Ôn tập Toán Lớp 9 - Nguyễn Trần Khánh

Phần I : Một số dạng toán cơ bản A.Toán rút gọn Bài 1: Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tính giá trị của P biết c/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên d/ Tìm x để P < 1 Bài 2: Cho biểu thức: a/ Rút gọn P b/ Tính giá trị của P biết c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P d/ Tìm x để Bài 3: Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để Bài 4: Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức d/ Tìm x để P > 1 Bài 5: Cho biểu thức a/ Rút gọn P. b/ Tính giá trị của P biết c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 6 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P biết Tìm các giá trị x nguyên để P nhận giá trị nguyên Tìm x để P < 1 Tìm các giá trị của x để Bài 7 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá trị của x sao cho Chứng minh P Ê Bài 8 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P biết Tìm giá trị lớn nhất của Bài 9 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P nếu Tìm các giá trị của x để Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên Bài 10 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của biết Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn Bài 11 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá trị của x để Cho (x là ẩn). Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Xác định dấu của hai nghiệm đó. Bài 12 : Cho biểu thức Rút gọn P Tính giá trị của P biết Tìm các giá trị của m để có giá trị x thoả mãn : Bài 13: Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá tri của x để So sánh P với 1 Bài 14 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm x để Bài 15 : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm x để P < 0 Tìm x để – P = Bài 16 : Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < 0 c/ Tìm x để P < 1 Bài 17: Cho biểu thức a/ Rút gọn P b/ Tìm x để Bài 18 : Cho biểu thức : a)Rút gọn . b) Tính P với x = . c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a Bài 19: Cho biểu thức: Rút gọn A. Chứng minh A > 0 với mọi x thuộc TXĐ Bài 20 : Cho biểu thức: a) Rút gọn A . b) Tính khi Bài 21: Cho biểu thức: a) Rút gọn M . b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ? Bài 22: Cho biểu thức: a) Rút gọn M . b) Tìm các giá trị nguyên của biến để M có giá trị nguyên . Bài 23: Cho biểu thức: a) Rút gọn Q . b) Tìm giá trị của x để Q = 6 . Bài 24: Cho biểu thức: a) Rút gọn A . b) Tìm giá trị của a để Bài 25: Cho biểu thức: a) Rút gọn A . b) Tìm giá trị lớn nhất của A . Bài 26 : Cho biểu thức : Rút gọn P. Xác định các giá trị của x để ( x + 1 ).P = x – 1 Biết Tìm x để Q có giá trị lớn nhất. Tìm x để Bài 27 : Cho biểu thức : Rút gọn P. Tìm x để Tìm x để : Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn : Bài 28 : Cho biểu thức : Rút gọn P Tìm m để phương trình P = m – 1 có nghiệm x , y thoả mãn : Bài 29 : Cho biểu thức : Rút gọn P Tìm giá trị lớn nhất của Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 ta có : Bài 30 : Cho biểu thức : a) Rút gọn. b) Tính giá trị của P với x = . d) Giải pt: c ) Tìm m để có x thoả mãn P = e) Tìm m để có x thoả mãn: f) Tìm nghiệm nguyên dương của pt: B. Hàm số bậc nhất : Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau: a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2 a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng và đi qua điểm B(1;) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đường thẳng y = x – 2 Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng : y = (k – 2)x + m – 1 và y = (6 – 2k)x + 5 – 2m. a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau Bài 3 : Cho hàm số y = (a – 1)x + a Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a và b trên cùng một hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được. Bài 4 : Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ạ 2) (d) Tìm các giá trị của m và n trong các trường hợp sau: Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;4) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng Đường thẳng (d) cắt đường thẳng 2y + x – 3 = 0 Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0 Bài 5 : a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau : y = x (d1) ; y = 2x (d2) ; y = - x + 3 (d3) b) đường thẳng (d3) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của các điểm A và B. Tính diện tích tam giác OAB. Bài 6 : Cho hàm số y = (1 – 2m)x + m + 1 (1) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến. Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 1 + m Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duy nhất. Tìm điểm cố định đó. Bài 7 : Cho hai đường thẳng y = - 4x + m – 1 (d1) và y = (d2) a) Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm trên trục tung. b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đường thẳng (d1) và (d2) với trục hoành. c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC d) Tính các góc của tam giác ABC. Bài 8 : Tìm toạ độ của M(x1; y1) thuộc đường thẳng 2x + 3y = 5 sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến M nhỏ nhất. C. Hàm số bậc hai- Phương trình bậc hai một ẩn – Hệ thức Vi-et. Quan hệ giữa Parabol y = ax2 và đường thẳng y = mx + n I.Tóm tắt lý thuyết: 1/ Toạ độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của hệ phương trình 2/ Hoành độ giao điểm của Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của phương trình ax2 = mx + n tức ax2 - mx – n = 0 (1) Nếu phương trình (1) có D > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt. Nếu phương trình (1) có D = 0 thì (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với Parabol. Nếu phương trình (1) có D < 0 thì (1) vô nghiệm, đường thẳng và Parabol không giao nhau II.Bài tập Bài 1 : Cho hai hàm số y = x2 (P) và y = 2x + 3 (d) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d). Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d). Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 2 : Cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 2x – m (d) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau. Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A và B với m = - 3 . Tìm toạ độ trung điểm của AB. Bài 3 : Cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx – m (d) Với giá trị nào cuả m thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm toạ độ trung điểm M của AB. Suy ra một hệ thức liên hệ giữa các toạ độ của m, độc lập với m. Bài 4: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = mx + n. Xác định hệ số m và n để đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ giao điểm và vẽ đồ thị của (P) và đường thẳng. Bài 5: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = x + n Tìm giá trị của n để đường thẳng tiếp xúc với (P). Tìm giá trị của n để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm. Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng với (P) nếu n = 1. Vẽ đồ thị của (P) với đường thẳng trong trường hợp ấy. Bài 6: Cho Parabol (P): y = ax2 và đường thẳng y = mx + n. Xác định các hệ số a, m, n biết rằng (P) đi qua điểm A(-2; 2), đường thẳng đi qua điểm B(1; 0) và tiếp xúc với (P). Bài 7: Cho hàm số y = 2x2 (P). Vẽ đồ thị (P). Tìm trên độ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ. Tuỳ theo m hãy xét số giao điểm của đường thẳng y = mx – 1 với (P). Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P). Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với (P). Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng Bài 8: Cho hàm số y = (2m - 1) x2 (P). Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm được. Viết phương trình đường thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm T thuộc (P) Có tung độ . Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1. Bài 9: Cho Parabol y = ax2 và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi hoành độ của A,B lần lượt là x1, x2. CMR: Chứng minh rằng: D OAB vuông. Bài 10: Cho Cho Parabol (P): y = và đường thẳng (d): mx + y = 2. Chứng minh rằng: Khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định. Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Xác định m để AB có độ dài nhỏ nhất. Tính diện tích D AOB ứng với giá trị tìm được của m. Chứng minh rằng: Trung điểm I của AB khi m thay đổi luôn nằm trên Parabol cố định. Bài 11: Cho Parabol (P): y = - x2 đường thẳng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm giá trị của m để D AOB đều. Tính diện tích tam giác đều đó. Bài 12: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy từ điểm M nằm phía dưới đường thẳng y = người ta kẻ các đường thẳng MN, MP tiếp xúc với Parabol y = x2 tại điểm N, P. Chứng minh góc NMP nhọn. Bài 13: Cho Parabol (P): y = và đường thẳng y = x + 3 Xác định toạ độ giao điểm A, B của Parabol và đường thẳng. Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB của Parabol sao cho D ABC có diện tích lớn nhất. Phương trình bậc hai một ẩn – Hệ thức Vi-et Bài 1 : Cho phương trình (m – 1)x2 – 4mx + 4m – 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số) Giải phương trình với m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 1. Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(k – 1)x + k – 4 (1) . (x là ẩn, k là tham số). Giải phương trình với k = 1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k. Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Chứng minh rằng biểu thức A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào giá trị của k (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)) Bài 3 : Cho phương trình (m + 3)2 + 2mx + m – 3 = 0 (1) với x là ẩn, m là tham số. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai. Giải phương trình với m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 4. Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là nghịch đảo của 2 nghiệm phương trình (1). Bài 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ? Bài 5 : Cho phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m ≠ 1. Tìm m để tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Bài 6 : Cho phương trình x2 + 2x – 5 = 0 . Không giải phương trình hãy tính : Tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình Tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình Tổng các nghịch đảo bình phương hai nghiệm của phương trình Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình. D. Hệ phương trình : Bài 1 : Cho hệ phương trình : Giải hệ với m = 1 Tìm m để hệ có nghiệm Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm thoả mãn x = y. Bài 2 : Cho hệ phương trình : Giải hệ với m = -1, n = 1 Tìm n để hệ có nghiệm với mọi giá trị của m E. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài 1: Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và đuổi theo trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20 km/h. Bài 2: Hai bến tàu A và B cách nhau 48 km.Một tàu thuỷ đi từ bến A đến bến B rồi trở lại, cả đi lẫn về hết 5 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu, biết vận tốc dòng nước không đổi và vận tốc riêng của tàu cả đi lẫn về là không đổi. Bài 3: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20km trong một thời gian đã định. Sau khi đi được một giờ với vận tốc dự định, người đó giảm vận tốc đi 2 km/h trên quãng đường còn lại, nên đã đến B chậm 15 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp. Bài 4 : Một công nhân được giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khoán được giao đã được người công nhân hoàn thành sớm 1 giờ. Tính năng suất và thời gian dự định của người công nhân đó. Bài 5 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm. Bài 6 : Một đoàn xe được giao chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì được nhận thêm hai xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 0.5 tấn sao với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ? Bài 7 : Một hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chư nhật ban đầu. Bài 8 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc dự định, khi còn 40km nữa thì được nửa quãng đường AB do trời mưa nên người lái xe giảm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến tỉnh B muộn hơn một giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 9 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình đầy bể trong bao lâu ? Bài 10 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể ? Bài 11 : Một phòng họp 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp, do đó ban tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy bao nhiêu ghế ? Bài 12 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tôt theo kế hoạch ? Bài 13: Tổng của hai chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số là 18. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì sẽ được số mới lớn hơn số ban đầu 54 đơn vị. Tìm số ban đầu. Bài 14: Một ô tô khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ô tô con khởi hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ô tô khách. Tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h. Bài 15: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Sau đó một thời gian, một người khác đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30km/h và nếu không có gì thay đổi sẽ đuổi kịp người đi xe đạp tại B. Nhưng sau khi đi được một nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3km/h nên hai người gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính quãng đường AB. Bài 16: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I đã vượt mức 15% kế hoạch của tổ, tổ II vượt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó cả hai tổ làm được 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm. Bài 17: Một ca nô chạy trên khúc sông dài 95 km. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1giờ 12 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 3km/h. Bài 18: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian qui định và với một vận tốc xác định. Nếu người đó tăng vận tốc 3km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ, nếu người đó giảm vận tốc 2km/h thì sẽ đến B muộn 1 giờ. Tính khoảng cách AB, vận tốc và thời gian đi của người đó. Bài 19: Sau khi nhận mức khoán, một công nhân dự kiến sẽ hoàn thành công việc trong 10 giờ. Lúc đầu mỗi giờ người đó làm được 12 sản phẩm. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lý hoá một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Tính số lượng sản phẩm được giao. Bài 20: Hai người cùng làm chung một công việc thì sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại thì sẽ hoàn thành toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc trong mấy ngày. Bài 21: Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đã đi được một nửa quãng đường AB. Tính quãng đường AB. Bài 22: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144 người. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế. Bài 23: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó cộng thêm 5. Bài 24: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35. Bài 25 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô. Bài 26 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bài 27 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km, ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vân tốc của dòng nước, biết vận tốc nước là và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bài 28 : Hai ôtô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ôtô thứ nhất bắt đầu xuất phát, sau đó 15 phút ôtô thứ hai xuất phát và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ nhất 10km/h. Trên đường đi ôtô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ôtô và hai ôtô dến B lúc mấy giờ, biết chúng đến B cùng một lúc. Bài 29 : Một người đi xe đạp từ A đến B dài 30 km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi đuợc một nửa quãng đường người đó nghỉ 15 phút. Để đến B đúng dự định người đó tăng vận tốc trên quãng đườn còn lại 2 km/h. Tính vận tốc xe đạp lúc ban đầu và thời gian dự định đi từ A đến B. Bài 30 : Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất thêm 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến. F. Hình học : Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đường tròn đường kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D. Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đường kính nhỏ nhất có thể được. Bài 2 : Cho (O;R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C. Nối C với B cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K. Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp Chứng minh : CI. CB = CK . CH Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN Cho MN = và AM // BC. Tính MC. Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, điểm M bất nằm trên cung AB. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. Các tia AH, BM cắt nhau S. Chứng minh tam giác BAS cân. Từ đó suy ra S nằm trên đường tròn cố định. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BA Tia AI cắt đường tròn tâm B, bán kính BA tại N. Chứng minh tứ giác BINS nội tiếp. Xác định vị trí của M sao cho Bài 4 : Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn đó (AC < BC), D là một điểm trên dây BC nhưng không trùng với B và C. AD cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là E, BE cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. Chứng minh Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED với đường tròn đường kính AB là G. Chứng minh FD đi qua G. Biết dây AC = a, dây CB = b, tính tổng BE. BF + AC. AF theo a và b. Bài 5 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đường tròn tại điểm B và C (B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đường tròn tại M và M, gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh : AM2 = AB. AC Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp được. Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE // MC Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đường nào ? Bài 6 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đường tròn, gọi I là trung điểm của MC tai BI cắt đườn tròn tại A, tia MA cắt đường tròn tại D. So sánh tam giác AIC và tam giác IBC Chứng minh : IM2 = IA. IB Chứng minh BD // MC Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Khi thì tứ giác IBDC là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó theo R. Bài 7 : Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm trên cung CB, kẻ đường cao CH của tam giác ACM. Chứng minh rằng tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của Gọi giao điểm của tia OH với Cb là I và giao điểm thứ hai của đường thẳng MI với nửa đường tròn (O) là D. Chứng minh MC // BD. Xác định vị trí của M sao cho D, B, H thẳng hàng. Gọi giao điểm của OH và BM là N. Tìm tập hợp điểm N. Bài 8 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho . Tia phân giác của cắt (O) tại M, cắt BC tại I. Chứng minh AB. IC = AI. MB Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia AM tại E. Tứ giác ADEC là hình gì ? Chứng minh. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp. Chứng minh rằng B; M; G thẳng hàng. Bài 9 : Từ một điểm S ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho . Tia phân giác của cắt dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và E cắt nhau tại N. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CE; AE và CN. Chứng minh SA = SD Chứng minhEN // SD So sánh tam giác QCB và tam giác PCE Chứng minh : Bài 10 : Cho tam giác ADC (). Điểm B nằm giữa A và C (B ≠ A, B ≠ C). Đường tròn (O) đường kính BC giao CD tại M. Tia MA giao với (O) tại N. kẻ NP vuông góc với AC (P ẻ (O)). Chứng minh CM. CD = CB. CA Chứng minh D, B, P thẳng hàng Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp . Khi B di động trên doạn AC và tia MA giao đường tròn đường kính BC tại N. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đường thẳng cố định. Bài 11 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao cho AB < AC. Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt đường thẳng BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC và I là giao điểm của OM với đường tròn ( I thuộc cung BC). Chứng minh SA2 = SB. SC. Chứng minh Hạ IN vuông góc với AC. Chứng minh: Tứ giác MNCI nội tiếp . Hạ IP vuông góc với AB. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A( AB > AC) ; đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E; nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được. c) Chứng minh AE.AB = AF.AC d*) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. Bài 13 :Cho đường tròn (O) , AB là dây cung của (O) ; đường kính PQ của đường tròn vuông góc với AB tại I ( P thuộc cung nhỏ AB) .Trên tia đối của tia BA lấy điểm M (góc AQM ≠ 90o), MQ cắt (O) tại E, PE cắt AB tại D a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp được đường tròn b) Chứng minh PE. PD = PI. PQ c) Qua A kẻ đường thẳng song song với PE cắt (O) tại F. Chứng minh BE vuông góc với QF d) Từ D kẻ DH vuông góc với PM. Chứng minh: IP, ME, DH đồng qui. e*) Xác định vị trí của M để D là trung