Phương pháp giải một số dạng bài tập Hình học

Ph­¬ng ph¸p gi¶i mét sè d¹ng bµi tËp h×nh häc A.D¹ng to¸n chøng minh I.Chøng minh hai gãc b»ng nhau. C¸ch 1: Hai gãc so le trong, so le ngoµi,hoÆc ®ång vÞ cña hai ®­êng th¼ng // th× b»ng nhau. (h1) C¸ch2: Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh. (h2) (h2) (h1) C¸ch 3: Hai gãc cña mét tam gi¸c c©n. ( hoÆc tam gi¸c ®Òu). C¸ch 4: Hai gãc t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc hai tam gi¸c ®ång d¹ng. C¸ch 5: Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc hai cung b»ng nhau. C¸ch 6: Gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung. C¸ch 7: Chøng minh hai gãc cïng b»ng mét gãc thø 3. C¸ch 8: Chøng minh hai gãc cïng phô hay cïng bï mét gãc. C¸ch 9: Lµ hai gãc ë ®¸y cña h×nh thang c©n. C¸ch 10: Lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh. C¸ch 11: Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c. C¸ch 12: Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau A=BC=DE= A±CF= B±D⟹E=F C¸ch 13: Sö dông tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc. C¸ch 14: Sö dông tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau. II.Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau. C¸ch 1: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n th¼ng thø ba. C¸ch 2: Hai c¹nh bªn cña tam gi¸c hoÆc h×nh thang c©n. C¸ch 3: Hai c¹nh t­¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau. C¸ch 4: Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh ( h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng). C¸ch 5: Hai d©y c¨ng hai cung b»ng nhau trong mét ®­êng trßn hoÆc hai ®­êng trßn b»ng nhau. C¸ch 6: Sö dông tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau. C¸ch 7: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng chÐo cña h×nh b×nh hµnh. C¸ch 8: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung tuyÕn trong tam gi¸c vu«ng. C¸ch 9: Sö dông quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®­êng kÝnh vµ d©y. C¸ch 10: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung trùc. C¸ch 11: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm cña mét c¹nh vµ // víi c¹nh thø hai th× ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba. C¸ch 12: Sö dông quan hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m. C¸ch 13: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét biÓu thøc. III.Chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc. C¸ch 1: Sö dông tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn. ( vu«ng gãc víi b¸n kinh ®i qua tiÕp ®iÓm) C¸ch 2: Sö dông quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®­êng kÝnh- cung vµ d©y. B M A N C¸ch 3: Sö dông ®Þnh nghÜa ®­êng trung trùc. MA=MBNA=NB⟹MN là trung trực của AB ⟹MN⊥AB C¸ch 4: TÝnh chÊt c¸c ®­êng ®ång thêi trong tam gi¸c c©n. C¸ch 5: Chøng minh lµ ®­êng cao cßn l¹i cña tam gi¸c. C¸ch 6: Lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï C¸ch 7: Hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng. ( chøng minh tam gi¸c vu«ng): ¸p dông ®Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý Pi – Ta – Go. Trung tuyÕn b»ng nöa c¹nh t­¬ng øng. Tam gi¸c ABC cã tæng hai gãc b»ng 900. C¸ch 8: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai ®­êng th¼ng // th× vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng cßn l¹i. C¸ch 9 : Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn th× b»ng 900. IV.Chøng minh hai ®­êng th¼ng //. C¸ch 1: Chøng minh chóng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc: * b»ng nhau ë vÞ trÝ: so le trong so le ngoµi ®ång vÞ * bï nhau ë c¸c vÞ trÝ: a) trong cïng phÝa. b) ngoµi cïng phÝa. C¸ch 2: Chøng minh chóng cïng // víi ®­êng thø 3. C¸ch 3: Chøng minh chóng cïng vu«ng gãc víi ®­êng thø 3. C¸ch 4: Lµ hai d©y ch¾n gi÷a hai cung b»ng nhau trong mét ®­êng trßn. C¸ch 5: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh. C¸ch 6: Sö dông ®Þnh lý Ta_LÐt ®¶o. C¸ch 7: Lµ hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh. C¸ch 8: Lµ hai c¹nh ®¸y cña h×nh thang. V.Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn. C¸ch lµm H×nh minh häa C¸ch 1: Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 (h×nh thang c©n, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng ®Òu lµ tø gi¸c néi tiÕp) C¸ch 2: (h8) Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n xuèng c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d­íi mét gãc a ( hai gãc b»ng nhau). C¸ch 3: (h9) Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn. C¸ch 4: (h10) Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm ( mµ ®iÓm ®ã cã thÓ x¸c ®inh ®­îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tøgi¸c. C¸ch 5 : tr­êng hîp ®Æc biÖt: ( Khi ¸p dông cÇn ph¶i chøc minh) a)NÕu hai c¹nh ®èi cña tø gi¸c AB vµ DC c¾t nhau t¹i M tháa m·n: MA.MB = MD.MC ta cã thÓ chøng minh: ΔMAD đồng dạng với ΔMCB ⟹MAD=MCB ⟹ tø gi¸c ABCD néi tiÕp. b)NÕu hai ®­êng chÐo cña tø gi¸c AC vµ BD c¾t nhau t¹i P tháa m·n: PA.PC = BD. PB Ta cã thÓ chøng minh : ΔDPC đồng dạng với ΔAPB ⟹DCA=ABD ⟹ tø gi¸c ABCD néi tiÕp. VI.chøng minh d¼ng thøc h×nh häc. Chøng minh a.b = c.d ( chøng minh ®¼ng thøc tÝch). ChuyÓn vÒ chøng minh tû lÖ thøc: hoÆc C¸ch 1:G¾n vµo hai tam gi¸c ®ång d¹ng. C¸ch 2: Sö dông ®Þnh lý TalÐt, hÖ qu¶ cña ®Þnh lý TalÐt. C¸ch 3: Sö dông tÝnh chÊt ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c. C¸ch 4: Sö dông hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«ng. C¸ch 5: LËp hai tû sè tõ tÝch chøng minh chóng cïng b»ng mét tû sè thø ba. VII.Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau. 1.Tr­êng hîp tam gi¸c th­êng: a) Ba c¹nh b»ng nhau ®«i mét ( c-c-c). b) Mét cÆp gãc b»ng nhau xen gi÷a hai cÆp c¹nh b»ng nhau (c-g-c). c) Mét cÆp c¹nh b»ng nhau kÒ gi÷a hai cÆp gãc b»ng nhau (g-c-g). 2.Tr­êng hîp tam gi¸c vu«ng: a) C¹nh huyÒn – gãc nhän t­¬ng øng b»ng nhau. b) C¹nh huyÒn – c¹nh gãc vu«ng t­¬ng øng b»ng nhau. VIII.Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng. 1.Tr­êng hîp tam gi¸c th­êng: a) Cã hai gãc b»ng nhau. b) Cã mét cÆp gãc b»ng nhau xen gi÷a hai cÆp c¹nh t­¬ng øng tû lÖ. c) Cã ba cÆp c¹nh t­¬ng øng tû lÖ. 2.Tr­êng hîp tam gi¸c vu«ng. a) Cã mét cÆp gãc nhän b»ng nhau. b) Cã hai c¹nh gãc vu«ng t­¬ng øng tû lÖ. IX.Chøng minh ®­êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R). C¸ch 1: Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i tiÕp ®iÓm. C¸ch 2: Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®­êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh. C B T A C¸ch 3: Chøng minh gãc t¹o bëi tia MT víi mét d©y cña ®­êng trßn b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n. *)AMT=12sđAM ⟹MT lµ tiÕp tuuyÕn cña (O;R) *HoÆc AMT=ACM ⟹MT lµ tiÕp tuuyÕn cña (O;R) B T M A C¸ch 4: §Æc biÖt: NÕu MT2=MA.MB ®i chøng minh: ΔMAT đồng dạng với ΔMTB ⟹MTA=ABT ⟹MT lµ tiÕp tuuyÕn cña (O;R) . . . B C a A X.Chøng minh 3 ®iÓm A,B,C th¼ng hµng. C¸ch 1: Chøng minh AB,AC cïng // víi mét ®­êng th¼ng AB//aAC//a⟹A,B,C thẳng hàng C¸ch 2: Chøng minh BC, BA cïng vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng. C¸ch 3: Chøng minh ba ®iÓm ®ã t¹o thµnh mét gãc bÑt. ( ABC = 1800) C¸ch 4: Chøng A, B, C cïng thuéc thuéc mét ®­êng nµo ®ã: ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng, ®­êng ph©n gi¸c cña mét gãc. C¸ch 5: Chøng minh AB, AC lµ hai tia trïng nhau. XI. Chøng minh ba ®­êng ®ång qui. C¸ch 1: Chøng minh ®ã lµ 3 ®­êng trung tuyÕn,3 ®­êng cao, 3 ®­êng trung trùc, 3 ®­êng ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ hai ph©n gi¸c ngoµi trùc, 3 ®­êng ph©n gi¸c trong hoÆc a mét gãcXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX cña hai gãc cßn l¹i) trong mét tam gi¸c. C¸ch 2: Gäi giao ®iÓm cña hai ®­êng lµ Q chøng minh ®­êng cßn l¹i còng ®i qua Q. B D¹ng bµi tËp tÝnh to¸n. I.TÝnh sè ®o gãc. Dùa vµo c¸c kiÕn thøc sau: 1.G¾n vµo gi¶i tam gi¸c vu«ng (Tû sè l­îng gi¸c trong tam gi¸c vu«ng) 2.Hai gãc kÒ bï cã tæng sè ®o b»ng 1800. 3.Tæng hai gãc nhän trong tam gi¸c vu«ng b»ng 900. 3.TÝnh chÊt c¸c gãc trong ®­êng trßn. 5.Gãc nµy b»ng gãc kia ®· biÕt sè ®o. II.TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng. C¸ch 1: G¾n vµo gi¶i tam gi¸c vu«ng. C¸ch 2: ¸p dông tÝnh chÊt ®­êng trung tuyÕn trong tam gi¸c vu«ng. C¸ch 3: G¾n vµo tû lÖ thøc (xem c¸c c¸ch nh­ chøng minh d¼ng thøc h×nh häc). III. TÝnh diÖn tÝch chu vi c¸c h×nh. *Cã thÓ chuyÓn vÒ bµi to¸n tÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng * Chó ý : -Tû sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph­¬ng tû sè ®ång d¹ng. - Tû sè chu vi cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tû sè ®ång d¹ng. - Hai tam gi¸c cã chung ®­êng cao th× tû sè diÖn tÝch b»ng tû sè c¹nh t­¬ng øng. Hai tam gi¸c cã chung c¹nh th× tû sè diÖn tÝch b»ng tû sè hai ®­êng cao t­¬ng øng. - KhÐo lÐo khi ph©n chia h×nh. C.T×m ®iÒu kiÖn ®Ó h×nh A lµ h×nh B *Gi¶ sö h×nh A lµ h×nh B cÇn thªm ®iÒu kiªn g×? §iÒu kiÖn ®ã cã liªn quan g× ®Õn ®iÒu kiÖn bµi ra? D.D¹ng quÜ tÝch hay tËp hîp ®iÓm 1.NÕu M c¸ch ®Òu hai ®Çu ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh th× M n»m trªn trung trùc cña AB. 2.NÕu M c¸ch ®Òu hai c¹nh cña mét gãc th× M n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc ®ã. 3.NÕu M c¸ch O cè ®Þnh mét kho¶ng kh«ng ®æi R th× thuéc (O;R). 4.NÕu M nh×n xuèng AB cè ®Þnh mét gãc kh«ng ®æi α th× M n»m trªn cung chøa gãc α dùng trªn ®o¹n AB. 5.NÕu M c¸ch ®­êng th¼ng cè ®Þnh a mét kho¶ng b»ng h th× M n»m trªn 2 ®­êng th¼ng // víi a vµ c¸ch a mét kho¶ng b»ng h.