3x3y3) = (2.8.16) (a3. a2. a3) . ( x2x3 x3) . (y.y4.y3) = 28 .a8. x8. y8 = (2axy)8 Bài 3: Chứng tỏ rằng mỗi tổng ( hiệu) sau đây là một số chính phương. a) 32 + 42 b) 132 -52 c) 13 + 23 + 33 + 43 Bài giải: a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 b) 132 - 52 = 169 - 25 = 144 = 122 c) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102 2- Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. * Luỹ thừa có cơ số tận cùng đặc biệt ( x, y, ÎN) = (n ÎN *) = = (n ÎN *) (n ÎN *) Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau: a) 42k ; 42k + 1. b) 92k ; 92k + 1 ( k Î N*) Bài giải: a) Ta có: 42k = (42)k = 42k + 1 = (42)k .4 = b) Tương tự ta có: 92k = 92k + 1 = Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các luỹ thừa sau. a) 22005; 32006 b) 72007 ; 82007 Bài giải: a) Ta có: 22005 = (24)501 . 2 = 32006 = (34)501 . 32 = b) Ta có: 72007 = (74)501 . 73 = ()501.3 = 82007 = (84)501 . 83 = (501 . 2 = 3. Tính giá trị biểu thức: a) Tính theo quy tắc thực hiện phép tính: Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau. 33 . 9 - 34 . 3 + 58. 50 - 512 : 252 Bài giải: 33 . 9 - 34. 3 + 58 . 50 - 512 : 252 = 35 - 35 + 58- 58 = 0 b) Sử dụng tính chất phép tính. Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lý nhất. A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 B = 9 ! - 8 ! - 7 ! . 82 Bài giải: A = ( 256 + 156 - 106 ) : 56 = ( 25: 5 )6 + ( 15 : 5)6 - (10:5) 6 = 56 + 36 - 26 = 15625 + 729 - 64 = 16290 B = 9 ! -8 ! - 7! .82 = 8 ! ( 9-1) - 8 ! 8 = 8 ! . 8 - 8! .8 = 0 c) Biểu thức có tính quy luật. Bài 1: Tính tổng. A = 1 + 2 + 22+...+ 2100 B = 3 - 32 + 33 - ... - 3100 Bài giải: A = 1 + 2 + 22 + ...+ 2 100 => 2A = 2 + 22 + 23 + ...+ 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + ...+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ ...+2100) Vậy A = 2101 - 1 B = 3 - 32 - 33 - ...- 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - ...- 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - ...- 3100) + ( 32 - 23 +34 - ... - 3101) 4B = 3 - 3101 Vậy B = ( 3- 3101) : 4 Bài 2: Tính tổng a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 b) B = 7 - 74 + 74 -...+ 7301 Bài giải: a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + ...+ 5200 25 A = 52 + 54+ ...+ 5202 25 A - A = 5202 - 1 Vậy A = ( 5202 -1) : 24 b) Tương tự B = Bài 3: Tính A = + + + ... + B = + - + ...+ Bài giải: A = + + + ... + 7A = 1 + + + ... + => 7A - A = 1 - A = : 6 B = + - + ...+ 5B = -4 + + +...+ B+5B = -4 + B = : 6 Bài 3: Tính A = Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 +...+252 + 1 = (2528 + 2524 + 2520 + ...+1)+ ( 2530 + 2526 +2522+...+252) = (2528 + 2524+ 2520+...1) +252. (2528+ 2526+ 2522+ ...+ 1) = (2528+ 2524 + 2520+ ...+1) . (1 + 252) Vậy A = = d) Sử dụng hệ thống ghi sổ - cơ số g. Bài 1: Tính A = 6 107 + 5.105+ 4.103+2.10 B = 12. 108 + 17.107 + 5.104 + 3 Bài giải: A = 6.107 + 5.105 + 4.103 + 2.10 = 6.107 + 0.106 + 5.105 + 0.104 + 4.103+ 0.102+ 2.10 + 0.100 = 60504020 B = 12.108 + 17 .107 + 5.104 + 3 = (10+2) .108+ ( 10 +7).107+5.104 + 3 = 109 + 2.108 + 108 + 7.107 + 5.104 + 3 = 109 + 3.108 + 7.107+ 0.106+ 0.105 + 5.104 +0.103 + 0.102 + 0.101+3.100 = 1370050003. 