Ôn tập hình học 8 kỳ I

Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là: Hình chữ nhật Hình thoi GT KL Tứ giác ABCD AE=EB; BF=FC; CG=GD; DH=HA EFGH là hình gì: vì sao? Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là: Hình chữ nhật Hình thoi Hình vuông. Hình vuông. CHỨNG MINH: Xét tam giác ABC với E, F lần lượt là trung điểm AB, BC (gt) Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC ( đn đường trung bình) (1) Chứng minh tương tự ta có HG là đường trung bình của tam giác ADC (2) Từ (1) và (2) ta có EF= GH, EF//GH Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành) 2) tứ giác EFGH là hình bình hành (cmt) a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật khi có 1 góc vuông tức là (*) Ta có EF // AC (cmt) (**) Mặt khác xét tam giác BCD có F, G lần lượt là trung điểm BC, CD (gt) Nên FG là đường trung bình của tam giác BDC -> FG // BD(***) Từ (*), (**), (***) ta thấy để Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD cần điều kiện là AC BD b) Hình bình hành EFGH là hình thoi khi EF = FG Do FG là đường trung bình của tam giác BDC (cmt) nên FG = BD mà (cm ở ý a) Vậy để hình bình hành EFGH là hình thoi thì tứ giác ABCD cần điều kiện là AC = BD c) Hình bình hành ABCD là hình vuông khi là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau tức là và EF = FG Vậy tứ giác ABCD cần điều kiện là AC BD và AC = BD Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD có .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,DC,AD. a)Nếu thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao? b)Nếu AC = BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? c)Nếu thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? d)Nếu AB =2cm ,DC = 4cm ,.Tính chu vi của tứ giác MNPQ GT KL Hình thang vuông ABCD, AM=MB; BN=NC; CP=PD; DQ=QA AB =2cm ,DC = 4cm ,. a)thì tứ giác MNPQ là hình gì ? b)AC = BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? c) thì tứ giác MNPQ là hình gì? d)Tính chu vi của tứ giác MNPQ CHỨNG MINH: a) Tứ giác NMPQ là hình bình hành nên MQ//BD và Ta lại có MN//AC và vậy hình bình hành MNPQ có nên là hình chữ nhật b) Tứ giác NMPQ là hình bình hành nên Vậy hình bình hành MNPQ có MN=MQ nên là hình thoi c)Vì tứ giác MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên MNPQ là hình vuông . d)Xét tam giác vuông BPC có Mà PB = AD =3 Xét tam giác vuông ABD có Tương tự ta có Mà MN= PQvà MQ = NP Vậy chu vi của tứ giác MNPQ là : Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB,AC,CD,DB. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. GT KL Tứ giác ABCD MA=MB, NA=NC, PC=PD,QB=QD MNPQ là hình bình hành AD và BC cần điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông Các cạnh AD và BC của tứ giác ABCD cần có điều kiện gì để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. CHỨNG MINH: Xét tam giác ABC có AM = MB, AN = NC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC (đn đường trung bình) (1)(tính chất đường trung bình) Chứng minh tương tự ta có PQ là đường trung bình của tam giác BCD (2) Từ (1) và (2) ta có MN = PQ, MN //PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành Xét tam giác ACD có AN =NC, CP=PD(gt) Nên NP là đường trung bình của tam giác ACD (3) Chứng minh, lập luận tương tự bài 1 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao? Chứng minh M đối xứng với N qua A Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông. GT KL tam giác ABC vuông tại A, BD=DC M là điểm đối xứng với D qua AB N là điểm đối xứng với D qua AC AEDF là hình gì? Vì sao? ADBM, ADCN là hình gì? Vì sao? Chứng minh M đối xứng với N qua A CHỨNG MINH: Xét tứ giác AEDF : Do M là điểm đối xứng với D qua AB (gt) nên AB là đường trung trực của MD (1) Chứng minh tương tự ta có AC là đường trung trực của DN (2) Mà tam giác ABC vuông tại A nên (3) Từ (1), (2), (3) ta có Tứ giác AEDF là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) Cách 1: Trong tam giác ABC vuông tại A có D là trung điểm BC (gt) Nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC -> AD = BD Mặt khác do AB là đường trung trực của DM (cm ý a) -> BM=BD, AM=AD Vậy AD=DB=BM=MA nên tứ giác ADBM là hình thoi Chứng minh tương tự ta có ADCN là hình thoi. Cách 2: Trong tam giác ABC vuông tại A có D là trung điểm BC (gt) Nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC -> AD = BD Xét các tam giác vuông ADE và BDE ta có AD = BD, DE là cạnh chung Nên ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) -> AE = EB Xét tứ giác ADBM có AD MD và AE=EB, EM=ED nên ADBM là hình thoi ( dấu hiệu ..) Do ADBM, ADCN là hình thoi (cmt) nên AM //BD, AN // DC hay AM // BC, AN// BC Qua A ta kẻ được hai đường thẳng cùng song song với BC ( trái với tiên đề Ơclit) Vậy AM trùng với An hay A, M, N cùng thuộc một đường thẳng (*) Mặt khác AM = AD, AN = AD ( định nghĩa hình thoi) nên AM = AN (**) Từ (*)(**) ta có M đối xứng với N qua A. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật. Vậy để AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của góc BAC, mặt khác AD là đường trung tuyến nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC.Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AB và DH, AC và HE Chứng minh tứ giác AIHK là hình chữ nhật. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A. Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao? Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao? Chứng minh rằng BC=BD+CE GT KL ABC vuông tại A, AHBC D là điểm đối xứng với H qua AB E là điểm đối xứng với H qua AC tứ giác AIHK là hình chữ nhật D đối xứng với E qua A. Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao? Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao? BC=BD+CE CHỨNG MINH: Ta có D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC(gt) Nên AB là đường trung trực của DH, AC là đường trung trực của HE (định nghĩa điểm đối xứng) -> Xét tứ giác AIHK có nên tứ giác AIHK là hình chữ nhật b) Ta có AD=AH, AH=AE (tính chất đường trung trực) -> AD=AE (1) và các tam giác ADH, AHE cân tại A –> các đường trung trực AB, AC lần lượt là đường phân giác của các góc DAH, EAH ( tính chất của tam giác cân) Vậy D,A,E thẳng hàng (2) Từ (1), (2) ta có D đối xứng với E qua A (định nghĩa 2 điểm đối xứng nhau qua một điểm) Do A là trung điểm của DE và AD=AH=AE ( cmt) Nên tam giác DHE có đường trung tuyến HA ứng với cạnh DE và bằng nửa cạnh DE -> tam giác DHE là tam giác vuông tại H d) Xét các tam giác ABD và ABH có AD=AH,BD=BH( T/C đường trung trực) và AB chung Chứng minh tương tự ta có -> BD// CE Vậy tứ giác BDEC là hình thang vuông Bài 6: Cho tam giác ABC. Hạ AD vuông góc với đường phân giác trong của góc B tại D, hạ AE vuông góc với đường phân giác ngoài của góc B tại E. Chứng minh tứ giác ADBE là hình chữ nhật. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADBE là hình vuông. GT KL Tam giác ABC. BE là phân giác ngoài, BD là phân giác trong của góc B a) tứ giác ADBE là hình chữ nhật. b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADBE là hình vuông. c) DE//BC Chứng minh DE//BC. CHỨNG MINH: a) Do BE là phân giác ngoài, BD là phân giác trong của góc B -> (tính chất các đường phân giác) hay Do (gt) nên Trong tứ giác ADBE có nên tứ giác ADBE là hình chữ nhật(dấu hiệu) Tứ giác ADBE làø hình vuông thì BA là tia phân giác của góc EBD tức là Do BD là tia phân giác của góc ABC nên Vậy tam giác ABC vuông tại B thì hình chữ nhật ADBE là hình vuông c) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ADBE thì OB=OD (tính chất về đường chéo của hình chữ nhật) -> tam giác OBD cân tại O nên mà (do BD là tia phân giác trong của góc B) Vậy mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE//BC. Bài 7: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BD,CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. Chứng minh tứ giác MNDE là hình bình hành. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNDE là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Chứng minh DE + MN = BC Do BD, CE là đường trung tuyến(gt) nên E, D là trung điểm của AB,AC -> DE là đường trung bình của tam giác ABC Chứng minh tương tự ta có MN là đường trung bình của tam giác BGC Trong tứ giác MNDE có MN//DE, MN=DE nên tứ giác MNDE là hình bình hành. Cách khác: ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên EG=GN=NC, DG=GM=MB Vậy tứ giác MNDE có hai đường chéo EN và MD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường -> tứ giác MNDE là hình bình hành. b) MNDE là hình bình hành (cmt) +) MNDE là hình chữ nhật khi có một góc vuông tức là DNMN Xét tam giác AGC có N, D là trung điểm của CA, CG nên ND là đường trung bình của tam giác ACG -> DN//AG, Do MN//BC(cmt) nên để DNMN thì AG BC Mặt khác AG là trung tuyến của tam giác ABC Vậy tam giác ABC có AG vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác ABC cân tại A Vậy MNDE là hình chữ nhật khi tam giác ABC cân tại A Cách khác: MNDE là hình chữ nhật khi có MD=NE. Vậy BD=CE nên tam giác ABC cân tại A +) MNDE là hình thoi khi có NEMD. Vậy tam giác ABC cần điều kiện là BDCE c) ta có và (cm ở ý a) -> DE + MN = BC Bµi 8: Cho hình chữ nhật ABCD a)Nếu AD = 3cm,AB = 4cm ,tính độ dài hai đường chéo AC và BD b)Nếu BD = 5cm AB = 2cm ,tính AD c)Gọi M,N,P,Q lần lược là trung điểm của AB,BC,CD,DA .Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. a) Aùp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông ABD ta có Vì trong hình vuông thì hai đường chéo bằng nhau nên BD = AC =5cm b)ta áp dụng định lí Pi Ta Go cho tam giác vuông ABD ta có : c) Xét có MQ là đường trung bình nên MQ//BD và (1)Tương tự ta có AC=BD (5) Từ (1),(2),(3),(4) và (5)ta có MN = NP = PQ=QM Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi Bµi 9: Cho tam giác ABC vuông tại A .Gọi M,N,P lần lược là trung điểm củaBC,AB,AC. Chứng minh a)MA = NP b)Tứ giác ANMP là hình chữ nhật c)Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMNP là hình vuông a)NP là đường trung bình của tam giác ABC nên .AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên b) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên mà tứ giác ANMP là hình bình hành có AM = NP nên ANMP là hình chữ nhật c)Điều kiện của tam giác ABC là AB = AC thì có AN = AP thì tứ giác ANMP là hình vuông . Bµi 10 Cho góc xOy .trên tia o x lấy A và B (A nằm giữa O và B ) . Trên tia Oy lấy C và D (C nằm giữa O và D ).Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AC,BC,BD,AD . a)Chứng minh tứ giác NMPQ là hình bình hành . b)Khi thì tứ giác NMPQ là hình gì? c)tìm điều kiện của AB và CD để tứ giác NMPQ là hình thoi a)Ta có NP là đường trung bình của tam giác BCD nên NP//CD và (1) Xét tam giác ACD có MQ là đường trung bình của tam giác nên MQ//CD và (2) Từ (1) và (2) suy ra NP//MQ và NP=MQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành b)vì MNPQ là hình bình hành nên NM//PQ và NP//MQ hay NP//MQ//CD và NM//PQ//AB khi ta có suy ra Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật c)Điều kiện là AB = CD thì MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình thoi Từ (1) và(2) suy ra MNPQ là hình bình hành *Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì (3) *Để tứ giác MNPQ là hình thoi thì (4) *Từ (3),(4) thì tứ giác MNPQ là hình vuông Bài 11:Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D. Chứng minh điểm M’ đối xứng với M qua AB. Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì ? Vì sao ? Cho , tính chu vi tứ giác AM’BM. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AEBM là hình vuơng ? CHỨNG MINH a) Vì M’ đối xứng M qua D nên , (1). M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của DABC. Suy ra , (2). Mặt khác DABC vuơng ở A nên , (2). Từ (2) và (2) suy ra , (4). Từ (1) và (4) suy ra M’ đối xứng với M qua AB. b) Vì D là trung điểm của AB, (gt) và D là trung điểm của MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành. Mặt khác M’ đối xứng M qua AB nên nên AMBM’ là hình thoi. c) vì nên . Chu vi tứ giác AM’BM bằng . d) Muốn hình thoi AM’BM trở thành hình vuơng thì hai đường chéo của nĩ bằng nhau. Tức là , mà suy ra hay DABC là tam giác vuơng cân đỉnhA. Bài 12: Cho tam giác ABC vuơng tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E là các hình chiếu của H trên AB, AC và M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH. Chứng minh tứ giác MDEN là hình thang vuơng. Gọi P là giao điểm của đường thẳng DE với đường cao AH và Q là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh . Chứng minh hệ thức . CHỨNG MINH Vì D là hình chiếu của H xuống AB nên . Do tam giác ABC vuơng ở A nên . Suy ra . Tương tự ta cĩ : . Hay ADHE là hình chữ nhật. Suy ra . Do D ABC vuơng nên ; tương tự DHAB vuơng nên . Suy ra : . Do là trung điểm HC mà D EHC vuơng ở E nên hay D EHC cân đỉnh N Suy ra : . Tương tự : , (1). Do D EHC vuơng ở E nên , (2). Từ (1) và (2) ta cĩ : . Tương tự ta cĩ : hay tứ giác MDEN là hình thang vuơng. b) Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên P là trung điểm của DE. Vì Q là trung điểm của MN nên PQ là đường trung bình của hình thang MDEN hay . Vì và nên . c) Theo tính chất đường trung bình ta cĩ : Û. Bài 13:Cho tam giác ABC vuơng tại A. Kẻ đường cao AH, dựng hình chữ nhật AHBD và AHCE. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh : Ba điểm D, A, E thẳng hàng. PQ là trung trực của đoạn thẳng AH. Ba điểm D, P, H thẳng hàng. . CHỨNG MINH a) Do AHBD là hình chữ nhật nên , tương tự . Mà Þ D, A, E thẳng hàng. b) Do P, Q lần lượt là tâm của hai hình chữ nhật AHBD, AHCE nên PQ là đường trung bình của D ABC Þ và PQ qua trung điểm của AH, (1). Do AHBD là hình chữ nhật nên , (2). Từ (1) và (2) suy ra PQ là trung trực của AH. c) Do AHBD là hình chữ nhật nên D, P, H thẳng hàng. d) Do P là tâm của hình chữ nhật AHBD nên D PBH cân đỉnh P, suy ra , (3). Tương tự ta cĩ , (4). Vì D ABC vuơng ở A nên nên Þ .