Một số ứng dụng của biến đổ laplace

Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 NHÓM 4 – LỚP TOÁN GIẢI TÍCH – K15D2 – ðHSP HÀ NỘI 2 NỘI DUNG TRÌNH BÀY ***** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ðỔI LAPLACE 1. Nhắc lại về biến ñổi Laplace 2. Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace 2.1. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình tích phân 2.2. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình vi phân 2.2.1. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình vi phân tuyến tính thường a) Giải phương trình vi phân tuyến tính thường, với hệ số là hằng số b) Nghiệm ổn ñịnh c) Giải phương trình vi phân tuyến tính thường, với hệ số ña thức 2.2.2. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình vi phân ñạo hàm riêng 2.3. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình sai phân Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ðỔI LAPLACE 1. Nhắc lại về biến ñổi Laplace a) Giải sử x(t) là hàm số thực với biến t 0.> Biến ñổi Laplace của x(t) là ( ) st 0 F s L(x(t)) e x(t)dt, +∞ − = = ∫ với s thực hoặc phức. b) Biến ñổi Laplace ngược i 1 st i 1 x(t) L (F(s)) e F(s)ds. 2 i α+ ∞ − α− ∞ = = pi ∫ c) Một vài tính chất cần lưu ý 1)L(a.x(t) b.y(t)) a.L(x(t)) b.L(y(t)),+ = + với a, b là hằng số. (n) n n 1 n 2 (n 2) (n 1)2)L(x (t)) s F(s) s x(0 ) s .x'(0 ) ... s.x (0 ) x (0 ), n 0,1,2,... − + − + − + − + = − − − − − = n n n n s d3)L(t x(t)) ( 1) L(x(t)). ds x(t)4)L F(u)du. t 5)L(x(t) * y(t)) L(y(t) * x(t)) L(x(t)).L(y(t)). +∞ = −   =    = = ∫ 16)L(1) ,s 0. s = > sin t 17)L( ) arctan( ), s 1. t s = > iwt 18)L(e ) . s iw = − at 19)L(e ) ,Re(s) a. s a = > − n n 1 n!10)L(t ) ,Re(s) 0. s + = > n at n 1 n!11)L(t .e ) . (s a) + = − 12) Nếu n0 1 nP(t) a a t ... a t= + + + thì n k k 1 k 0 a .k!L(P(t)) . s + = = ∑ 2 2 s13)L(cos wt) . s w = + 2 2 w14)L(sinwt) ,Re(s) 0. s w = > + 01 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 2 2 s15)L(cosh wt) . s w = − 2 2 w16)L(sinh wt) . s w = − [ ] { } s t s 1 e17)L(a ) , a 0,Re(s) max 0;loga . s(1 a.e ) − − − = > > − d) Xét hàm u u(x, t)= với t 0,≥ biến ñổi Laplace của u kí hiệu là U(x,s) ñược xác ñịnh như sau st 0 U U(x,s) L(u(x, t)) e .u(x, t)dt. +∞ − = = = ∫ Chẳng hạn ax a(x t) eL(e ) . s a + = − Ta quan tâm tới ba công thức dưới ñây 2 2 2 2 u dU u d U1)L( ) U(x,s) : . 2)L( ) . x x dx x dx u3)L( ) s.L(u(x, t)) u(x,0 ) s.U(x,s) u(x,0 ). t + + ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ 2. Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace 2.1. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình tích phân Xét phương trình tích phân t 0 f (t) g(t) k(t,u)f (u)du (1)= + ∫ với ẩn hàm f(t), trong ñó k(x,u) gọi là hạch hay hạt nhân của (1). Ở ñây ta chỉ ñề cập tới một trường hợp ñặc biệt, ñấy là k(x,u) có dạng k(x,u) k(x u),= − lúc này ta sẽ viết lại (1) như sau t 0 f (t) g(t) k(t u)f (u)du (2)= + −∫ . Với L(k) 1≠ thì ta có thể biến ñổi (2) một cách dễ dàng L(f ) L(g) L(f * k) L(f ) L(g) L(f ).L(k) L(g)L(f ) (3). 1 L(k) = + = + = − 02 02 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 Các hàm g và k cho trước nên từ (3) ta tìm ra nghiệm f(t) của (2). Ví dụ 1. Tìm hàm f(t) thoả mãn t t 0 f (t) e sin(t u)f (u)du (4).−= + −∫ Lời giải. Lấy biến ñổi Laplace hai vế của (4) ta ñược t t 2 2 t t L(f ) L(e ) L(f ).L(sin t) L(e )L(f ) 1 L(sin t) 1 1L(f ) : (1 ) s 1 s 1 2 1 1L(f ) 1 s ss L(f ) L(2e t 1) f (t) 2e t 1 (5). − − − − = + = − = − + + = + − + = + − = + − Vậy hàm số xác ñịnh bởi (5) chính là nghiệm của phương trình (4). 2.2. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình vi phân 2.2.1. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình vi phân tuyến tính thường a) Giải phương trình vi phân tuyến tính thường, với hệ số là hằng số Ta xét phương trình vi phân thường (n) (n 1) n 1 1 0y a y ... a y ' a y f (t) (6)−−+ + + + = tuyến tính và có các hệ số 0 1 n 1a ,a ,...,a − là hằng số, với ñiều kiện ban ñầu, chẳng hạn (n 1)0 1 n 1y(0) y , y '(0) y ,..., y (0) y (7).− −= = = Ta lấy biến ñổi Laplace hai vế của (6) ñược n n 1 n 1 n 2 n 1 1 0 0 n 1 2 1 n 2 n 3 1 n 1 3 2 n 2 n 1 n 1 n (s a s ... a s a )L(y) L(f ) y (s a s ... a s a ) y (s a s ... a s a ) ... y (s a ) y .a . − − − − − − − − − − − + + + + = + + + + + + + + + + + + + + + Hay L(g).L(y) L(f ) L(h),= + với n n 1n 1 1 0L(g) s a s ... a s a−−= + + + + và 03 03 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 n 1 n 2 0 n 1 2 1 n 2 n 3 1 n 1 3 2 n 2 n 1 n 1 n L(h) y (s a s ... a s a ) y (s a s ... a s a ) ... y (s a ) y .a . − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + + + + + Từ ñó 1 L(f ) L(h)L(y) L(g) L(f ) L(h)y(t) L . L(g) − + =  + =     Ví dụ 2. Tìm hàm y(t) thoả mãn ty '' y e (8)−+ = và giả sử 0 1y(0) y ,y'(0) y .= = Lời giải. Lấy biến ñổi Laplace hai vế của (8) ta ñược 2 t 2 0 1 0 1 2 2 2 t 0 1 s L(y) s.y(0) y '(0) L(y) L(e ) 1 s L(y) s.y y L(y) s 1 1 1 s y s y2 2 2L(y) s 1 s 1 s 1 s 1 1 1 1y(t) e (y )cos t (y )sin t 2 2 2 − − − − + = − − + = − = − + + + + + + = + − + + ở ñó 0 1y ,y là những hằng số ñề bài ñã cho. ðương nhiên nghiệm của (8) có thể biểu diễn dưới dạng t 0 1 1y(t) e c .cos t c .sin t 2 − = + + với 0 1c ,c là các hằng số thực thích hợp, và biến t ( ; ).∈ −∞ +∞ Ví dụ 3. Giải hệ phương trình vi phân t y ' z ' y z 1 (9) y ' z e (10) + + + =  + = với ñiều kiện ban ñầu y(0) 1,z(0) 2.= − = Lời giải. Từ (9) ta có sL(y) y(0) sL(z) z(0) L(y) L(z) L(1) 1 sL(y) 1 sL(z) 2 L(y) L(z) s − + − + + = + + − + + = 04 04 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 1(s 1)L(y) (s 1)L(z) 1 (11). s + + + = + Và từ (10) ta thu ñược tsL(y) y(0) L(z) L(e ) 1 sL(y) 1 L(z) (12). s 1 − + = + + = − Từ (11) và (12) suy ra 2 t t 1 2 1L(y) s s 1 (s 1) y(t) 1 2e te (13). = − + − − = − + Cố nhiên, từ (10) và (13) ta tính ñược t tz(t) 2e te .= − Ví dụ 4. Tìm hàm x(t) là nghiệm của phương trình t x '' x e (14)+ = và thoả mãn ñiều kiện ban ñầu x(1) 1,x '(1) 0.= = Lời giải. Chúng ta ñặt u t 1= − và y(u) x(u 1) x(t),= + = ñồng thời lưu ý 2 2 2 2 dy dx dx dt dx d y d x . , , du du dt du dt du dt = = = = thì (14) ñược ñưa về u 1y ''(u) y(u) e (15)−+ = với ñiều kiện ban ñầu mới là y(0) 1, y '(0) 0.= = Làm tương tự như ví dụ 2 ta ñược ue e ey(u) e (1 )cosu sin u. 2 2 2 = + − + Vậy bài toán ñã cho có nghiệm t1 e ex(t) e (1 )cos(t 1) sin(t 1). 2 2 2 = + − − + − b) Nghiệm ổn ñịnh Ta xét phương trình (6) với ñiều kiện ban ñầu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n-1y 0 y 0 ... y 0 0 16 .′= = = = Hay chính xác hơn, ta viết 05 05 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 ( ) ( ) ( ) ( )n 1y 0 y 0 ... y 0 0.−+ + +′= = = = Nhưng ta thường dùng kí hiệu như của (16). Nghiệm của phương trình (6) thỏa mãn ñiều kiện (16) ñược gọi là nghiệm ổn ñịnh hay nghiệm dừng (ðó là trạng thái nghiệm khi thời gian tiến tới vô cùng (mọi hiện tượng Vật lí ñều tiến ñến trạng thái ổn ñịnh theo thời gian), hoặc hiểu theo cách thứ hai là trạng thái nghiệm không thay ñổi (không phụ thuộc) theo thời gian, vì thế gọi là trạng thái dừng.). Do (16) và theo tính chất của biến ñổi Laplace ta có ( ) ( )( ) ( )( )k kL y t s L y t , k 0,1,2,...= = Như vậy, áp dụng biến ñổi Laplace vào (6) ta thu ñược ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) n n 1 n 1 1 0 n n 1 n 1 1 0 1 t t 0 0 s a s ... a s a L y t L f t L f t L y t (Q(s) : s a s ... a s a )Q s 1L(y) L(f ).L(g) g(t) : L ( ) (17)Q(s) L(y) L(f *g) y(t) f ( )g(t )d (18) hay y(t) g( )f (t )d − − − − − + + + + = = = + + + +   = =    = = − = −∫ τ τ τ τ τ τ (18') .         ∫ Hàm f(t) ñã biết ở (6). ðể tìm nghiệm y(t) ta phải xác ñịnh ñược g(t). Do (17) nên ( ) ( )( ) n n 1 n 1 1 0 Q s L g t 1 (s a s ... a s a ).L(g) L( (t)).− − = + + + + = δ Chứng tỏ ( )g g t= là nghiệm ổn ñịnh của phương trình ( ) ( ) ( ) ( )n n-1n-1 1 0g +a g +...+a g +a g = δ t 19 .′ 06 06 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 Ta sẽ tìm g = g(t) từ (19) rồi thế vào (18) hoặc (18') ñể tìm nghiệm y = y(t) của (6). Trong trường hợp này g(t) ñược coi là thỏa mãn phương trình (6) nhưng với ( ) ( )f t t .= δ Lưu ý thêm rằng nếu s1, s2, , sn là n nghiệm phân biệt của Q(s) thì ta có ( ) k n n s tk k kk 1 k 1 1 A L A eQ s s s = =   = =     −   ∑ ∑ và lúc này (6) ñược biến ñổi thành k k k n s t k k 1 t n s (t ) k k 10 tn s (t ) k k 1 0 L(y) L(f ).L A e y(t) f ( ) A e d y(t) A f ( )e d . = −τ = −τ =   =       = τ τ = τ τ ∑ ∑∫ ∑ ∫ Ta có k kQ(s ) 0, Q'(s ) 0 ( k 1,2,...,n)= ≠ ∀ = và k k k k k s s s s k k s s s s 1A lim lim .Q(s) Q(s) Q(s ) Q'(s )→ → − − = = = − Do ñó bây giờ thay vì tính như ở (18) hoặc (18') thì nghiệm của bài toán sẽ ñược tính như sau k tn s (t ) kk 1 0 1y(t) f ( )e d (20).Q'(s ) −τ = = τ τ∑ ∫ Ví dụ 5. Tìm nghiệm ổn ñịnh của phương trình 2ty '' y e (21).− = 07 07 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 Lời giải. Trong trường hợp này 2Q(s) s 1= − là ña thức bậc 2 có ñúng 2 nghiệm 21s 1,s 1,= = − và Q'(1) 2, Q'( 1) 2.= − = − Áp dụng (20) suy ra nghiệm ổn ñịnh của (21) là ( ) t t 2 (t ) 2 (t ) 0 0 1 1y t e e d e e d 2 2 τ −τ τ − −τ = τ − τ∫ ∫ t t t 3 t 0 0 t t t t 3 0 0 t t t 3t 2t t t 1 1 e d e d 2 2 1 1 e e d e e d 2 2 1 1 1 e (e 1) e (e 1) 2 2 3 1 1 1 e e e . 3 2 6 +τ τ− τ − τ − − = τ − τ = τ − τ = − − − = − + ∫ ∫ ∫ ∫ c) Giải phương trình vi phân tuyến tính thường, với hệ số ña thức Ta nhớ lại rằng với F(s) L(y(t))= thì n n n n d F(s) ( 1) .L(t y(t)), s . ds = − > α ðặc biệt lưu ý 2 L(t.y(t)) F'(s) L(t.y '(t)) s.F'(s) F(s) L(t.y ''(t)) s .F'(s) 2s.F(s) y(0) ................ = − = − − = − − + Ví dụ 6. Giải phương trình y''(t) t.y '(t) 2y(t) 4 (22)+ − = với y(0) 1, y '(0) 0.= − = Lời giải. Ta sẽ dùng kí hiệu F(s) L(y(t))= , lấy biến ñổi Laplace hai vế của (22) thu ñược 08 08 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 2 2 L(y '') L(t.y ') 2L(y) L(4) 4 s F(s) s (sF'(s) F(s)) 2F(s) s 3 4F'(s) ( s)F(s) 1 (22'). s s + − = + − + − = + − = − Nhân hai vế của (22') với u = u(s) ta ñược 2 3 4 u(s)F'(s) u(s)( s)F(s) (1 )u(s) s s + − = − . Và chọn u(s) sao cho ( ) 3u(s).F(s) ' u(s).F'(s) ( s)u(s).F(s), s = + − tức là phải chọn u(s) sao cho 3 u(s).F'(s) u '(s).F(s) u(s).F'(s) ( s)u(s).F(s). s + = + − Muốn vậy ta chỉ việc lấy u(s) thoả mãn 3( s)ds s 3 u '(s) ( s)u(s) s u(s) e − = − ∫ = hay ñơn giản, ta chọn 2s 3 2u(s) s .e . − = Bây giờ ta sẽ nhân hai vế của (22') với 2s 3 2s .e − và biến ñổi 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s 3 3 32 2 2 2 s s s 3 3 32 2 2 2 s s s 3 22 2 2 d 4 s .e .F(s) (s .e ) s .e ds s 4 s .e .F(s) ( (s .e ) s .e )ds s s .e .F(s) 2e s .e c (c const) − − − − − − − − −     = − +      = − + = − + − ∫ 09 09 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 2s 2 3 3 2 1 cF(s) e . ss s = − + ðể ñảm bảo rằng F(s) 0 khi s→ → ∞ ta chọn c = 0 và do ñó 3 2 1F(s) ss = − 3 1 3 2 2 1L(y) ss 2 1y L ( ) ss y(t) t 1. − = − = − = − Vậy bài toán ñã cho có nghiệm 2y(t) t 1.= − Tuy nhiên, có những bài toán lại không thể áp dụng phương pháp biến ñổi Laplace ñể giải ñược, chẳng hạn như phương trình y' 2ty 0− = với ñiều kiện ban ñầu y(0) 1,= có 2ty e= là nghiệm, nhưng hàm số này, như ta ñã biết, nó không có biến ñổi Laplace. (Hãy xem ñiều gì sẽ xảy ra nếu bạn cố gắng áp dụng phương pháp biến ñổi Laplace cho bài toán này!) 2.2.2. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình vi phân ñạo hàm riêng Ví dụ 7. Giải phương trình ñạo hàm riêng 2y y x ay bx (23) x t ∂ ∂ + + = ∂ ∂ với x 0, t 0,> > a và b là hằng số, y y(x, t), y(0, t) 0, y(x,0 ) 0.+= = = Lời giải. Kí hiệu Y(x,s) L(y(x, t))= và lấy biến ñổi Laplace hai vế của (23) ta nhận ñược 2 x 2 x bx x.Y (x,s) s.Y(x,s) y(x,0 ) a.Y(x,s) s bx x.Y (x,s) s.Y(x,s) 0 a.Y(x,s) s dY a s bx .Y (x 0). dx x s ++ − + = + − + = + + = > 10 10 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 Giải phương trình vi phân này ta ñược 2 (s a)bxY(x,s) c.x (x 0,s a). s(s a 2) − + = + > > − + + Áp dụng biến ñổi Laplace với ñiều kiện biên y(0, t) 0= cho ta Y(0,s) L(y(0,s)) 0.= = Dẫn tới 2 2 2 1 2 (a 2)t bxY(x,s) s(s a 2) bxL(y(x, t)) s(s a 2) bxy(x, t) L ( ) s(s a 2) bxy(x, t) (1 e ). a 2 − − + = + + = + + = + + = − + ðây chính là nghiệm của (23) với các ñiều kiện ñã cho. 2.3. Ứng dụng biến ñổi Laplace ñể giải phương trình sai phân Sai phân là sự chênh lệch giá trị hàm tại hai ñiểm gần nhau. Phương trình sai phân là một phương trình thể hiện mối liên hệ giữa các giá trị của hàm cần tìm y = y(t) tại ñiểm t và t + h, với h không ñổi. Chẳng hạn ty(t 1) 3y(t) 2y(t 2) e , y(t 1)y(t) cos t − + + − = + = là các phương trình sai phân, tuyến tính và phi tuyến, tương ứng. Phương trình thể hiện mối liên hệ giữa các số hạng của dãy số 0 1 2a ,a ,a ,... cũng là phương trình sai phân, chẳng hạn như n n 2 n 1 n 2 n 1 n a 3a 2a 5 , a a + + + − + = = là các phương trình sai phân, tuyến tính và phi tuyến, tương ứng. Ví dụ8. Giải phương trình sai phân ( )y t y(t ) sin t (24)pi− − = ω ω với y(t) 0, t 0,= ≤ và ω là hằng số khác 0. 11 11 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 Lời giải. Dễ thấy s s(u ) st su 0 s L(y(t )) e y(t )dt e y(u)du e . e y(u)du e .L(y(t)). pi pi+∞ +∞ +∞ − + − − −ω ω pi pi − − ω ω pi − ω pi pi − = − = = ω ω = ∫ ∫ ∫ Khi ñó, lấy biến ñổi Laplace hai vế thì (24) viết thành s s 2 2 s 2 2 L(y) e .L(y) L(sin t) (1 e ).L(y) s L(y) (s )(1 e ) 2n (2n 1) sin t khi t y(t) , n 0,1,2,... 2n (2n 1) 0 khi t pi − ω pi − ω pi − ω − = ω ω − = + ω ω = + ω − pi + pi ω < < ω ω = = pi + pi < <  ω ω Ví dụ 9. Tìm số hạng tổng quát của dãy số thực n n 0(a )∞= thoả mãn n 2 n 1 n 0 1a 3a 2a 0 (25), n 0,1,2,...; a 0,a 1.+ +− + = ∀ = = = Lời giải. Ta ñịnh nghĩa [ )ny y(t) : a , t n;n 1 ,n 0,1,2,...= = ∀ ∈ + = Phương trình sai phân (25) ñược chuyển về dạng y(t 2) 3y(t 1) 2y(t) 0 (26).+ − + + = Nhận thấy st s(u 2) 0 2 1 2 2s 2s su 2s su 0 1 0 1 s 2s s 0 1 L(y(t 2)) e y(t 2)dt e y(u)du e L(y) e e a du e e a du e e L(y) (1 e ) (a 0,a 1). s ∞ ∞ − − − − − − + = + = = = − − = − − = = ∫ ∫ ∫ ∫ Tương tự như vậy 12 12 Một số ứng dụng của biến ñổi Laplace Nhóm 4 – Lớp Toán Giải tích – K15d2 – ðHSP 2 sL(y(t 1)) e L(y(t)).+ = Từ (26) ta có [ ] [ ] s 2s s s s s t t e e L(y) (1 e ) 3e L(y) 2L(y) 0 s 1 e 1L(y) ss(1 2e ) L(y) L(2 ) L(1) y(t) 2 1. − − − − − − + = − = − − = − = − Do [ ]t n= (vì n ∈ℕ và n t n 1)≤ < + và do cách ñịnh nghĩa y(t) ta suy ra n na 2 1, n 0,1,2,...= − ∀ = Kiểm tra lại ta thấy n na 2 1, n 0,1,2,...= − ∀ = thoả mãn yêu cầu của bài toán. Một cách tương tự, ta tìm ñược nghiệm của phương trình sai phân n n 2 n 1 na 3a 2a 3 (27),+ +− + = với ñiều kiện 0 1a 0,a 1= = là n n 3 1 a , n 0,1,2,... 2 − = ∀ = Các phương trình (25) và (26) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, còn (27) ñược gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Ví dụ 10. Giải phương trình vi phân – sai phân y ''(t) y(t 1) (t) (28), y(t) y '(t) 0, t 0.− − = δ = = ≤ Lời giải. Rõ ràng sL(y(t 1)) e L(y(t))−− = và (28) ñược biến ñổi thành [ ] 2 s s 2 2 ns 2n 2 n 0 t 2n 1 n 0 s L(y) e L(y) 1 1L(y) (Re(s) 0) e s (1 ) s eL(y) (Re(s) 1) s (t n)y(t) .(2n 1)! − − ∞ − + = + = − = = > − = > − = + ∑ ∑ ðây là nghiệm của bài toán ñã cho. 13 13