Một số kinh nghiệm trong cách giải phương trình trùng phương

Một số kinh nghiệm trong cách giải phương trình trùng phương I) đặt vấn đề Phương trình trùng phương là một trong những dạng phương trình thường gặp ở lớp 9 . Nó có một vai trò không nhỏ trong các đề thi vào lớp 10 cũng như các đề thi tốt nghiệp THCS trước đây . Tuy nhiên đối với HS lớp 9 khi giải phương trình trùng phương thường là lúng túng cách đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn , biện luận số nghiệm cho nên khi kết luận nghiệm của phương trình thường là sót nghiệm và lấy giá trị sai của nghiệm dẫn tới kết quả giải phương trình bị sai hoặc kết luận thiếu nghiệm. Là một giáo viên trực tiếp dạy Toán 9 và bồi giỏi Toán 9 thì theo tôi cần phải làm cho HS thấy rõ vai trò quan trọng của các bước giải phương trình trùng phương và cũng đó ta hệ thống được các bước giải phương trình trùng phương. II) giải quyết vấn đề Trước hết ta cần phải hiểu rõ khái niệm phương trình trùng phương ! Phương trình trùng phương là phương trình có dạng : ax4 + bx2 + c = 0 ( a0 ) (I) Để giải phương trình này ta có phương pháp giải tổng quát sau đây Giải : Đặt x2 = t 0 x4 = t2, Như vậy phương trình trên đã đưa về dạng at2 + bt + c = 0 (I’) Ta giải phương trình (I’) , căn cứ vào nghiệm của (I’) suy ra kết luận nghiệm của phương trình (I). Giải phương trình (I’) + Trường hợp 1 : Nếu phương trình (I’) at2 + bt + c = 0 có a + b + c = 0 thì t1= 1 ; t2 = * Nếu t2 = < 0 thì , Với t = t1 = 1 thì x2 = 1 , ta có x1= 1 , x2 = -1 Với t = t2= < 0 thì x2 = < 0 ( loại ) Kết luận : Vậy phương trình ( I ) có hai nghiệm là x1=1 ; x2 = -1 * Nếu t2 = > 0 thì , Với t = t1 = 1 thì x2 = 1 , ta có x1= 1 , x2 = -1 Với t = t2= > 0 thì x2 = , ta có x3 = , x4 = Kết luận : Phương trình (I) có bốn nghiệm là x1= 1 , x2 = -1, x3 = , x4 = + Trường hợp 2 : Nếu phương trình (I’) at2 + bt + c = 0 có a - b + c = 0 thì t1= -1 ; t2 = * Nếu t2 = - < 0 thì , Với t = t1 = -1 ( loại) Với t = t2= < 0 thì x2 = < 0 ( loại ) Kết luận : Vậy phương trình ( I ) vô nghiệm * Nếu t2 =- > 0 thì , Với t = t1 = - 1 ( loại ) Với t = t2= - > 0 thì x2 = - , ta có x1 = , x2 = Kết luận : Phương trình (I) có hai nghiệm là x1 = , x2 = Ví dụ 1 : Giải phương trình trùng phương sau . x4 – 10x2 + 9 = 0 ( 1 ) x4 + 3x2 – 4 = 0 ( 2 ) Giải : x4 -10x2 + 9 = 0 (1) ; Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (1) có dạng t2 -10t + 9 = 0 (1’) Giải phương trình (1’) , có a + b + c = 1 -10 +9 = 0 t1 = 1 , t2 = = 9 Với t = t1 = 1 thì x2 = 1 x1 = 1 ; x2 = - 1 Với t = t2 = 9 thì x2 = 9 x3 = 3 ; x4 = -3 Kết luận:Phương trình (1) có bốn nghiệm là x1= 1,x2 = -1,x3 =3, x4 = -3 b) x4 + 3x2 – 4 = 0 (2) Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (2) có dạng t2 +3t - 4 = 0 (2’) Giải phương trình (2’)có a + b + c = 1 +3 - 4 = 0 t1 = 1 , t2 = = -4 Với t = t1 = 1 thì x2 = 1 x1 = 1 ; x2 = - 1 Với t = t2 = -4 < 0 (loại) Kết luận : Phương trình (2) có hai nghiệm là x1= 1 , x2 = -1 Ví dụ 2 : Giải phương trình trùng phương sau . x4 + 4x2 + 3 = 0 ( 3 ) 5x4 + 3x2 – 2 = 0 ( 4 ) Giải : x4 + 4x2 + 3 = 0 ( 3 ) Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (3) có dạng t2 +4t + 3 = 0 (3’) Giải phương trình(3’) có a - b + c=1 - 4 + 3 = 0 t1 = -1 , t2 = - = -3 Với t = t1 = -1 < 0 ( loại ) , t = t2 = - 3 < 0 ( loại ) Kết luận : Vậy phương trình (3) vô nghiệm 5x4 + 3x2 – 2 = 0 ( 4 ) Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (4) có dạng 5t2 + 3t - 2 = 0 (4’) Giải phương trình (3’) , có a- b+ c =5 –3 – 2= 0 t1 = -1 , t2 = - = Với t = t1 = -1 < 0 ( loại ) , Với t = t2 = thì ta có x1 = = ; x2 = = Kết luận: Vậy phương trình (4) có hai nghiệm là x1= ; x2= Đối với phương trình (I) không thuộc các trường hợp áp dụng hệ thức Vi-et ( nhẩm nghiệm ) thì ta giải thông thường như đối với phương trình bậc hai . Ta xét công thức nghiệm của phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0 (I’). Tuy nhiên ta cần xem xét những trường hợp phương trình có nghiệm , vô nghiệm cho chính xác không để sót nghiệm . + Trường hợp 3 : Nếu phương trình (I’) at2 + bt + c = 0 không thuộc hai trường hợp trên , ta xét = b2 – 4ac Hoặc = b’2 – ac * Nếu < 0 Hoặc <0 , Phương trình (I’) vô nghiệm suy ra phương trình (I) vô nghiệm * Nếu = 0 Hoặc = 0 Phương trình (I’) có nghiệm kép là t1 = t2 = t1 = t2 = Với t = t1 = t2 = < 0 ( loại) Với t = t1 = t2 = < 0 ( loại ) Kết luận : Phương trình (I) vô nghiệm Với t = t1 = t2 = > 0 thì x2 = x1=;x2=- Với t = t1 = t2 = > 0 thì x2 = x1=; x2 = - Kết luận : Phương trình (I) có hai nghiệm x1 = ; x2 = - x1 = ; x2 = - * Nếu > 0 Hoặc > 0 Phương trình (I’) có hai nghiệm phân biệt là t1 = , t2 = t1 = , t2 = Với t = t1= < 0 ( loại ), t = t2 = < 0 ( loại ) Với t = t1= < 0 ( loại ) , t = t2 = < 0 ( loại ) Kết luận : Phương trình (I) vô nghiệm Với t = t1= > 0 thì ta có x2 = x1= , x2 = t = t2 = < 0 ( loại ) Với t = t1= > 0 thì ta có x2 = x1=, x2 = t = t2 = < 0 ( loại ) Kết luận : Phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt là x1= , x2 = x1=, x2 = Với t = t1= > 0 thì ta có x2 = x1= , x2 = Với t = t2 = > 0 thì ta có x2 = x3 = , x4 = Với t = t1= > 0 thì ta có x2 = x1=, x2 = Với t = t2 = > 0 thì ta có x2 = x3 =, x4 = Kết luận : Phương trình (I) có bốn nghiệm phân biệt là x1= , x2 = x3 = , x4 = x1=, x2 = x3 =, x4 = Ví dụ 3 : Giải các phương trình sau: x4 – 5x2 + 6 = 0 (5) 2x4 – 3x2 – 2 = 0 (6) x4 + 10x2 + 24 = 0 (7) Giải : x4 – 5x2 + 6 = 0 (5) Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (5) có dạng t2 – 5t + 6 = 0 ( 5’) Giải (5’), có = 52 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0 = 1 ,t1 = = 3 ; t2 = = 2 Với t = t1 = 3 > 0 , ta có x2 = 3 x1 = , x2 = - Với t = t2 = 2 > 0 , ta có x2 = 2 x3 = , x4 = - Vậy phương trình có bốn nghiệm x1 = , x2 = - , x3 = , x4 = - 2x4 – 3x2 – 2 = 0 (6) Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (6) có dạng 2t2 – 3t - 2 = 0 ( 6’) Giải (6’), có = (-3)2 - 4.(-2).2 = 9 + 16 = 25 > 0 = 5, t1= = 2 , t2 = = - Với t = t1 = 2 > 0 , ta có x2 = 2 x1 = , x2 = - Với t = t2 =- < 0 ( loại ). Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = - x4 + 10x2 + 24 = 0 (7) Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (7) có dạng t2 + 10t +24 = 0 (7’) Giải (7’), có’ = 52 – 1.24 = 25 – 24 = 1 > 0 = 1, t1 = =- 4 ; t2 = = - 6 Với t = t1 = - 4 < 0 ( loại ) Với t = t2 =- < 0 ( loại ). Vậy phương trình vô nghiệm Trên đây là các ví dụ và các trường hợp giải phương trình trùng phương. Từ các trường hợp trên ta có thể tổng kết thành bảng sau . Sau khi chúng ta hướng dẫn cho học sinh tổng kết được bảng như trên . Học sinh dựa vào bảng đó có thể giải phương trình trùng phương một cách dễ dàng hơn và không bị sót nghiệm hoặc nhầm nghiệm . Ví dụ 4 : Giải và biện luận phương trùng phương sau : x4 + mx2 + ( 2m – 4 ) = 0 (8) Giải : x4 + mx2 + ( 2m – 4 ) = 0 (8) , Đặt x2 = t 0 x4 = t2 , phương trình (8) có dạng : t2 + mt +(2m-4) = 0 (8’) phương trình (8’) có = m2- 4.( 2m – 4 ) = m2 – 8m + 16 = ( m – 4 )2 0 Ta có bảng sau: Trường hợp = m2 – 8m + 16 = ( m – 4 )2 0 Nghiệm của phương trình (8’) Nghiệm của phương trình (8) 1 = 0 m = 4 t1 = t2 = = = -2< 0 Vô nghiệm 2 > 0 m 4 Có = = m - 4 t1 ==-2<0 loại t2 ==2-m 2 – m < 0 Vô nghiệm 2 – m > 0 m < 2 x1 = ; x2 = -; Dựa vào bảng trên ta có kết luận sau : Nếu m < 2 phương trình có hai nghiệm là : x1 = ; x2 = -; Nếu m > 2 phương trình vô nghiệm Trên đây là những phương pháp giải phương trình trùng phương dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a0 ) . Mở rộng đối với phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 (II) ( với n N* , n = 2k , k N) thì cách giải hoàn toàn tương tự . Tuy nhiên đối với phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 (II) ( với n N* , n = 2k + 1, k N) thì điều kiện giá trị của nghiệm thay đổi . Nhưng nhìn chung vẫn dựa trên sườn cơ bản của phương trình trùng phương dạng ax4 + bx2 + c = 0 ( a0 ) (I) và dưới đây là bảng tóm tắt cách giải phương trình dạng (II) Ví dụ 5 : Giải phương trình: a/ x6 – 3x3 – 5= 0 (9) b/ 3x12 – 12x6 + 7 = 0 (10) Giải: a/ x6 – 3x3 – 5 = 0 (9) Đặt x3 = t x6 = t2 phương trình có dạng t2 – 3t – 5 = 0 (9’) Có = 9 – 4(-5) = 29 > 0 t1 = ; t2 = Với t = t1 = x3 = x1 = Với t = t2 = x3= x2 = Vậy Phương trình có 2 nghiệm: x1 = ; x2 = b/ x12 – 12x6 + 7 = 0 Đặt x6 = t 0 x12 = t2 , ta có phương trình: t2 – 12t + 7 = 0 Ta có ’ = 62 – 7 = 36 – 7 = 29 , t1 = ; t2 = Với t = t1 = x6 = x1,2 = Với t = t1 = x6 = x3,4 = Vậy phương trình có nghiệm là x1,2 = ; x3,4 = Trên đây là một số cách giải phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 (II) ( với n N ) Để củng cố cách giải ta có một số bài tập vận dụng sau : Bài 1: Giải phương trình a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) 3x6 + 5x2 – 2 = 0 Bài 2: Giải phương trình (x2-5x)2 + 10(x2- 5x) + 24 =0. Bài 3:Cho phương trình x4 + 2(2m + 1) x2- 3m = 0. Giải phương trìnhvới m =3. Với giá trị nào của m thì phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt. Bài 4: Giải và biện luận phương trình. x4 – 2(a2+b2) x2 + (a2-b2)2 = 0. Bài 5: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt. x4 – 2(a2 + b2 – 1) x2 +(a2 – b2 + 1)2 – 4a2b. Bài 6:Chứng minh rằng phương trình sau đây có 2 nghiệm với mọi giá trị của m. (x+1)4 – (m – 1) (x +1)2 – (m2 – m +1) = 0. Bài 7: Cho phương trình: x4 – 2(m -1)x2 – (m – 3) = 0. Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình có. Bốn phần tử. Ba phần tử. Hai phần tử. Không phần tử nào. III. kết thúc vấn đề Trên đây là một kinh nghiệm rất nhỏ của cá nhân tôi . Tôi áp dụng thấy có hiệu quả nên muốn đưa ra để các đồng nghiệp tham khảo . Tuy nhiên để học sinh khỏi nhầm lẫn hai loại toán này thì cần phải có thời gian luyện tập nhiều để các em được làm nhiều bài tập từ đó rút ra kinh nghiệm Là một giáo viên trẻ mới ra trường và trình độ còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót rất mong được sự góp ý trân tình của các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn !