Phát triển các bài toán từ hằng đẳng thức quen thuộc

Phát triển các bài toán từ hằng đẳng thức quen thuộc I. đặt vấn đề Nhà sư phạm lỗi lạc Polya từng viết: Mọi dòng sông nhỏ đều bắt nguồn từ con suối nhỏ. Mọi bài toán khó đều bắt nguồn từ những bài toán đơn giản. Vì vậy trong quá trình dạy và học nếu người thầy giải hàng trăm bài toán mà chỉ cốt tìm ra đáp số và dừng lại ở đó thì việc dạy trở nên nhạt nhẻo, việc học trở nên thụ động và kiến thức thu được chẳng là bao. Còn giải ít bài tập mà luôn suy nghĩ trên mỗi bài toán đó, khai thác thêm những ý của bài toán và tìm được chuỗi bài toán liên quan đó là phương thức cơ bản nhất để rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo. Đó là con đường tốt để đi lên trong toán học. Sau đây tôi sẽ trình bày vấn đề đó qua khai thác một hằng đẳng thức quen thuộc II. giảI quyết vấn ở lớp 8 các em đả làm quen với đẳng thức sau: (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca Ta hãy nhìn đẳng thức dưới các trạng thái động: - Thay đổi các đối tượng a,b,c xem sao? - Tăng số mũ lên 3,4… xem sao ? A.Thay đối các đối tượng a,b,c Thay a,b,c bởi ,, theo đẳng thức ta có: ( Hay (=+ (1) Trong (1) cho a+b+c=0, được: (= Rõ ràng ta được kết quả thú vị: với abc, a+b+c=0 thì: = (I) Như vây ta được kết quả đẹp! chúng ta hãy xem vai trò của đẳng thức qua một loạt các bài toán ở những dạng khác nhausau đây. Bài1:Chứng minh các đẳng thức sau: a, = (α) b, = (β) Hướng dẫn: - Để chứng minh đẳng thức (α), ta chỉ cần chú ý rằng (a+b)2= Như vậy đẳng thức (α) được suy ra từ ( I) khi ta thay c= -(a+b). -Tương tự (β) được suy trức tiếp từ (I) khi ta thay a, b, c bởi bộ số  và -( Bài2: Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: S = là số hữu tĩ Hướng dẫn: Chỉ cần để ý (a-b)+(b-c)+(c-a)=0,nên từ (I) ta có: S = Bài3: Rút gọn biểu thức sau: P = Hướng dẫn:áp dụng (a) ta có: = áp dụng (a) một lần nữa, ta được: P=. Bài4: Xét tổng Sn=…+ a, Tính S 2005 b, Chứng minh rằngvới mọi n>3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng Sn không thể là số nguyên. Hướng dẫn: Hãy chú ý: 1+(n-1)+(-n)=0 áp dụng (I) ta có: =1+ Từ đó dễ dàng thấy: Sn =(…+(1+)= Từ đó ta dễ dàng giải được a, và b. Bài5: Đặt Sn = (- hạng tử thứ hai trong căn là số tự nhiên gồm n chử số 9 - hạng tử thứ ba trong căn là số thập phân có n chử số 9 sau dấu phẩy ) a, Chứng minh rằngvới mọi n nguyên dương thì Sn là số hữu tỉ. b, Viêt S2005 dưới dạng số thập phân Hướng dẫn: chú ý 99..9=10n-1 0,99…9 = Do đó Sn = áp dụng (β) vói a=1, b=10n-1, ta thu được Sn=10n-1+ nên việc giải quyết câu a, và b, không còn khó khăn. Bài 6: Giải các phương trình sau: a, b, Hướng dẫn: áp dụng các đẳng thức (α) và (β) để giải phương trình trên B. Tăng số mũ lên 3 Bằng kiến thức nhân đa thức ta có thể dễ dàng chứng minh: (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a) Từ hằng đẳng thức ta thấy: Nếu a+b+c= 0 thì a3+b3+c3=3abc Nếu a3+b3+c3= 3abc thì a+b+c = 0 có đúng không? Ta có a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc = -3ab(a+b+c) = ( a +b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = (a+b+c) Nhân xét: a3+b3+c3 = 3abc a+b+c = 0 hoặc a = b = c Từ nhận xét đó ta có các bài toán sau: Bài1: Phân tích đa thức (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 thành nhân tử Hướng dẫn: Ta có (x-y)+(y-z)+(z-x) = 0 Từ nhận xét trên ta có ngay (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 = 3(x-y) (y-z)(z-x) Bài2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2+y2)3+(y2-z2)3-(z2+x2)3 Hướng dẫn: Ta thấy (x2+y2)3+(y2-z2)3-(z2+x2)3 = (x2+y2)3+(+(y2-z2)+(-z2-x2)3 Ta có: (x2+y2)+(y2-z2)+(-z2-x2) = 0 áp dụng nhận xét trên ta có ngay két quả: (x2+y2)3+(y2-z2)3-(z2+x2)3 = 3( x2+y2) (y2- z2)(-z2-x2) = 3( x2+y2) (y2+ z2)(x+z)(x-x) Bài3:Giải phương trình: (3x-2)3-(x-3)3 = (2x+1)3 (4) Hướng dẫn: (4)( 3x-2)3-(x-3)3-(2x+1)3 = 0 Hướng dẫn: áp dụng nhận xét trên ta có : (3x-2)3-(x-3)3-(2x+1)3 = 3(3x-2)(x-3)(2x+1) Do đó pt (3x-2)(x-3)(2x+1)=0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x=, x=3, x = Bài4: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x+y)3=(x-2)3 +(y+2)3+6 (5) Hướng dẫn: áp dụng nhận xẻt trên ta có : (x+y)3-(x-2)3 -(y+2)3=3 (x+y)(x-2) (y+2) (5) ( x+y)(x-2) (y+2)=2 (I) Hoặc (ii ) hoặc (iii) (I) Rõ ràng (ii) ,(iii) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x=3, y=-1 Bài5: Cho x,y, z thoả mãn Chứng minh rằng: a3+b3+c3 = 3abc Hướng dẫn:Từ giả thiết ta suy ra rằng: ax+by+bx+cy+cx+ay = a+b+c (a+b+c)(x+y-1) = 1 + với a+b+c=0, theo nhận xét trên theo nhận xét trên đpcm + Với x+y-1 = 0 y =1-x, thay vào hệ, sau một số biến đổi dẫn đến a = b = c theo nhận xét trên đpcm. Sau đây là một số bài tập áp dụng nhận xét trên: Bài6: Phân tích đa thức thành nhân tử (x+y+z)3-x3-y3-z3 Bài7: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+y+z)3-(x+y-z)3-(x-y+z)3-(-x+y+z)3 Bài8: Cho ++= 0. Tính P = ++ Bài9: Cho Tính giá trị của biểu thức: P=a2005+b2006+c2007 Bài10: Cho a+b+c+d = 0 Chứng minh rằng: a3+b3+c3+d3 = 3(c+d)(ab-cd) III. kết luận Trên đây là một số hướng khai thác một hằng đẳng thứcvà mở rộng bài toán.Kết quả thu được giúp ta sáng tạo ra nhiều bài toán mới .Với cách sáng tạo đã rèn luyện cho học giải toán một cách chủ động, sáng tạo. Chắc còn nhiều hướng khai thác nữa mong được sự góp ý của bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn !