Phân tích véctơ và áp dụng

PHÂN TÍCH VÉCTƠ VÀ ÁP DỤNG I. Đặt vấn đề Sau khi đã học những vấn đề cơ bản về véctơ trong mặt phẳng (hình học 10), mở đầu chương quan hệ vuông góc của hình học 11, véctơ được đưa vào và được xem như một công cụ để nghiên cứu hình học. Nội dung phần này tương tự như véctơ trong mặt phẳng nên có những tính chất được nhắc lại mà không chứng minh, không trình bày một cách tỉ mỉ. Các tính chất về véctơ và các phép toán về véctơ sẽ được tiếp tục áp dụng trong trong việc xây dựng phương pháp toạ độ trong không gian (hình học 12). Ta biết rằng quan hệ song song (vuông góc) được xây dựng dựa trên khái niệm hai đường thẳng song song (vuông góc). Bài viết này đề cập khái niệm sự đồng phẳng của ba véctơ và vận dụng giải một số bài toán cơ bản sau: - Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song; - Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, hoặc nằm trong mặt phẳng; - Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng; - Tính khoảng cách giữa hai điểm; - Tính góc giữa hai đường thẳng; - Chứng minh các đường thẳng-mặt phẳng vuông góc. II. Nội dung cụ thể 1. Lý thuyết cơ bản a) Định nghĩa: Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. b) Tính chất: - Điều kiện để ba véctơ ( không cùng phương) đồng phẳng là tồn tại các số m, n sao cho =. Hơn nữa các số m, n là duy nhất. - Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đồng phẳng. - Nếu và có một trong ba số m, n, p khác 0 thì đồng phẳng. - Nếu và không đồng phẳng thì . - Nếu không đồng phẳng thì với mỗi véctơ , ta tìm được các số m, n, p sao cho =. Hơn nữa các số m,n, p là duy nhất. c) Phương pháp giải toán: Bước 1: Chọn ba véctơ không đồng phẳng. (Hệ ba véctơ {} gọi là hệ cơ sở). Bước 2: Biểu diễn các véctơ liên quan ( chẳng hạn , ...) qua hệ cơ sở. Bước 3: Tuỳ yêu cầu bài toán mà có phương án xử lý tiếp theo. Trong quá trình biến đổi, kết quả sau thường được vận dụng: Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k1), tức là , thì với mỗi điểm O, ta có 2. Các bài toán áp dụng Bài toán 1: Chứng minh, tìm điều kiện, ... ba điểm thẳng hàng. Cơ sở lý thuyết: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi , cùng phương, tức là . Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD; M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho , . Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho ( k1). Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng. Lời giải: Đặt , thì không đồng phẳng. Ta có Hinh 1 Từ đó ta có Suy ra: , do đó I, J, K thẳng hàng. Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu chọn m = -1 thì ta có kết quả: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD thì J là trung điểm của IK. Bài toán 2: Chứng minh, tìm điều kiện, ... để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Cơ sở lý thuyết: Điều kiện để hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau là hai véctơ và cùng phương. Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì hai đường thẳng AB và CD song song. Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm các điểm M, N lần lượt thuộc A’C và C’D sao cho MN song song với đường thẳng BD’. Lời giải Đặt thì không đồng phẳng. Vì M, N lần lượt thuộc A’C, C’D nên giả sử (k1, l1), theo đó ta có Hình 2 Mà . Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không trùng với đường BD’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi Vậy M, N cần tìm được xác định bởi các đẳng thức: , . Nhận xét: Có thể giải bài toán trên bằng các cách khác, chẳng hạn: - Xét phép chiếu song song theo phương BD’ lên mặt phẳng (A’B’C’D’) (Hình 3); - Hoặc: Xem đường thẳng MN cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD’A’) (chứa BD’) và mặt phẳng (C’DE), trong đó E đối xứng với A qua B (chứa DC’ và song song với BD’) (Hình 4). Hình 3 Hình 4 Hình 4 Hình 4 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp thì cách giải trên chỉ rõ các điểm cần tìm. Bài toàn 3: Chứng minh, tìm điều kiện, .... để đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng. Cơ sở lý thuyết: Đường thẳng AB song song hoặc nằm trong (P) nếu ba véctơ, , không đồng phẳng, trong đó , là hai véctơ nằm trong (P). Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc (P) thì đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), nếu ngược lại thì đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (P). Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’). Lời giải: Đặt , thì không đồng phẳng. Vì G, G’ lần lượt là trọng tâm của tứ diện A’D’MN, BCC’D’ nên =() Hình 5 , theo đó Điều này chứng tỏ đồng phẳng, mặt khác G không nằm trên mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’). Nhận xét: Ở trong bài toàn trên nếu ta dùng cách thường làm, đó là chứng minh GG’ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (ABB’A’) thì lời giải sẽ dài và hình phải vẽ thêm nhiều nét. Bài toán 4: Chứng minh, tìm điều kiện, ... để bốn điểm nằm trong một mặt phẳng. Cơ sở lý thuyết: Bốn điểm A, B, C, D nằm trong một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đồng phẳng. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD; I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; các điểm M, N lần lượt thuộc AC, BD sao cho . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k=k’. Lời giải: Đặt = , =,=, thì , , không đồng phẳng. Ta có Bốn điểm M, N, I, J cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đồng phẳng, tức là Suy ra , từ đây ta có k=k’. Bài toán 5: Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, chứng minh các đường thẳng-mặt phẳng vuông góc,..... Cơ sở lý thuyết: Để tính độ dài đoạn thẳng MN ta biểu thị qua hệ cơ sở và dùng công thức MN= Để tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta dùng công thức - Để chứng minh các đối tượng vuông góc ta đưa về việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Để giải được các bài toán này thì nói chung cần biết thêm độ dài của các véctơ và góc giữa chúng trong hệ cơ sở mà ta chọn. Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, . Chứng minh tứ giác ADC’B’ là hình vuông; Tính diện tích tứ giác A’B’CD. Lời giải: Đặt=,=, = thì ,, không đồng phẳng và Hình 5 a) Dễ thấy ADC’B’ là hình bình hành. Vì nên , từ đó AB’=a, cho nên ADC’B’ là hình thoi. Ta có AB’AD Vậy ADC’B’ là hình vuông. b) Ta có , , , nên Đặt thì Từ đó: Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên các đoạn thẳng BB’, CD, A’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B’M=CN=D’P=a (0 < a <1). Chứng minh rằng: a) Hình 6 b) vuông góc với mặt phẳng (MNP). Lời giải: Đặt =,=, = , thì ,, không đồng phẳng và , a) Ta có b) Ta có , tương tự ta tính được . Ta lại có , suy ra ()() = a-1-a+1=0 ()() = a-1+1-a=0 Suy ra AC’MN và AC’MP, từ đó AC’(MNP). Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC=2; E,F lần lượt là trung điểm của AB và CB. Tìm và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SF và CE. Lời giải: Đặt =,=, = thì ,, không đồng phẳng, và , Lấy ISF, KCE , giả sử Hình 7 , . Giả sử IK là đường vuông góc chung của SF và CE, khi đó Từ hệ này ta tìm được . Vậy đoạn vuông góc chung của SF và CE là IK được xác định bởi . Khi đó ta có , do đó = Suy ra IK=. III. Kết luận Ở trên ta đã sử dụng tính đồng phẳng của ba véctơ để giải một số bài toán cơ bản thường gặp trong hình học. Phương pháp này tỏ ra đặc biệt hiệu quả khi giả thiết bài toán có chứa các điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước. Trong phương pháp giải toán ta thấy Ở bước 1: Hệ cơ sở {} thường được chọn là ba véctơ chung gốc, chẳng hạn {} trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Ở bước 2: Để biểu thị, chẳng hạn véctơ qua trước hết ta biểu thị qua và sau đó áp dụng công thức . Ở bước 3: Để giải quyết bài toán về tính tính song song ta thường dùng hệ quả :“Nếu không đồng phẳng và thì m=m’, n=n’, p=p’”, còn để giải quyết bài toán về tính vuông góc hoặc liên quan đến tính toán ta thường áp dụng tích vô hướng của hai véctơ. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em học sinh trong quá trình học môn hình học lớp 11. Bài viết chắc chắn còn nhiều hạn chế, tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và phản hồi của các em học sinh. Ngày 10 tháng 5 năm 2009 Tác giả