Ôn thi tuyển vào lớp 10 môn Toán

Bài 17 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By . Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F . Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp . AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q . Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ? Kẻ MH ^ AB ( H Î AB) . Gọi K là giao của MH và EB . So sánh MK và KH. Hướng dẫn : 1) EAO = EMO = 900 . Nên AEMO là tứ giác nội tiếp . 2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là hình chữ nhật . 3) DEMK D EFB (g.g) Þ mà MF = FB Þ DEAB D KHB (g.g) Þ mà ( Ta let) Þ Vì EM = EA Þ MK = KH . Bài 18 : Cho (O) cắt (O’) tại A và B . Kẻ cát tuyến chung CBD ^ AB ( C ở trên (O) và D ở trên (O’).) Chứng minh A , O , C và A ,O’, D thẳng hàng . Kéo dài CA và DA cắt (O’) và (O) theo thứ tự tại I và K . Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp . Chứng minh BA , CK và DI đồng quy . Hướng dẫn : CBA = DBA = 900 nên AC và DA là đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng . Từ câu 1) và dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I cùng nhìn CD dưới một góc vuông nên tứ giác CDIK nội tiếp . A là trực tâm của tam giác ADG có AB là đường cao hay BA đi qua G . Bài 19: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A,B . Các đường AO và AO’cắt đường tròn (O) lần lượt tại C và D , cắt đường tròn (O’) lần lượt tại E , F . Chứng minh B , F , C thẳng hàng . Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp . Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE . Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) Hướng dẫn : CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng . D, E cùng nhìn CF dưới một góc vuông nên CDEF nội tiếp . Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ đó suy ra EDF = ADB . Hay DE là phân giác góc D của DBDE . Tương tự EC là phân giác góc E của DBDE . Hai phân giác cắt nhau tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp DBDE . Giả sử DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy ra : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1) DE là tiếp tuyến thì DE vuông góc với OD và O’E (2) Vậy ODEO’ là hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường tròn có bán kính bằng nhau ) Bài 20: Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động . Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B . Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q . Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn . Chứng minh AD. AQ = AC.AP . Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ? Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACD Hướng dẫn : 1. CPB = CDA ( cùng bằng CBA) nên CPB + CDQ = 1800. 2. DADC DAPQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP . 3. Tứ giác ADBC là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông. 4. Để SCPQD = 3.SACD Þ SADC = ¼ SAPQ tức là tỉ số đồng dạng của hai tam giác này là ½ . Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông tại B nên C là trung điểm của CP Þ CB = CA hay DACB cân Þ CD ^ AB . Bài 21: Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó . Gọi E là trung điểm của dây CD . Chứng minh 5 điểm S ,A , E , O , B cùng nằm trên một đường tròn . Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao ? Chứng minh AC . BD = BC.DA = ½ AB.CD Hướng dẫn chứng minh 1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B cùng nhìn SO dưới một góc vuông , nên tứ giác SADO nội tiếp đường tròn đường kính SO . Dựa vào tính chất đường kính vuông góc với dây cung , ta có SEO = 900 . Nên E thuộc đường tròn đường kính SO . 2) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông . Ta thấy DSAC DSDA Þ DSCB DSBD Þ Mà SA = SB Þ Þ AC.BD = AD.BC (1) Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó DCAK DBAD (g.g) Þ AC.DB = AB.CK DBAC DDAK (g.g) Þ BC.AD = DK.AB Cộng từng vế ta được AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD . Bài 22: Cho tam giác ABC vuông ở A . Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D . Trên cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F . Chứng minh CDEF nội tiếp . Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q . Tứ giác MNPQ là hình gì ? Tại sao ? Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC , ADB , ADC . Chứng minh : r = r12 + r22 Hướng dẫn : 1) Dựa vào số đo cung ta thấy C = DEB Þ C + DEF = 1800 Nên tứ giác CDEF nội tiếp . 2) DBED DBCQ ( g.g) Þ BPE = BQC Þ KPQ = KQP hay DKPQ cân . DCNK DMK Þ EMK = CNK Þ BMN = BNM hay DBMN cân . Þ MN ^ PQ và MN cắt PQ là trung điểm của mỗi đường . Nên MNPQ là hình thoi. 3) DABC DDAB DDAC Þ Þ Û Û r2 = r12 + r22 . Bài 23: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BE của tam giác . Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng : Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . TÌm tâm I của đường tròn đó . MN // DE . Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi . Hướng dẫn giải : a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I ( trung điểm của AB ) là tâm b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN . c) Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CN = CM nên OC ^ MM Þ OC ^ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE Þ KD = KE và ID = IE nên IK ^ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành Þ KC = OI không đổi . Bài 24: Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn (O,R) Tính theo chiều R độ dài cạnh và chiều cao của DABC . Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC ( M ¹ B,C ) Trên tia đối của MB lấy MD = MC . Chứng tỏ DMCD đều . CMR : M di động trên cung nhỏ BC thì D di chuyển trên một đường tròn cố định , xác định tâm và các vị trí giới hạn . Xác định vị trí điểm M sao cho tổng S = MA + MB + MC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của S theo R . Hướng dẫn : 1) và AB = AC = BC = R 2) Có MC = MD ( gt) sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 . Þ CMD = 600 . Vậy DCMD đều 3) DIMC = DIMD ( c.g.c) Þ IC = ID . Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D chạy trên đường tròn (I ; IC) Khi M º C Þ D º C ; M º I Þ D º E . 4) DACM = DBCD ( g.c.g ) Þ AM = BD Þ S = MA + MB + MC = 2.AM £ 2.AI Þ S £ 4R . S Max= 4R khi AM là đường kính . Bài 25: Cho DABC ngoại tiếp (O) . Trên BC lấy M , trên BA lấy N , trên CA lấy P sao cho BM=BN và CM = CP . Chứng minh rằng : O là tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP . Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn . Tìm vị trí M , N , P sao cho độ dài NP nhỏ nhất . Hướng dẫn : a) Từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và giả thiết suy ra : DN = EM = FP Þ DODA = DOEM = DOFP ( c.g.c ) ÞON = OM = OP hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP b) Từ câu a) suy ra OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp . c) Kẻ OH ^ NP . Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE .Cos (A/2) . Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) . Khi đó M , N , P trùng với các tiếp điểm . Bài 26: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a . Lấy AE = a trên cạnh AD và DF = a trên cạnh DC . Nối AF và BE cắt nhau ở H . Chứng minh : AF ^ BE . Tính cạnh của tứ giác ABFE và đường chéo của nó theo a . Tính theo a đoạn HE , HB . Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn . Đường tròn ấy cắt BF ở K . Tính theo a đoạn BK . Nhận xét gì về 3 điểm E , K ,C . Hướng dẫn : a) DADF = DBAE ÞDAF = EBA Þ BE ^ AF . b) Pitago : BE = AF = a ; EF = a; BF = a c) Dùng hệ thức lượng : EH = ; HB = d) Dựa vào tổng 2 góc đối bằng 1800 nên EDFH nội tiếp. DBEK DBFH Þ e) Dựa vào vuông góc : E , K , C thẳng hàng . D¹ng to¸n qui vÒ ®¬n vÞ Bµi tËp 1: Hai vßi n­íc cïng ch¶y ®Çy mét bÎ kh«ng cã n­íc trong 3h 45ph . NÕu ch¶y riªng rÏ , mçi vßi ph¶i ch¶y trong bao l©u míi ®Çy bÓ ? biÕt r»ng vßi ch¶y sau l©u h¬n vßi tr­íc 4 h . Gi¶i Gäi thêi gian vßi ®Çu ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x ( x > 0 , x tÝnh b»ng giê ) Gäi thêi gian vßiíau ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y ( y > 4 , y tÝnh b»ng giê ) 1 giê vßi ®Çu ch¶y ®­îc ( bÓ ) 1 giê vßi sau ch¶y ®­îc ( bÓ ) 1 giê hai vßi ch¶y ®­îc + ( bÓ ) (1) Hai vßi cïng ch¶y th× ®Çy bÓ trong 3h 45ph = h VËy 1 giê c¶ hai vßi ch¶y ®­îc 1: = ( bÓ ) ( 2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ph­¬ng tr×nh + = Mặt kh¸c ta biÕt nÕu ch¶y mét m×nh th× vßi sau ch¶y l©u h¬n vßi tr­íc 4 giê tøc lµ y - x = 4 VËy ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh HÖ (a) tho¶ m·n ®k cña Èn HÖ (b) bÞ lo¹i v× x < 0 VËy Vßi ®Çu ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 6 h Vßi sau ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 10 h Bµi tËp 2: Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc . NÕu lµm riªng rÏ , mçi ng­êi nöa viÖc th× tæng sè giê lµm viÖc lµ 12h 30ph . NÕu hai ng­êi cïng lµm th× hai ng­êi chØ lµm viÖc ®ã trong 6 giê. Nh­ vËy , lµm viÖc riªng rÏ c¶ c«ng viÖc mçi ng­êi mÊt bao nhiªu thêi gian ? Gi¶i Gäi thêi gian ng­êi thø nhÊt lµm riªng rÏ ®Ó xong nöa c«ng viÖc lµ x ( x > 0 ) Gäi thêi gian ng­êi thø hai lµm riªng l;ẻ ®Ó xong nöa c«ng viÖc lµ y ( y > 0 ) Ta cã pt : x + y = 12 ( 1 ) thêi gian ng­êi thø nhÊt lµm riªng lẻ ®Ó xong c«ng viÖc lµ 2x => 1 giê ng­êi thø nhÊt lµm ®­îc c«ng viÖc Gäi thêi gian ng­êi thø hai lµm riªng lẻ ®Ó xong c«ng viÖc lµ 2y => 1 giê ng­êi thø hai lµm ®­îc c«ng viÖc 1 giê c¶ hai ng­êi lµm ®­îc c«ng viÖc nªn ta cã pt : + = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : VËy nÕu lµm viÖc riªng rÏ c¶ c«ng viÖc mét ng­êi lµm trong 10 giê cßn ng­êi kia lµm trong 5 giê Bµi tËp 3: Hai tæ thanh niªn t×nh nguyÖn cïng söa mét con ®­êng vµo b¶n trong 4 giê th× xong . NÕu lµm riªng th× tæ 1 lµm nhanh h¬n tæ 2 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× bao l©u sÏ xong viÖc ? Gi¶i Gäi thêi gian mét m×nh tæ 1söa xong con ®­êng lµ x( giê ) ( x > 4 ) Thêi gian mét m×nh tæ 2 söa xong con ®­êng lµ x + 6 ( giê ) Trong 1 giê tæ 1 söa ®­îc ( con ®­êng ) Trong 1 giê tæ 2 söa ®­îc (con ®­êng ) Trong 1 giê c¶ hai tæ söa ®­îc (con ®­êng ) VËy ta cã pt: + = x1= 6; x2 = -4 X2 = - 4 < 4 , kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn VËy mét m×nh tæ 1 söa xong con ®­êng hÕt 6 ngµy mét m×nh tæ 2 söa xong con ®­êng hÕt 12 ngµy Bµi tËp 4: Hai ®éi c«ng nh©n lµm mét ®o¹n ®­êng . §éi 1 lµm xong mét nöa ®o¹n ®­êng th× ®éi 2 ®Õn lµm tiÕp nöa cßn l¹i víi thêi gian dµi h¬n thêi gian ®éi 1 ®· ®· lµm lµ 30 ngµy . NÕu hai ®éi cïng lµm th× trong 72 ngµy xong c¶ ®o¹n ®­êng .Hái mçi ®éi ®· lµm bao nhiªu ngµy trªn ®o¹n ®­êng nµy ? Gi¶i Gäi thêi gian ®éi 1 lµm lµ x ngµy ( x > 0 ) th× thêi gian ®éi 2 lµm viÖc lµ x + 30 ( ngµy ) Mçi ngµy ®éi 1 lµm ®­îc ( ®o¹n ®­êng ) Mçi ngµy ®éi 2 lµm ®­îc ( ®o¹n ®­êng ) Mçi ngµy c¶ hai ®éi lµm ®­îc ( ®o¹n ®­êng ) VËy ta cã pt : + = Hay x2 - 42x - 1080 = 0 = 212 + 1080 = 1521 = 392 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 kh«ng tho¶ m·n ®k cña Èn VËy ®éi 1 lµm trong 60 ngµy , ®éi 2 lµm trong 90 ngµy . Bµi 5: Hai ®éi c«ng nh©n trång rõng ph¶i hoµn thµnh kÕ ho¹ch trong cïng mét thêi gian . §éi 1 ph¶i trång 40 ha , ®éi 2 ph¶i trång 90 ha . §éi 1 hoµn thµnh c«ng viÖc sím h¬n 2 ngµy so víi kÕ ho¹ch .§éi 2 hoµn thµnh muén h¬n 2 ngµy so víi kÕ ho¹ch . NÕu ®éi 1 lµm c«ng viÖc trong mét thêi gian b»ng thêi gian ®éi 2 ®· lµm vµ ®éi 2 lµm tr«ng thêi gian b»ng ®éi 1 ®· lµm th× diÖn tÝch trång ®­îc cña hai ®éi b»ng nhau . TÝnh thêi gian mçi ®éi ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch ? Gi¶i Gäi thêi gian mçi ®éi ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch lµ x ( ngµy ) , x > 0 Thêi gian ®éi 1 ®· lµm lµ x - 2 ( ngµy ) Thêi gian ®éi 2 ®· lµm lµ x + 2 ( ngµy ) Mçi ngµy ®éi 1 trång ®­îc (ha) Mçi ngµy ®éi 2 trång ®­îc (ha) NÕu ®éi 1 lµm trong x + 2 ngµy th× trång ®­îc (x + 2) (ha) NÕu ®éi 2 lµm trong x - 2 ngµy th× trång ®­îc (x - 2) (ha) Theo ®Çu bµi diÖn tÝch rõng trång d­îc cña hai ®éi trong tr­êng nµy lµ b»ng nhau nªn ta cã pt: (x + 2) = (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = 0 / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 x1 = = 10 ; x2 = x2 < 2 , kh«ng tho¶ m·n ®k cña Èn VËy theo kÕ ho¹ch mçi ®éi ph¶i lµm viÖc 10 ngµy . Bµi 6: Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ng­êi thø nhÊt lµm trong 3 giê vµ ng­êi thø hai lµm trong 6 giê th× hä lµm ®­îc 25% c«ng viÖc . Hái mçi ng­êi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong . Gi¶i: Gäi x , y lÇn l­ît lµ sè giê ng­êi thø nhÊt ng­êi thø hai mét m×nh lµm xong c«ng viÖc ®ã ( x > 0 , y > 0 ) Ta cã hÖ pt Bµi 7 Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng chøa n­íc th× sau 6 giê ®Çy bÓ . NÕu vßi thø nhÊt ch¶y trong 2 giê , vßi thø 2 ch¶y trong 3 giê th× ®­îc bÓ . Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh trong bao l©u th× ®Çy bÓ ? Gi¶i : Gäi x , y lÇn l­ît lµ sè giê vßi thø nhÊt , vßi thø hai ch¶y ®µy bÓ mét m×nh ( x > 0 , y > 0 ) Ta cã hÖ pt x = 10 , y = 15 tho¶ m·n ®k cña Èn . VËy vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh mÊt 10 giê , vßi thø hai ch¶y mét m×nh mÊt 15 giê . Bµi tËp 8 Hai ng­êi dù ®Þnh lµm mét c«ng viÖc trong 12 giê th× xong . Hä lµm víi nhau ®­îc 8 giê th× ng­êi thø nhÊt nghØ , cßn ng­êi thø hai vÉn tiÕp tôc lµm . Do cè g¾ng t¨ng n¨ng suÊt gÊp ®«i , nªn ng­êi thø hai ®· lµm xong c«ng viÖc cßn l¹i trong 3giê 20phót . Hái nÕu mçi ng­êi thî lµm mét m×nh víi n¨ng suÊt dù ®Þnh ban ®Çu th× mÊt bao l©u míi xong c«ng viÖc nãi trªn ? Giải Gäi x , y lÇn l­ît lµ thêi gian ng­êi thî thø nhÊt vµ ng­êi thî thø hai lµm xong c«ng viÖc víi n¨ng suÊt dù ®Þnh ban ®Çu . Mét giê ng­êi thø nhÊt lµm ®­îc (c«ng viÖc ) Mét giê ng­êi thø hai lµm ®­îc (c«ng viÖc ) Mét giê c¶ hai ng­êi lµm ®­îc (c«ng viÖc ) Nªn ta cã pt : + = (1) trong 8 giê hai ng­êi lµm ®­îc 8. = (c«ng viÖc ) C«ng viÖc cßn l¹i lµ 1 - = ( c«ng viÖc ) N¨ng suÊt cña ng­êi thø hai khi lµm mét m×nh lµ 2.