Phương pháp chứng minh ba đường thẳng AB, CD, EF đồng quy

Chuyên đề: Phương pháp chứng minh ba đường thẳng AB, CD, EF đồng quy. I / Tóm tắt các cách chứng minh * Có thể chứng minh 1. AB,CD,EF là ba đường cao , ba đường trung tuyến , ba đường trung trực , ba đường phân giác trong , một đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài .của một tam giác . 2. AB,CD cắt nhau tại một điểm thẳng hàng với E,F. 3. AB,CD cắt nhau và đối xứng với nhau qua EF . 4. Có ba đường tròn (O1) , (O2) , (O3) sao cho AB , CD , EF là dây chung (hoặc tiếp tuyến chung trong ) của các cặp đường tròn tương ứng (O1) với (O2) ; (O2) với (O3) ; (O3) với (O1). II/ các ví dụ: Bài 1 : Cho đường tròn (O) đường kính AB . Một đường tròn (O’) qua B cắt đoạn AB tại điểm thứ hai C và cắt đường tròn (O) tại đểm thứ hai D. Đoạn AD cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E. Tia BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AF, BD, CE đồng quy . Bài 2 : Cho hình thang cân ABCD (AD // BC; AD > BC ) . Gọi I là giao điểm Của AC , BD , K là trung điểm của AD . Chứng minh rằng ba đường thẳng AB , CD , IK đồng quy . Bài 3: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M và một đường tròn (O3) tiếp xúc trong với (O1) và (O2) tại các điểm tương ứng N , P . Chứng minh rằng đường tròn qua ba điểm M,N,P là đường tròn bàng tiếp tam giác O1O2O3 . Bài 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB với điểm M trên đó . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB . đường tròn đường kính MH cắt MA tại điểm P , cắt MB tại điểm Q và cắt cung AB tại điểm thứ hai E . Chứng minh rằng tứ giác APQB là tứ giác nội tiếp . Suy ra các đường thẳng AB , PQ , ME đồng quy . Bài 5 : : Cho nửa đường tròn(O)đường kính AB với điểm M trên đó, một điẻm I nằm giữa A,B và không trùng với O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng qua M vuông góc với MI cắt Ax tại điểm N, đường thẳng d qua I vuông góc với IN. Chứng minh các đường thẳng d, MN, By đồng quy. Bài 6 Xét góc nhọn xAy và tia Az nằm giữa Ax và Ay. Trên Ax, Az người ta lấy lần lượt hai điểm B, C sao cho AB = AC. đường tròn đường kính AB lần lượt cắt Az, Ay ở K và D. Đường tròn đường kính AC lần lượt cắt Ax, Ay tại H và E. Gọi Giao điểm thứ hai của hai đường tròn là N . a)Chứng minh các đường thẳng BK, CH, AN đồng quy. b) Tứ giác BCED là hình gì, tại sao? c) Chứng minh BD = HE và CE = KD. d)Chứng minh : . e) Gọi M là điểm đối xứng của B qua Ay. Chứng minh góc BMC = Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G . a) Chứng minh BE.BC = BD.BA. b) Chứng minh góc AED = góc ABF. c) Chứng minh AFGC là hình thang. d) Chứng minh các đường thẳng .AC, DE, BF đồng quy. Bài 8 : Xét tam giác vuông ABC nội tiếp nửa đường tròn (O) đường kính BC và đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính AH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai G, cắt AB, AC lần lượt tại D và E . a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp. b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. c) Các tiếp tuyến tại D và E của đường tròn tâm (I) lần lượt cắt cạnh BC tại M và N . Chứng minh M và N lần lượt là trung điểm của BH và HC. d) Chứng minh DE AO, suy ra các đường thẳng AG, DE, BC đồng quy Bài9: Xét tam giác vuông ABC vuông tại A với đường cao AH. Người ta dựng về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABDE và ACGF ... a) Chứng minh A, D, G thẳng hàng . b) Chứng minh BCFE là hình thang cân . c) Gọi I, J theo thứ tự là hình chiếu của D, G trên đường thẳng BC. Chứng minh DI + GJ = BC . d) Gọi S là giao điểm của các đường thẳng DE và GF . Chứng minh rằng điểm S nằm trên đường thẳng AH e) Chứng minh rằng: các đường thẳng AH, BG, CD đồng quy . Bài 10 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. 1/ Chứng minh tứ giác AMBH nội tiếp . 2/Chứng minh AM = AH = AN . 3/ Gọi Giao điểm của MN với AB và AC lần lượt là F và E. Chứng minh rằng điểm E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH. 4/ Chứng minh ba đường thẳng AH , BE , CF đồng quy. Bài 11: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (Ovà O’ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Các đường thẳng AO, AO’ cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai C và D. cắt đường tròn (O’) tại các điểm thứ hai E và F . a) Chứng minh ba điểm B, C, F thẳng hàng và tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ba đường thẳng AB , CD , EF đồng quy . c)Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE . d) . Tìm điều kiện đẻ DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) . Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D (D khác điểm I). Chứng minh: a) Tứ giác ABCD nội tiếp . b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE . c) Các đường thẳng AB, CD, EI đồng quy. Bài 13: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D. Các đường thẳng CA và DA cắt (O’), (O) theo thứ tự tại E và F. Chứng minh: a) Tứ giác CFED nội tiếp b) AB là phân giác góc FBE . c) Các đường thẳng CF, DE, AB đồng quy. Bài 14 : Từ một điểm C ở ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến CBA. Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB . Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, IM, và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh các tiếp tuyến tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bài 15: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại A. (R > R’). Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đường tròn (O’) tại D. a) Tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) CF cắt đường tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’). Bài 16: Cho đường tròn tâm (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a) CEF và EMB là các tam giác gì? b) Chứng minh tứ giác FCBM nội tiếp được trong một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó. c) Chứng minh rằng các đường thẳng OE, BF, CM đồng quy ( Toán tuổi thơ THCS đề số 15) Bài 17: