Một số phương pháp giải pt vô tỉ

Một số phương pháp giải pt vô tỉ Phương trình(pt) chứa căn là 1 nội dung rất quan trọng trong chương trình bồi dưỡng HSG toán bậc THCS và THPT,thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn HSG,thi vào lớp 10 chuyên và kể cả thi đại học Các phương pháp để giải phương trình(gpt) vô tỉ rất đa dạng và phng phú,đòi hỏi học sinh chúng ta phải tư duy thông minh,linh hoạt,khéo léo trong việc vận dụng ,kết hợp các phương pháp giải. I/Phương pháp biến đổi tương đương Chúng ta xét một ví dụ đơn giản sau: Ví dụ 1: Gpt: Lời giải: Pt đã cho tương đương: Giả sử 2 vế pt cùng dấu,bình phương 2 về rồi rút gọn được: Thử lại thấy thỏa mãn.Vậy pt có nghiệm Rõ ràng,biến đổi tương đương là phương pháp đơn giản nhất đẻ gpt vô tỉ.Nhưng khi bình phương 2 vế,ta cần chú ý tới điều kiện cùng dấu của 2 vế pt.Để cho chắc chắn,sau khi ra kết quả,chúng ta nên thử lại và loại bỏ những nghiệm không thỏa mãn. Chúng ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Gpt: Lời giải:ĐKXD Nếu gpt này bằng cách bình phương 2 vế thì lời giải sẽ dài dòng và không phù hợp với mỹ quan toán học 1 chút nào.Ta chú ý rằng có biểu thức nhân liên hợp là và tích của chúng là Do đó,pt đã cho tương đương: Bình phương 2 vế được: =>( do với mọi ) Vậy pt có nghiệm II/Dùng hằng đẳng thức để gpt vô tỉ 1)Pt dạng và Ví dụ 3: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt đã cho tương đương: Ví dụ 4: Gpt: Lời giải: ĐKXD .Pt đã cho tương đương: Việc giải tiếp 2 pt vô tỉ này quả thực là không quá khó khăn.....Chúng ta sang dạng tiếp theo: 2)Pt dạng Ví dụ 5: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt đã cho tương đương với 3)Pt dạng Ví dụ 6: Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt này tương đương: 4)Pt dạng Ví dụ 7:Gpt: Lời giải: Pt đã cho tương đương: Vậy pt có nghiệm __________________ III/Sử dụng định lý Viét để biến đổi pt chứa căn thành pt tích Ví dụ 8: Gpt: Lời giải:Đặt ta có: Chú ý rằng nên nếu đặt thì Ví dụ 9:Gpt: Lời giải: ĐKXD Pt đã cho tương đương: Đặt thu được: Đặt Qua 2 ví dụ trên,ta thấy các bước giải cơ bản của phườn pháp này là: Bước 1: Viết phương trình về dạng bậc 2,đặt ẩn phụ Bước 2: Biến đổi về dạng thích hợp và kiểm tra dạng Viét IV/Đặt ẩn phụ Khi bình phương 2 vế của 1 pt chứa căn mà ta được 1 pt bậc caokhos giải thì chúng ta thường nghĩ ngay đến phương pháp đặt ẩn phụ.Ẩn phụ thường chính là biểu thức chứa căn ,làm pt đơn giản hơn hoặc đưa pt về hệ phương trình theo ẩn phụ 1)Đặt ẩn phụ để làm gọn pt Ví dụ 10:Gpt: Lời giải: ĐKXD hoặc [TEX-1 \leq x \leq 0[/tex].Chia cả 2 vế cho ta được: Đặt ta có: hay (loại) => 2)Đặt ẩn phụ đưa pt về hpt Ví dụ 11:Gpt: Lời giải: ĐKXD Đặt => Ta thu được hệ: Ta dễ dàng giải được hệ này! 3)Một số dạng pt đặt ẩn phụ cơ bản a) Đặt ,ta thu được pt bậc 2: b) Đặt => Thu được pt bậc 2: c) Đặt => Thu được pt bậc 2 d) Đặt => Thu được thu được =============== V/Sử dụng BDT để gpt vô tỉ Khi gpt vô tỉ ta chú ý đến các BDT sau: 1)BDT Cauchy(AM-GM) Cho số không âm .Khi đó ta có BDT: Đẳng thức xảy ra Ví dụ 12:Gpt: Lời giải: ĐKXD .Theo BDT AM-GM ta có: Đẳng thức xảy ra 2)BDT Bunhiacopski(B.C.S) Với 2 bộ số và bất kì ta có: Đẳng thức xảy ra Ví dụ 13: Gpt: Lời giải: ĐKXD Áp dụng BDT B.C.S ta có: Đẳng thức xảy ra (do 3)Áp dụng tính chất nghịch biến của hàm khi và đồng biến của khi để gpt chứa căn Ví dụ 14:Gpt: Lời giải:ĐKXD => Đẳng thức xảy ra 4)Sử dụng tính chất đơn điệu để gpt chứa căn Dạng thường gặp là: Giả sử =>=> => Ví dụ 15:Gpt: Lời giải: ĐKXD Giả sử =>=> =>=>=>=. Các tính chất đơn điệu cơ bản của hàm số như sau: * là hàm đơn điệu tăng * là hàm đơn điệu tăng với *Nếu là hàm tăng,suy ra là những hàm tăng *Nếu là những hàm tăng và luôn dương suy ra là hàm giảm và là hàm tăng 5)Các BDT khác: a)Với ta có: Đẳng thức xảy ra Ví dụ 16:Gpt: Lời giải:ĐKXD Ta có: Đẳng thức xảy ra => b)Với ,ta có BDT: Ví dụ 17: Gpt: Lời giải: Ta có: Đẳng thức xảy ra ================== VI/Một số dạng pt chứa căn đặc biệt Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 18: Gpt: Để gpt này có rất nhiều cách,tuy nhiên có một cách khá đơn giản là đưa pt thành hpt bằng cách đặt ẩn phụ. Đặt ,ta thu được hệ: Giả sử =>=>=> Vậy ,ta có: Vậy pt có nghiệm Ví dụ trên minh họa cho dạng pt sau: Ta có thể đặt và đưa về hpt đối xứng: Hay dạng Bằng cách đặt ,ta cũng có thể đưa về hệ: Việc giải 2 hpt này quả thật là không quá khó đối với trình độ THCS... ============= Cuối cùng,mời các bạn làm một số bài tập ứng dụng: Giải các pt sau: Dạng I: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ Dạng II: 6/ 7/ 8/ 9/ 10/ Dạng III 11/ 12/ Dạng IV 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ Dạng V 18/ 19/ 20/