= (C«ng viÖc ) Mµ thêi gian ng­êi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc cßn l¹i lµ (giê) nªn ta cã pt : = hay = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : ó VËy theo dù ®Þnh ng­êi thø nhÊt lµm xong c«ng viÖc hÕt 30giê vµ ng­êi thø hai hÕt 20 giê . Bµi tËp 9: Hai ng­êi A vµ B lµm xong c«ng viÖc tr«ng 72 giê , cßn ng­êi A vµ C lµm xong c«ng viÖc trong ®ã trong 63 giê vµ ng­¬o× B vµ C lµm xong c«ng viÖc Êy trong 56 giê . Hái nÕu mçi ng­êi lµm mét m×nh th× trong bao l©u th× trong bao l©u sÏ lµm xong c«ng viÖc >NÕu ba ng­êi cïng lµm sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc trong mÊy giê ? Gi¶i : Gäi ng­êi A mét m×nh lµm xong c«ng viÖc trong x (giê ), x > 0 th× mçi giê lµm ®­îc ( c«ng viÖc).Ng­êi B mét m×nh lµm xong c«ng viÖc trong y (giê ), y > 0 th× mçi giê lµm ®­îc ( c«ng viÖc)Ng­êi C mét m×nh lµm xong c«ng viÖc trong z (giê ), z > 0 th× mçi giê lµm ®­îc ( c«ng viÖc) Ta cã hpt : NÕu c¶ ba ng­êi cïng lµm yh× mçi giê lµm ®­îc + + = ( c«ng viÖc ) VËy c¶ ba ng­ßi cïng lµm sÏ hoµn thµnh cong viÖc trong (giê ) Bµi tËp 10: Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm chung mét c«ng viÖc . Thêi gian ®Ó ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc Ýt h¬n thêi gian ®Ó ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc ®ã lµ 4 giê . Tæng thêi gian nµy gÊp 4,5 lÇn thêi gian hai ®éi cïng lµm chung ®Ó xong c«ng viÖc ®ã . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× ph¶i bao l©u míi xong . Gi¶i : Gäi thêi gian ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x giê ( x > 0 ) Suy ra thêi gian ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x + 4 giê Trong 1 giê hai ®éi lµm chung ®­îc : ( c«ng viÖc ) Thêi gian ®Ó hai ®éi lµm chung xong c«ng viÖc lµ (giê) VËy ta cã pt : 2x + 4 = 4,5 . hay x2 + 4x – 32 = 0 ó x1 = - 8 ( lo¹i ) x2 = 4 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn ). VËy §éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc hÕt 4 giê , ®éi hai hÕt 8 giê . Dạng toán chuyển động Bµi 1 : Mét « t« vµ mét xe ®¹p chuyÓn ®éng ®i tõ hai ®Çu mét qu·ng ®­êng, sau 3 giê th× hai xe gÆp nhau. NÕu ®i cïng chiÒu vµ xuÊt ph¸t t¹i mét ®Þa ®iÓm, sau 1 giê hai xe c¸ch nhau 28 km. TÝnh vËn tèc xe ®¹p vµ « t«. HD : Gäi vËn tèc xe ®¹p lµ x (km/h), vËn tèc cña « t« lµ y (km/h). ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : VËy vËn tèc xe ®¹p lµ 12 (km/h), vËn tèc cña « t« lµ 40 (km/h). Bµi 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× sÏ ®Õn chËm 2 giê so víi dù ®Þnh. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 1 giê so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®­êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B. HD : Gäi qu·ng ®­êng AB lµ x(km), thêi gian « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B lµ y (giê). (x > 0 ; y > 1). Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh : VËy qu·ng ®­êng AB lµ 350(km), thêi gian « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B lµ 8 (giê). Bµi 3 : Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ A ®Õn B c¸ch nhau 85 km vµ ®i ng­îc chiÒu nhau. Sau 1 giê 40 phót th× gÆp nhau. TÝnh vËn tèc thËt cña mçi ca n«, biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ng­îc dßng lµ 9 km/h vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h. HD : Gäi vËn tèc thËt cña ca n« ®i xu«i dßng lµ x(km/h), vËn tèc ca n« ®i ng­îc dßng lµ y (km/h) (x,y > 3) Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh : VËy vËn tèc thËt cña ca n« ®i xu«i dßng lµ 27(km/h), vËn tèc ca n« ®i ng­îc dßng lµ 24 (km/h) Bµi 4 : Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 ngµy th× xong. NÕu ®éi thø nhÊt lµm 3 ngµy, ®éi thø hai lµm trong 6 ngµy th× hoµn thµnh ®­îc c«ng viÖc. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi ®éi hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã trong bao l©u ? HD : Gäi thêi gian ®éi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ x ( ngµy). Thêi gian ®éi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ y ( ngµy). . VËy thêi gian ®éi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ 24 ( ngµy). Thêi gian ®éi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ 48 ( ngµy). Bµi 5 : Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau 1 giê 20 phót ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt trong 10 phót, vßi thø hai trong 12 phót th× ®­îc bÓ n­íc. Hái nÕu ch¶y mét m×nh th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u ®Çy bÓ ? HD : Gäi thêi gian vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x (phót), thêi gian vßi 2 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y (phót). . VËy thêi gian vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ 120 (phót), thêi gian vßi 2 ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ 240 (phót). Bµi 6: Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45 m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng lªn 3 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng thay ®æi. HD : Gäi chiÒu réng cña thöa ruéng lµ x (m), chiÒu dµi cña thöa ruéng lµ y (m). ( x> 0, y > 0). DiÖn tÝch cña thöa ruéng lµ : 900 m2. Bµi 7 : T×m hai sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 11, nÕu ®æi chç hai ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cho nhau th× nã t¨ng thªm 27 ®¬n vÞ. HD : Gäi sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè lµ (). . VËy sè cÇn t×m lµ 47. C. Bµi tËp luyÖn tËp: Bµi 1 : Mét « t« ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi mét vËn tèc ®· ®Þnh. nÕu vËn tèc t¨ng thªm 20 km/h th× thêi gian gi¶m ®i 1 giê, nÕu vËn tèc gi¶m bít ®i 10 km/h th× thêi gian t¨ng lªn 1 giê. TÝnh vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh cña « t«. Bµi 2 : Hai ng­êi ë hai ®Þa ®iÓm A vµ B c¸ch nhau 3,6 km, khëi hµnh cïng mét lóc , ®i ng­îc chiÒu nhau vµ gÆp nhau t¹i mét ®Þa ®iÓm c¸ch A 2 km. NÕu c¶ hai cïng gi÷ nguyªn vËn tèc, nh­ng ng­êi ®i chËm h¬n xuÊt ph¸t tr­íc ng­êi kia 6 phót th× hä sÔ gÆp nhau ë chÝnh gi÷a qu·ng ®­êng. TÝnh vËn tèc cña mçi ng­êi. Bµi 3 : Qu·ng ®­êng AB gåm mét ®o¹n lªn dèc dµi 4km vµ mét ®o¹n xuèng dèc dµi 5km. Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B hÕt 40 phót, tõ B vÒ A hÕt 41 phót ( vËn tèc lªn dèc vµ xuèng dèc lóc ®i vµ lóc vÒ nh­ nhau). TÝnh vËn tèc lóc lªn dèc vµ vËn tèc lóc xuèng dèc. Bµi 4 : Hai ®éi lao ®éng nÕu cïng lµm chung th× sau 4 ngµy sÔ hoµn thµnh c«ng viÖc. nh­ng lóc ®Çu, ®éi mét lµm ®­îc 9 ngµy th× ®éi hai míi tíi vµ hai ®éi lµm mét ngµy n÷a th× c«ng viÖc míi hoµn thµnh. Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ xong c«ng viÖc ? Bµi 5 : Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau 2 giê 30 phót sÏ ®µy bÓ. NÕu tõng vßi ch¶y riªng th× vßi I ch¶y trong 3 giê b¨ng n­íc vßi II ch¶y vµo bÓ trong 2 giê. Hái nÕu ch¶y mét m×nh th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u ®Çy bÓ ? Bµi 6 : T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt ch÷ sè hµng chôc lín h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 3 ®¬n vÞ. NÕu ®æi hai ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ cho nhau th× nã gi¶m 27 ®¬n vÞ. Bµi 7: Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn 5 m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2. NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng 9 m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2. TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu. B. Bµi tËp c¬ b¶n: Bµi 1 : Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ A ®Õn B c¸ch nhau 85km vµ ®i ng­îc chiÒu nhau. Sau 1 giê 40 phót th× gÆp nhau. TÝnh vËn tèc thËt cña mçi ca n« (vËn tèc ca n« khi n­íc yªn lÆng vµ kh«ng ®æi) biÕt r»ng vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ng­îc dßng lµ 9km/h vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h. HD : Gäi x (km/h) lµ vËn tèc cña ca n« ®i xu«i dßng, x > 0. x + (x - 9) = 85 x = 30. VËy vËn tèc thËt cña ca n« ®i xu«i dßng lµ : 27 km/h. VËn tèc thËt cña ca n« ®i ng­îc dßng lµ 24km/h. Bµi 2 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn s«ng A vµ B lµ 45 km. Mét ca n« ®i tõ A ®Õn B nghØ ë B 30 phót råi quay trë l¹i A. Thêi gian kÓ tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ ®Õn bÕn A lµ 4 giê 30 phót. TÝnh vËn tèc ca n« khi n­íc yªn lÆng, biÕt vËn tèc cña dßng n­íc lµ 6 km/h. HD : Gäi x(km/h) lµ vËn tèc cña ca n« khi n­íc yªn lÆng (x > 6). Ta cã ph­¬ng tr×nh : , ph­¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm x = 24 (TM). VËy vËn tèc cña ca n« khi dßng n­íc yªn lÆng lµ 24 km/h. Bµi 3 : Mét ng­êi dù ®Þnh lµm 120 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. Khi lµm mèi giê thªm 2 s¶n phÈm nªn ng­êi ®ã ®· lµm xong tr­íc dù ®Þnh 1 giê mµ cßn lµm thªm 6 s¶n phÈm n÷a. Hái ng­êi ®ã dù ®Þnh mçi giê lµm ®­îc bao nhiªu s¶n phÈm ? HD : Gäi x lµ sè s¶n phÈm ng­êi ®ã dù ®Þnh lµm trong mét giê ( x > 0) , ph­¬ng tr×nh chØ cã nghiÖm x = 12 (TM). VËy dù ®Þnh mçi giê lµm ®­îc 12 s¶n phÈm.  Bài 4: Hai ®éi cïng ®µo mét con m­¬ng. NÕu mçi ®éi lµm mét m×nh c¶ con m­¬ng th× thêi gian tæng céng hai ®éi ph¶i lµm lµ 25 giê. NÕu hai ®éi cïng lµm chung th× c«ng viÖc hoµn thµnh trong 6 giê. TÝnh xem mçi ®éi lµm mét m×nh xong c¶ con m­¬ng trong bao l©u? HD: Gäi thêi gian ®éi I hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ x (giê). 25 > x > 0. Thêi gian ®éi hai hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh trong 25 – x ngµy. . Thêi gian ®éi I hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ 10 (giê). Thêi gian ®éi II hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ 15 (giê). HoÆc thêi gian ®éi I hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ 15 (giê). Thêi gian ®éi II hoµn thµnh c«ng viÖc mét m×nh lµ 10 (giê). Bµi 5: NÕu hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau 2 giê 55 phót ®Çy bÓ. NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy nhanh h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. NÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? HD: Gäi x ( giê) lµ thêi gian vßi I ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ th× x + 2 ( giê) lµ thêi gian vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ. Ta cã ph­¬ng tr×nh: . Bµi 6: Trong mét phßng häp cã 80 ng­êi, ®­îc s¾p xÕp ngåi ®Òu trªn c¸c ghÕ. NÕu ta bít ®i 2 d·y ghÕ th× mçi d·y ghÕ cßn l¹i ph¶i xÕp thªm 2 ng­êi míi ®ñ chç. Hái lóc ®Çu cã mÊy d·y ghÕ vµ mçi d·y ®­îc xÕp bao nhiªu chç ngåi? HD: Gäi x lµ sè d·y ghÕ trong phßng häp, x N*, th× chç ngåi trªn mét d·y lµ . + NÕu bít ®i hai ghÕ th× sè chç ngåi trªn mçi d·y lµ : . + Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh: - = 2 x1 = 9; x2 = - 8. VËy sè d·y ghÕ trong phßng häp lµ 10 d·y, mçi d·y ®­îc xÕp 8 chç ngåi. C. Bµi tËp luyÖn tËp: Bµi 1 : Qu·ng s«ng tõ A ®Õn B dµi 36 km. Mét ca n« xu«i dßng tõ A ®Õn B råi ng­îc dßng tõ B trë vÒ A hÕt tæng céng 5 giê. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« biÕt vËn tèc dßng n­íc lµ 3 km/h. Bµi 2 : Lóc 7 giê mét « t« ®i tõ A ®Õn B. Lóc 7 giê 30 phót mét xe m¸y ®i tõ B ®Õn A víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc « t« lµ 24 km/h. ¤ t« ®Õn B ®­îc 1 giê 20 phót th× xe m¸y míi ®Õn A. TÝnh vËn tèc cña mçi xe, biÕt qu·ng ®­êng AB dµi 120 km. Bµi 3: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn s«ng A . Sau ®ã 5 giê 20 phót mét chiÕc ca n« ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km. Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h. Bµi 4 : Mét «t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®· ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu·ng ®­êng dµi 120 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh . §i ®­îc mét nöa qu·ng ®­êng xe nghØ 3 phót nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê , xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 2 Km/h trªn nöa qu·ng ®­êng cßn l¹i . TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®­êng . Bµi 5 : Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ðn B c¸ch nhau 120 Km trong mét thêi gian quy ®Þnh . Sau khi ®i ®­îc 1 giê «t« bÞ ch¾n ®­êng bëi xe ho¶ 10 phót . Do ®ã , ®Ó ®Õn B ®óng h¹n , xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t«. Bµi 6 : Mét ®«i c«ng nh©n dù ®Þnh hoµn thµnh c«ng viÖc víi 500 ngµy c«ng thî. H·y tÝn sè ng­êi cña ®éi, biÕt r»ng nÕu bæ sung thªm 5 c«ng nh©n th× sè ngµy hoµn thµnh c«ng viÖc gi¶m 5 ngµy. Bµi 7 : Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm mét c«ng viÖc th× lµm xong trong 4 giê . NÕu mçi ®éi lµm mét m×nh ®Ó lµm xong c«ng viÖc Êy , th× ®éi thø nhÊt cÇn thêi gian Ýt h¬n so víi ®éi thø hai lµ 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh xong c«ng viÖc Êy trong bao l©u? Bµi 8: Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 36 tÊn hµng . Tr­íc khi lµm viÖc ®éi xe ®ã ®­îc bæ xung thªm 3 xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n 1 tÊn so víi dù ®Þnh . Hái ®éi xe lóc ®Çu cã bao nhiªu xe ? BiÕt r»ng sè hµng chë trªn tÊt c¶ c¸c xe cã khèi l­îng b»ng nhau. Bµi 9: Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng chøa n­íc ®· lµm ®Çy bÓ trong 5 giê 50 phót . NÕu ch¶y r