Ôn tập Hình học lớp 11

Toán 11 - Chương 1 - PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG - Bài 1. PHÉP BIẾN HÌNH Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép quay. - Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau. - Phép vị tự, tâm vị tự của hai đường tròn. - Khái niệm về phép đồng dạng và hai hình bằng nhau. Bài 1. PHÉP BIẾN HÌNH 1. Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M’ của điểm M lên đường thẳng d. Ta đã biết rằng với mỗi điểm M có một điểm M’ duy nhất là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d cho trước (hình 1.1). Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H ’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H ’, hay hình H ’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. 2. Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’ = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình không? Hình 11 - Chương I - Bài 2. Phép tịnh tiến. Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B (h.1.2). Khi đó ta nói cánh cửa được tịnh tiến theo vectơ . I. Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Phép tịnh tiến theo vectơ thường được ký hiệu là được gọi là vectơ tịnh tiến. Như vậy: Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất. Ví dụ: ?1. Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình 1.5. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D. Bạn có biết? Vẽ những hình giống nhau có thể lát kín mặt phẳng là hứng thú của nhiều họa sĩ. Một trong những người nổi tiếng theo khuynh hướng đó là Mô-rit Cooc-ne-li Et-se (Maurits Cornelis Escher), họa sĩ người Hà Lan (1898 - 1972). Những bức tranh của ông được hàng triệu người trên thế giới ưa chuộng vì chẳng những rất đẹp mà còn chứa đựng những nội dung toán học sâu sắc. Sau đây là tranh của ông. II. Tính chất Tính chất 1. Nói cách khác, phép tính tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Từ tính chất 1 ta chứng minh được tính chất sau. Tính chất 2 Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (h.1.7). ?2. Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ . III. Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ (h.1.8). Với mỗi điểm M(x;y) ta có M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ . ?3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ .Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến . Bài tập 1. Chứng minh rằng: 2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ biến D thành A. 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho: Vectơ , hai điểm A(3; 5), B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0. a. Tìm tọa độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo . b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo . c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo . 4. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế? Hình 11 - Chương 1. VECTƠ - Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Bài 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Trong thực tế ta thường gặp rất nhiều hình có trục đối xứng như hình con bướm, ảnh mặt trước của một số ngôi nhà, mặt bàn cờ tướng Việc nghiên cứu phép đối xứng trục trong mục này cho ta một cách hiểu chính xác khái niệm đó. I. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d (h.1.10)). Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd. Nếu hình H ’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng nhau qua d. Ví dụ 1. Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối xứng trục d và ngược lại. 1. Cho hình thoi ABCD (h.1.12). Tìm ảnh của các điểm A,B, C, D qua phép đối xứng trục AC. Nhận xét 1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường d. Khi đó: 2. Chứng minh nhận xét 2. II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ 1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M = (x, y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) (h.1.13) Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox. 3. Tìm ảnh của các điểm A(1;2), B(0; - 5) qua phép đối xứng trục Ox. 2) Cho hệ tọa độ Oxy sao cho Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M= (x,y), gọi M’ = Đd(M) = (x’,y’) (h.1.14) thì: Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy. 4. Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5;0) qua phép đối xứng trục Oy. III. TÍNH CHẤT Người ta chứng minh được các tính chất sau: Tính chất 1. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì 5. Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất 1. Tính chất 2. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. IV. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Khi đó, ta nói H là hình có trục đối xứng. Ví dụ 2. a) Mỗi hình trong hình 1.16 là hình có trục đối xứng. b) Mỗi hình trong hình 1.17 là hình không có trục đối xứng 6. a) Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng? b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng BÀI TẬP 1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox. 2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. 3. Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng? Hình 11 - Chương I - Bài 4. Phép đối xứng tâm. Quan sát hình 1.18 ta thấy hai hình đen và trắng đối xứng với nhau qua tâm của hình chữ nhật. Để hiểu rõ loại đối xứng này chúng ta xét phép biến hình dưới đây. I. Định nghĩa Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. Điểm I được gọi là tâm đối xứng (h.1.19). Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là ĐI. Nếu hình là ảnh của hình qua Đb thì ta còn nói đối xứng với qua tâm I, hay và đối xứng với nhau qua I. Từ định nghĩa trên ta suy ra: Ví dụ 1. a) Trên hình 1.20 các điểm X, Y, Z tương ứng là ảnh của các điểm D, E, C qua phép đối xứng tâm I và ngược lại. b) Trong hình 1.21 các hình và là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm I, các hình và là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm I. 1. Chứng minh rằng: 2. Cho hình bình hànhABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với AB, cắt AB ở E và cắt CD ở F. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm O. II. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ. Trong hệ tọa độ Oxy cho M = (x; y), M’ = Đo(M) = (x’; y’). Khi đó: Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ. 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-4; 3). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O. III. Tính chất Tính chất 1 4. Chọn hệ tọa độ Oxy, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O chứng minh lại tính chất 1. Từ tính chất 1 suy ra: Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (h.1.24). IV. Tâm đối xứng của một hình Định nghĩa Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình nếu phép đối xứng tâm I biến thành chính nó. Khi đó ta nói là hình có tâm đối xứng. Ví dụ 2. Trên hình 1.25 là những hình có tâm đối xứng. 5. Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng? 6. Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng. Toán 11 - Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Bài 5. PHÉP QUAY Bài 5. PHÉP QUAY Sự dịch chuyển của những chiếc kim đồng hồ, của những chiếc quạt, của những bánh răng cưa hay động tác xòe một chiếc quạt giấy cho ta những hình ảnh về phép quay mà ta sẽ nghiên cứu trong mục này. I. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM’ OM’) bằng được gọi là phép quay tâm O góc (h.1.27). Điểm O được gọi là tâm quay còn được gọi là góc quay của phép quay. Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là Q(O, ). Ví dụ 1. Trên hình 1.28 ta có các điểm A’, B’, O tương ứng là ảnh của các điểm A, B, O qua phép quay tâm O, và góc quay 1. Trong hình 1. 29 tìm một góc quay thích hợp để quay tâm O - Biến điểm A thành điểm B - Biến điểm C thành điểm D. 1 Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. 2. Trong hình 1.31 khi bánh xe A quay theo chiều dương thì bánh xe B quay theo chiều nào? 3 Trên một chiếc đồng hồ từ lúc 12 giờ đến 15 giờ kim giờ và kim phút đã quay một góc bao nhiều độ? II. TÍNH CHẤT Quan sát chiếc tay lái (vô lăng) trên tay người lái xe ta thấy khi người lái xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A và B trên tay lái cũng quay theo. (h.1.34). Tuy vị trí A và B thay đổi nhưng khoảng cách giữa chúng không thay đổi. Điều đó được thể hiện trong tính chất sau của phép quay. Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. (Phép quay tâm O, góc (OA; OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đó, ta có: A’B’ = AB) Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (h.1.36). Nhận xét 4. Cho tam giác ABC và điểm O. Xác định ảnh của tam giác đó qua phép quay tâm O góc 60 0. BÀI TẬP 1. Cho hình vuông ABCD tâm O (h.1.38) a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 90 0 b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 90 0 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 90 0 Toán 11 - Chương I - Bài 6. Phép vị tự Chúng ta hãy quan sát hai bức chân dung ở hình vẽ dưới đây. Tuy kích thước của chúng khác nhau nhưng hình dạng của chúng rất “giống nhau” (ta nói chúng “đồng dạng” với nhau). Vì bức nhỏ hơn là chân dung của nhà toán học Hin-be nên bức lớn hơn cũng là chân dung của nhà toán học đó. Sau đây, chúng ta sẽ nói về các phép biến hình không làm thay đổi hình dạng của hình. Trước hết, trong bài này, ta nói đến phép vị tự, một trường hợp riêng của những phép biến hình như thế. 1. Định nghĩa Ta thường kí hiệu phép vị tự bởi chữ V, nếu cần nói rõ tâm O và tỉ số k của nó thì ta kí hiệu là V(O ; k). Hình 19 cho ta thấy phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 và phép vị tự tâm O1 tỉ số biến hình H thành các hình như thế nào. 2. Các tính chất của phép vị tự ĐỊNH LÍ 1 Chứng minh Nếu O là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa, ta có: Vậy: Từ đó suy ra: ĐỊNH LÍ 2 Chứng minh Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm giữa A và C, tức là với m < 0. Nếu phép vị tự tỉ số k biến A, B, C lần lượt thành A’, B’, C’ thì theo định lí 1, ta có Từ đó suy ra: Tức là ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và C’. HỆ QUẢ 1 Những đường thẳng nào biến thành chính nó qua phép vị tự với tỉ số k khác 1 ? Những đường tròn nào biến thành chính nó qua phép vị tự với tỉ số k khác 1 ? 3. Ảnh của đường tròn qua phép vị tự ĐỊNH LÍ 3 Chứng minh (h.20) Giả sử V là phép vị tự tâm O tỉ số k và (I ; R) là đường tròn đã cho. Gọi I’ là ảnh của I và M’ là ảnh của điểm M bất kì thì ta có I’M’ = |k|IM. Bởi vậy IM = R khi và chỉ khi I’M’ = |k|R hay là M’ thuộc đường tròn (I’ ; R’) với R’ = |k|R. Đó chính là ảnh của đường tròn (I ; R) qua phép vị tự V. 1 Trên hình 20, hãy vẽ một đường thẳng d qua tâm vị tự O, cắt đường tròn (I ; R) tại A và B, cắt đường tròn (I’ ; R’) tại C và D. Hãy nói rõ các điểm A và B được biến thành những điểm nào qua phép vị tự đó, và giải thích tại sao. Nếu đường thẳng d nói trên tiếp xúc với đường tròn (I ; R) thì d có tiếp xúc với đường tròn (I’ ; R’) hay không? Nhận xét gì về các tiếp điểm? 4. Tâm vị tự của hai đường tròn Ta đã biết rằng phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn. Bây giờ ta xét bài toán ngược lại. Bài toán 1 Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’ ; R’) phân biệt. Hãy tìm các phép vị tự biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Giải Trước hết, ta có nhận xét: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến (I ; R) thành (I’ ; R’) thì hay và . Từ đó ta xác định được các phép vị tự mà bài toán yêu cầu. Cụ thể là: Trường hợp hai đường tròn (I ; R) và (I’ ; R’) đồng tâm, R khác R’. Hiển nhiên O trùng với I. Vậy ta có hai phép vị tự: phép vị tự V1 tâm I tỉ số và phép vị tự V2 tâm I tỉ số . (Trên hình 21, phép vị tự V1 biến M1 thành M’1 và phép vị tự V2 biến M thành M’2). Trường hợp I không trùng với I’ nhưng R = R’, tức là Khi đó điểm O phải thỏa mãn điều kiện nên k chỉ có thể bằng -1, và O là trung điểm của đoạn thẳng II’. Vậy trong trường hợp này chỉ có một phép vị tự: tâm O, tỉ số -1, đó cũng chính là phép đối xứng qua điểm O (h.22). Trường hợp I không trùng I’ và R R’. Ta có thể xác định được các phép vị tự như sau (h.23): Ta lấy M’1M’2 là một đường kính của (I’ ; R’) và IM là một bán kính của (I ; R) sao cho hai vectơ và cùng hướng. Đường thẳng II’ cắt MM’1 và MM’2 lần lượt tại O1 và O2. Khi đó phép vị tự V1 tâm O1 tỉ số và phép vị tự V2 tâm O2 tỉ số đều biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Thuật ngữ Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó. Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong. Trên hình 23, hai đường tròn (I ; R) và (I’ ; R’) có O1 là tâm vị tự ngoài, O2 là tâm vị tự trong. 5. Ứng dụng của phép vị tự Bài toán 2 Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (I ; R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC. Giải (h.24) Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi Như vậy phép vị tự V tâm I tỉ số biến điểm A thành điểm G. Từ đó suy ra khi A chạy trên đường tròn (O ; R) thì quỹ tích G là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V, tức là đường tròn (O’ ; R’) mà: Bài toán 3 Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng (như vậy khi ba điểm G, H, O không trùng nhau thì chúng cùng nằm trên một đường thẳng, được gọi là đường thẳng Ơ-le). 2 (Để giải bài toán 3) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC . 1) Hãy chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác A’B’C’. 2) Gọi V là phép vị tự tâm G, tỉ số -2. Hãy tìm ảnh của tam giác A’B’C’ qua V. 3) Qua phép vị tự V, điểm O biến thành điểm nào? Vì sao? Từ đó suy ra kết luận của bài toán. 2 Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Qua phép vị tự V nói trên, điểm O’ biến thành điểm nào? Câu hỏi và bài tập 25. Các phép sau đây có phải là phép vị tự hay không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác ? 26. Các khẳng định sau đây có đúng không? a) Phép vị tự luôn có điểm bất động (tức là điểm biến thành chính nó). b) Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động. c) Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động. 27. Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau: a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau. b) Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau. c) Một đường tròn chứa đường tròn kia. 28. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) ở N sao cho M là trung điểm của AN. 29. Cho đường tròn (O ; R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N. 30. Cho hai đường tròn (O) và (O’)có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O”) thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O’)lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. Hình 11 - Chương I - Bài 7. Phép đồng dạng 1. Định nghĩa phép đồng dạng 1 Phép dời hình và phép vị tự có phải là những phép đồng dạng hay không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu? Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k và D là một phép dời hình. Với mỗi điểm M bất kì, V biến điểm M thành điểm M1 và D biến điểm M1thành điểm M’. Như vậy ta có một phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’. Có thể nói F có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình V và D. Người ta còn nói rằng F là phép hợp thành của hai phép biến hình V và D. Hãy chứng tỏ rằng F là một phép đồng dạng tỉ số . Như vậy, nếu thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình thì kết quả là một phép đồng dạng. Điều ngược lại cũng đúng. Ta có thể chứng minh được định lí sau đây. 2. Định lí HỆ QUẢ (tính chất của phép đồng dạng) 2 Có phải mọi phép đồng dạng đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó hay không? 3. Hai hình đồng dạng Trên hình 26, ta có hai hình H và H1 vị tự với nhau (nghĩa là có phép vị tự V biến hình H thành hình H1), hai hình H1 và H’ bằng nhau (nghĩa là có phép dời hình D biến hình H1 thành hình H’). Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến hình H thành hình H’. Ta nói rằng hai hình H và H’ đồng dạng với nhau. Như vậy ta có: ĐỊNH NGHĨA Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia CHÚ Ý Ở lớp 8, ta đã biết thế nào là hai tam giác đồng dạng. Khái niệm đó phù hợp với định nghĩa trên. Câu hỏi và bài tập 31. Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. 32. Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau. 33. Dựng tam giác ABC nếu biết hai góc và một trong các yếu tố sau: a) Đường cao AH = h; b) Đường trung tuyến AM = m; c) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp. Hình 11: ÔN TẬP CHƯƠNG 1 I - Tóm tắt những kiến thức cần nhớ 1. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa là nếu phép dời hình biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN. 2. Các tính chất của phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Các phép dời hình cụ thể: a) Phép tịnh tiến (theo vectơ ) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho b) Phép đối xứng trục (trục là đường thẳng d ) biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua d. c) Phép quay (tâm O, góc quay ) biến O thành O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng giác (OM, OM’) = d) Phép đối xứng tâm (tâm là điểm O) biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O. 4. Định nghĩa về hai hình bằng nhau: Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia. 5. Phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0 ) là phép biến hình biến mỗi cặp điểm M, N thành cặp điểm M’, N’ sao cho M’N’ = kMN. 6. Phép đồng dạng có các tính chất: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó), biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k ( k là tỉ số của phép đồng dạng), biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k, biến một góc thành góc có cùng số đo, biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR. 7. Phép vị tự tâm O tỉ số k ( k 0 ) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 8. Các tính chất của phép vị tự: Phép vị tự tâm O tỉ số k là một phép đồng dạng tỉ số nên có các tính chất của phép đồng dạng. Ngoài ra, phép vị tự có tính chất đặc biệt sau: đường thẳng nối một điểm và ảnh của nó luôn luôn đi qua O; ảnh d’ của đường thẳng d luôn song song hoặc trùng với d. 9. Mỗi phép đồng dạng bao giờ cũng có thể xem là hợp thành của một phép vị tự và một phép dời hình. 10. Định nghĩa về hai hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. II - Các câu hỏi tự kiểm tra 1. Các khẳng định sau đây có đúng không? a) Phép đồng nhất là một phép tịnh tiến; b) Phép đồng nhất là một phép quay; c) Phép đồng nhất là một phép đối xứng tâm; d) Phép đối xứng tâm là một phép vị tự; e) Phép quay là một phép đồng dạng; f) Phép vị tự là một phép dời hình. 2. Cho hai điểm A, B phân biệt. Các khẳng định sau đây có đúng không? a) Có duy nhất một phép đối xứng trục biến A thành B; b) Có duy nhất một phép đối xứng tâm biến A thành B; c) Có duy nhất một phép tịnh tiến biến A thành B; d) Có duy nhất một phép quay biến A thành B; e) Có duy nhất một phép vị tự biến A thành B. 3. Hãy chỉ ra một số hình có một trong các tính chất dưới đây: a) Có vô số trục đối xứng; b) Có vô số tâm đối xứng; c) Có đúng n trục đối xứng. III - Bài tập 1. Cho hai đường tròn và một đường thẳng d. a) Tìm hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MN. b) Xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT của và tiếp tuyến IT’ của hợp thành các góc mà d là một trong các đường phân giác của các góc đó. 2. Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng. 3. Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho và AM + BN bé nhất. 4. Cho vectơ và một điểm O. Với điểm M bất kì, ta gọi là điểm đối xứng với M qua O và M’ là điểm sao cho . Gọi Flà phép biến hình biến M thành M’. a) F là phép hợp thành của hai phép nào? F có phải là phép dời hình hay không? b) Chứng tỏ rằng F là một phép đối xứng tâm. 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn và một điểm M thay đổi trên . Gọi là điểm đối xứng với M qua A , là điểm đối xứng với qua B, là điểm đối xứng với qua C. a) Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành điểm là một phép đối xứng tâm. b) Tìm quỹ tích điểm 6. Gọi F là phép biến hình có tính chất sau đây: Với mọi cặp điểm M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta luôn có , trong đó k là một số không đổi khác 0. Hãy chứng minh rằng F là phép tịnh tiến hoặc phép vị tự. 7. a) Cho tam giác ABC và hình vuông MNPQ như hình 27. Gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số . Hãy dựng ảnh của hình vuông MNPQ qua phép vị tự V. b) Từ bài toán ở câu a) hãy suy ra cách giải bài toán sau: Cho tam giác nhọn ABC, hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho hai đỉnh P, Q nằm trên cạnh BC và hai đỉnh M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC. 8. Cho đường tròn có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là đường kính thay đổi của khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ. b) Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi. 9. Cho đường tròn và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của có độ dài không đổi BC = m. Tìm quỹ tích các điểm G sao cho IV. Các câu hỏi trắc nghiệm 1. Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d’? A. Không có phép tịnh tiến nào; B. Có duy nhất một phép tịnh tiến; C. Chỉ có hai phép tịnh tiến; D. Có vô số phép tịnh tiến. 2. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a // a’, b // b’, a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến a và b lần lượt thành a’ và b’ ? A. Không có ph