4. Tìm x a) Đưa về cùng cơ số ( số mũ) Bài1: Tìm xN biết a) 4x = 2x+1 b) 16 = (x -1)4 Bài giải: a) 4x = 2x + 1 (22)x = 2 x + 1 22x = 2x+ 1 2x = x +1 2x- x = 1 x = 1 b) 16 = ( x -1)4 24 = (x -1)4 2= x - 1 x = 2+1 x = 3 Bài 2: Tìm xN biết a) x10 = 1x b) x10 = x c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 d) x2<5 Bài giải: a) x10 = 1x x10 = 110 x = 1 b) x10 = x x10 - x = 0 x.( x9 - 1) = 0 Ta có: x = 0 hoặc x9 -1 =0 Mà x9 -1 = 0 x9 = 19 x = 1 Vậy x = 0 hoặc x =1 c) (2x -15)5 = ( 2x -15)3 Vì hai luỹ thừa bằng nhau, có cơ số bằng nhau, số mũ khác nhau ( ¹0) Suy ra 2x - 15 = 0 hoặc 2x - 15 = 1 + Nếu 2x - 15 = 0 x = 15 : 2 N ( loại) + Nếu 2x - 15 = 1 2x = 15 + 1 x = 8 d) Ta có x2 < 5 và x2³ 0 => x2 Î 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 Mặt khác x2 là số chính phương nên x2 Î 0 ; 1; 4 hay x2 Î 02 ; 12 ; 22 x Î 0; 1 ; 2 Dựa vào bài tập SGK lớp 6 Bài 4: Tìm x Î N biết a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = ( x +1)2 b) 1 + 3 + 5 + ...+ 99 = (x -2)2 Bài giải: a) 13 + 23 + 33 + ...+ 103 = (x +1)2 ( 1+ 2 + 3+...+ 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 2 55 = x +1 x = 55- 1 x = 54 b) 1 + 3 + 5 +...+ 99 = ( x -2)2 = ( x - 2)2 502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + 2 x = 52 ( Ta có: 1 + 3 + 5+ ...+ ( 2n+1) = n2) Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y Î N thoả mãn 73 = x2 - y2 Ta thấy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 +...+73) - (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 - y2 (1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 - (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 b) Sử dụng chữ số tận cùng của một luỹ thừa. Bài 1: Tìm x ; y Î N* biết. x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ...+ y! Bài giải: Ta thấy x2 là một số chính phương Có chữ số tận cùng là 1 trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 Mà: + Nếu y = 1 Ta có x = 1 ! = 12 ( TM) + Nếu y = 2 Ta có: x2 = 1 ! + 2! = 3 ( Loại) + Nếu y = 3 Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! = 9 = 32 ( TM) x = 3 + Nếu y = 4 Ta có: x2 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! = 33 ( loại ) + Nếu y ³ 5 Ta có: x2 = ( 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! ) + ( 5! + 6! + ...y! ) = + = ( loại) Vậy x = 1 và y = 1 x = 3 và y = 3 Bài 2: Tìm x Î N* biết. A = 111....1 - 777 ...7 là số chính phương 2 x chữ số 1 x chữ số 7 Bài giải: + Nếu x = 1 Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM) + Nếu x > 1 Ta có A = 111...1 - 777...7 = M 2 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà M 4 Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) Vậy x = 1 c) Dùng tính chất chia hết Bài 1: Tìm x; y ÎN biết: 35x + 9 = 2. 5y *)Nếu x = 0 ta có: 350 + 9 = 2.5y 10 = 2.5y 5y = 5 y =1 *) Nếu x >0 + Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50 35x + 9 = 2 ( vô lý) + Nếu y > 0 ta thấy: 35x + 9 M 5 vì ( 35x M 5 ; 9 M 5 ) Mà 2. 5y M 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) Vậy x = 0 và y = 1 Bài 2: Tìm a; b Î Z biết. ( 2a + 5b + 1 ) (2ôaô + a2 + a + b ) = 105 Bài giải: *) Nếu a = 0 ta có: ( 2.0 + 5b + 1) . (2101 + 02 + 0 + b) = 105 (5b + 1) . ( b + 1) = 105 Suy ra 5b + 1 ; b + 1 Î Ư (105) mà ( 5b + 1)M 5 dư 1 Ta được 5b + 1 = 21 b = 4 ( TM) * Nếu a ¹ 0 Ta thấy ( 2a + 5b + 1) . ( 2½a½ + a2 + a + b) = 105 Là lẻ Suy ra 2a + 5b + 1 và 2½a½ + a2 + a + b đều lẽ (*) + Nếu a chẵn ( a ¹0 ) và 2½a½ + a2 +a + b lẻ Suy ra b lẻ.Ta có: 2a + 5b + 1 chẵn ( vô lý) + Nếu a lẻ Tương tự ta thấy vô lý Vậy a = 0 và b = 4 5. So sánh các số. 1) Tính: Bài 1: So sánh 2 luỹ thừa sau: 27 và 72 Bài giải: Ta có: 27 = 128 72 = 49 Vì 128 > 49 nên 27 > 72 2) Đưa về cùng cơ số ( hoặc số mũ) Bài 1: So sánh các luỹ thừa sau. a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 Bài giải: a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39 Vì 310 > 39 nên 95 > 273 b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300 3) Dùng số trung gian. Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 và 1714 Bài giải: Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 2: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân Bài giải: Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 và 1031. * So sánh 2100 với 1030 Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 với 1031 Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26 = 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53 = 231 . 6257. 53 (2) Từ (1) và (2) ta có: 231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Từ (*),( **) ta có: 1031 < 2100 < 1031 Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. Bài 3: So sánh A và B biết. a) A = ; B = b) ; B = c) A = ; B = Bài giải: A = Nên 19A = = = 1 + B = nên 19B = = = 1 + Vì > Suy ra 1 + > 1 + Hay 19A > 19B Nên A > B b) A = nên 22 . A = = = 1 - B = nên 22.B = = = 1- Vì > Suy ra 1 - < 1- Hay 22 A < 22 B Nên A < B c) Ta có: A = = Tương tự B = Từ (1) và (2) Ta có A = + 5 > 5 > 4 > + 3 =B nên A > B 6. Chứng minh: 1) Nhóm các số một cách thích hợp. Bài 1: Cho A = 1 + 3 +32 +...+311 Chứng minh: a) A ∶ 13 b) A ∶ 40 Bài giải: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 = 1+3 + 32) + (33+ 34+ 35) + ...+ (39+ 310+ 311) = ( 1+ 3 +32) + 33 . (1 +3 + 32) + ...+39. (1 + 3 + 32) = 13 + 33 . 13 + ...+ 39 . 13 = 13. ( 1+ 33 + ... + 39 ) ∶ 13 Hay A ∶ 13 b) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) = ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) = 40 + 34 . 40 + 38 . 40 = 40 . ( 1 + 34 + 38) ∶ 40 Hay A ∶ 40 2) Thêm bớt một lượng thích hợp. Bài 1: Cho 10k - 1 ∶ 19 ( k Î N) Chứng minh: a) 102k - 1 ∶ 19 b) 103k - 1 ∶ 19 Bài giải: a) Ta có: 102k - 1 = ( 102k - 10k) + (10k - 1) = 10k . ( 10k - 1) + ( 10k - 1) = (10k - 1). ( 10k + 1) ∶ 19 vì 10k -1 ∶ 19 b) 103k - 1 = ( 103k - 102k ) + (102k - 1) Vì 10k - 1 ∶ 19 102k - 1 ∶ 19 ( theo câu a ) 3) Dùng chữ số tận cùng của luỹ thừa đặc biệt: Bài 1: Cho n ÎN ; n > 1 Chứng minh: + 1 có tận cùng là 7 Bài giải: Vì n > 1 nên 2n ∶ 4 Suy ra 2n = 4k ( k ÎN *) Ta có: + 1 = 24k + 1 = (24)k + 1 = 16 k + 1 = + 1 = Vì 16k = ( k ÎN (*))